1、第八章 解析几何 第一讲第一讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程直线的倾斜角、斜率与直线的方程 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 直线的倾斜角 (1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，把 x 轴_正向_与直线 l_向上 _方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角 为_0 _ (2)倾斜角的取值范围为_0 ，180 )_ 知识点二 直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角 的_正切值_叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 k_tan_，倾斜角是 90 的直线斜率不存在 (2)过两点的直线的斜率公式
2、 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中 x1x2)的直线的斜率公式为 k_y2y1 x2x1_ 知识点三 直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 _yy0k(xx0)_ 不含直线 xx0 斜截式 _ykxb_ 不含垂直于 x 轴的直线 _两点式_ yy1 y2y1 xx1 x2x1 不含垂直于坐标轴的直线 _截距式_ x a y b1 不含垂直于 x 轴、 平行于 x 轴和_ 过原点的_直线 一般式 AxByC0 其中要求_A2B20_ 适用于平面直角坐标系内的所有 直线 归 纳 拓 展 直线的倾斜角 和斜率 k 之间的对应关系： 0 0 90 90 90 180
3、k 0 k0 且 越大，k 就越大 不存在 k0 且 越大，k 就越大 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率( ) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等( ) (4)经过定点 A(0，b)的直线都可以用方程 ykxb 表示( ) (5)不经过原点的直线都可以用x a y b1 表示( ) (6)经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(x x1)(y2y1)表示( ) 题组二 走进教材 2(必修
4、2P38T3)经过两点 A(4,2y1)，B(2，3)的直线的倾斜角为3 4 ，则 y( B ) A1 B3 C0 D2 解析 由2y13 42 2y4 2 y2， 得 y2tan3 4 1，y3 3 (必修 2P100A 组 T9)过点 P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_3x2y0 或 x y50_ 解析 当截距为 0 时，直线方程为 3x2y0； 当截距不为 0 时，设直线方程为x a y a1， 则2 a 3 a1，解得 a5所以直线方程为 xy50 题组三 走向高考 4 (2016 北京， 7)已知 A(2,5)， B(4,1)， 若点 P(x， y)在线段 AB 上，
5、则 2xy 的最大值为( C ) A1 B3 C7 D8 解析 线段 AB 的方程为 y151 24(x4), 2x4 即 2xy90,2x4， 因为 P(x， y)在线段 AB 上，所以 2xy2x(2x9)4x9又 2x4，则14x97，故 2x y 最大值为 7 5(2010 辽宁)已知点 P 在曲线 y 4 ex1上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的 取值范围是( D ) A 0， 4 B 4， 2 C 2， 3 4 D 3 4 ， 解析 由题意可知切线的斜率 ktan 4ex ex12 4 ex1 ex2 ，1tan 0，又 0 ，3 4 ，故选 D 考点突破 互动探究 考
6、点一 直线的倾斜角与斜率自主练透 例 1 (1)(2021 兰州模拟)直线 2xcos y30 6， 3 的倾斜角的变化范围是 ( B ) A 6， 3 B 4， 3 C 4， 2 D 4， 2 3 (2)(2020 贵州遵义航天高级中学期中， 11)经过点 P(0， 1)作直线 l， 若直线 l 与连接 A(1， 2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线 l 的倾斜角的取值范围为( A ) A 0， 4 3 4， B 0， 4 C 3 4， D 0， 4 3 4， (3)已知曲线 f(x)ln x 的切线经过原点，则此切线的斜率为( C ) Ae Be C1 e D1 e 解析 (1)直线
7、 2xcos y30 的斜率 k2cos 由于 6， 3 ， 所以1 2cos 3 2 ， 因此 k2cos 1， 3设直线的倾斜角为 ，则有 tan 1， 3由于 0，)，所以 4， 3 ，即倾斜角的变化范围是 4， 3 (2)如图所示，设直线 l 的倾斜角为 ，0，) kPA12 01 1，kPB11 02 1 直线 l 与连接 A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共点， 1tan 1 0， 4 3 4， 故选 A (3)解法一：f(x)ln x，x(0，)，f(x)1 x设切点 P(x0，ln x0)，则切线的斜率 kf(x0)1 x0 ln x0 x0 ，ln x01，x0e，k1
8、x0 1 e 解法二(数形结合法)：在同一坐标系中作出曲线 f(x)ln x 及曲线 f(x)ln x 经过原点的切 线，如图所示，数形结合可知，切线的斜率为正，且小于 1，故选 C 引申 1若将例(2)中“有公共点”改为“无公共点”，则直线 l 的斜率的范围为_(， 1)(1，)_ 引申 2若将题(2)中 A(1，2)改为 A(1,0)，其它条件不变，求直线 l 斜率的取值范围为 _(，11，)_，倾斜角的取值范围为_ 4， 3 4 _ 解析 P(0，1)，A(1,0)， B(2,1)，kAP 10 011， kBP11 20 1 如图可知， 直线 l 斜率的取值范围为(， 11， )， 倾
9、斜角的取值范围为 4， 3 4 名师点拨 (1)求倾斜角的取值范围的一般步骤：求出斜率 ktan 的取值范围，但需注意斜率不 存在的情况；利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆，数形结合确定倾斜角 的取值 范围 (2)求直线斜率的方法： 定义法：ktan ； 公式法：ky2y1 x2x1； 导数法：曲线 yf(x)在 x0处切线的斜率 kf(x0) (3)注意倾斜角的取值范围是0，)，若直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为 2，直线垂 直于 x 轴 变式训练 1 (1)(2021 大庆模拟)直线 xsin y20 的倾斜角的范围是( B ) A0，) B 0， 4 3 4 ， C 0， 4 D
10、0， 4 2， (2)(2021 安阳模拟改编)已知点 A(1,3)，B(2，1)若直线 l：yk(x2)1 与线段 AB 相交，则 k 的值不可以是( D ) A1 2 B2 C0 D1 解析 (1)设直线的倾斜角为 ，则 tan sin ，所以1tan 1，又 0，)， 所以 0 4或 3 4 ，选 B (2)由已知直线 l 恒过定点 P(2,1)，如图所示， 若 l 与线段 AB 相交，则 kPAkkPB， kPA2，kPB1 2， 2k1 2，故选 D 考点二 直线的方程师生共研 例 2 求适合下列条件的直线的方程： (1)在 y 轴上的截距为5，倾斜角的正弦值是3 5； (2)经过点
11、 A( 3，3)，且倾斜角为直线 3xy10 的倾斜角的一半； (3)过点(5,2)且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍； (4)与直线 3x4y50 关于 y 轴对称 解析 (1)设直线的倾斜角为 ，则 sin 3 5 cos 4 5，直线的斜率 ktan 3 4 又直线在 y 轴上的截距是5， 由斜截式得直线方程为 y 3 4x5 即 3x4y200 或 3x4y200 (2)由 3xy10 得此直线的斜率为 3， 所以倾斜角为 120 ， 从而所求直线的倾斜角 为 60 ，故所求直线的斜率为 3 又直线过点( 3，3)，所以所求直线方程为 y3 3(x 3)，即 3xy60
12、 (3)若直线过原点，则其斜率 k2 5，此时直线方程为 y 2 5x，即 2x5y0 若直线不过原点，则设其方程为 x 2b y b1，由 5 2b 2 b1 得 b 9 2，故所求直线方程为 x 9 2y 9 1，即 x2y90 所求直线的方程为 x2y90 或 2x5y0 (4)直线 3x4y50 的斜率为3 4，与 y 轴交点为 0，5 4 ，故所求直线的斜率为3 4，且 过点 0，5 4 ，所求直线方程为 y3 4x 5 4，即 3x4y50 名师点拨 求直线方程应注意的问题 (1)要确定直线的方程，只需找到直线上两个点的坐标，或直线上一个点的坐标与直线的 斜率即可确定直线方程的常用
13、方法有两种：直接法：根据已知条件确定适当的直线方程 形式，直接写出直线方程；待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定的系 数，最后代入求出直线的方程 (2)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜截式前，先讨论直线 的斜率是否存在；选用截距式前，先讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是不是 0 变式训练 2 (1)已知三角形的三个顶点 A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，则 BC 边上中线所在的直线方程 为_x13y50_ (2)直线 3xy40 绕其与 x 轴的交点顺时针旋转 6所得直线的方程为_ 3x3y4 0_ (3)已知直线 l 的斜率为1 6，且和坐标轴围
14、成面积为 3 的三角形，则直线 l 的方程为_x6y 60 或 x6y60_ 解析 (1)由题意可知 BC 的中点为 H 3 2， 1 2 ， kAH 0 1 2 53 2 1 13 故所求直线的方程为 y0 1 13(x5)， 即 x13y50 (2)直线 3xy40 与 x 轴的交点为 4 3 3 ，0 ，斜率为 3，倾斜角 为 3，可知所求 方程直线的倾斜角为 6，斜率 k 3 3 或由ktan 6 求 ，故所求直线的方程为 y 3 3 x4 3 3 ，即 3x3y40 (3)设直线方程为 y1 6xb，则 3b 23，b 1，故所求直线方程为 x6y60 或 x 6y60 考点三,直线
15、方程的应用多维探究 例 3 已知直线 l 过点 M(2,1)，且与 x 轴，y 轴的正半轴分别相交于 A，B 两点，O 为坐标原点求： (1)当AOB 面积最小时，直线 l 的方程； (2)当在两坐标轴上截距之和取得最小值时，直线 l 的方程； (3)当|MA| |MB|取最小值时，直线 l 的方程； (4)当|MA|2|MB|2取得最小值时，直线 l 的方程 解析 设直线的方程为x a y b1(a0，b0)， 则2 a 1 b1 (1)2 a 1 b2 2 ab 1 2ab4，当且仅当 2 a 1 b 1 2，即 a4，b2 时，AOB 面积 S 1 2ab 有最小值为 4此时，直线 l
16、的方程是x 4 y 21即 x2y40 (2)ab(ab) 2 a 1 b 32b a a b32 2b a a b32 2故 ab 的最小值为 32 2， 此时2b a a b，求得 b 21，a2 2此时，直线 l 的方程为 x 2 2 y 211即 x 2 y2 20 (3)解法一：设BAO，则 sin 1 |MA|，cos 2 |MB|，|MA| |MB| 2 sin cos 4 sin 2， 显然当 4时，|MA| |MB|取得最小值 4，此时 kl1，所求直线的方程为 y1(x2)， 即 xy30 解法二：|MA| |MB|MA MB (a2，1) (2，b1)2ab5(2ab)
17、2 a 1 b 52b a 2a b 4当且仅当 ab3 时取等号，|MA| |MB|的最小值为 4，此时直线 l 的方程为 xy30 解法三：若设直线 l 的方程为 y1k(x2)，则 A 2k1 k ，0 ，B(0,12k)，|MA| |MB| 1 k21 44k 22 1 kk 4， 当且仅当k 1 k， 即 k1 时， 取等号 故|MA| |MB| 的最小值为 4，此时直线 l 的方程为 xy30 (4)同(3)|MA| 1 sin ，|MB| 2 cos ， |MA|2|MB|2 1 sin2 4 cos2 (sin2cos2) 1 sin2 4 cos2 5cos 2 sin2 4
18、sin2 cos2 9 当且仅当cos22sin2，即tan 2 2 时取等号 |MA|2|MB|2的最小值为 9， 此时直线的斜率 k 2 2 ， 故所求直线的方程为 y1 2 2 (x2)， 即 2x2y2( 21)0 注：本题也可设直线方程为 y1k(x2)(k0)求解 名师点拨 利用最值取得的条件求解直线方程，一般涉及函数思想即建立目标函数，根据其结构求 最值，有时也涉及均值不等式，何时取等号，一定要弄清 变式训练 3 已知直线 l 过点 M(2,1)，且与 x 轴、y 轴正半轴分别交于 A、B，O 为坐标原点若 SAOB 9 2，求直线 l 的方程 解析 设直线 l 的方程为x a
19、y b1， 则 2 a 1 b1， ab9 解得 a3， b3 或 a6， b3 2 故所求直线方程为x 3 y 31 或 x 6 2y 3 1， 即 xy30 或 x4y60 名师讲坛 素养提升 (1)定点问题 例 4 (此题为更换后新题)已知直线 l：kxy13k0(kR) (1)证明：直线 l 过定点； (2)若直线 l 不过第一象限，求 k 的取值范围 解析 (1)证明：直线 l 的方程可化为 y1k(x3)，故无论 k 取何值，直线 l 必过定点 (3,1) (2)令 x0 得 y3k1，即直线 l 在 y 轴上的截距为 2k1 由题意知 k0， 3k10 解得 k1 3 故 k 的
20、取值范围是(，1 3 (此题为发现的重题，更换新题见上题)已知直线 l：kxy12k0(kR) (1)证明：直线 l 过定点； (2)若直线 l 不过第四象限，求 k 的取值范围 解析 (1)证明：直线 l 的方程可化为 y1k(x2)，故无论 k 取何值，直线 l 必过定点 (2,1) (2)令 x0 得 y2k1，即直线 l 在 y 轴上的截距为 2k1 由题意知 k0， 2k10 解得 k0 故取值范围是0) 名师点拨 过定点 A(x0，y0)的直线系方程为 yy0k(xx0)(k 为参数)及 xx0方程为 yy0k(x x0)是直线过定点 A(x0，y0)的充分不必要条件 (2)曲线的
21、切线问题 例 5 (2021 湖南湘潭模拟)经过(2,0)且与曲线 y1 x相切的直线与坐标轴围成的三 角形面积为( A ) A2 B1 2 C1 D3 解析 设切点为 m，1 m ，m0，y1 x的导数为 y 1 x2，可得切线的斜率 k 1 m2， 切线方程为 y1 m 1 m2(xm)，代入(2,0)，可得 1 m 1 m2(2m)，解得 m1，则切线方程 为 y1x1，切线与坐标轴的交点坐标为(0,2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积 为1 2222故选 A 变式训练 4 (1)直线 ykxk2 过定点_(1，2)_ (2)(2018 课标全国)曲线 y2ln x 在点(1,0)处的切线方程为_2xy20_
