1、第九讲第九讲 函数与方程函数与方程 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 函数的零点 1函数零点的定义 对于函数 yf(x)(xD)，把使_f(x)0_成立的实数 x 叫做函数 yf(x)(xD)的零点 注：函数的零点不是点是函数 f(x)与 x 轴交点的横坐标，而不是 yf(x)与 x 轴的交点 2几个等价关系 方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与_x 轴_有交点函数 yf(x)有_零点_. 3函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_f(a)f(b)0_， 那么函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存
2、在 c(a，b)，使得_f(c)0_，这个 c 也就是方 程 f(x)0 的根 知识点二 二分法 1对于在区间a，b上连续不断且_f(a)f(b)0_的函数 yf(x)，通过不断地把函数 f(x) 的零点所在的区间_一分为二_，使区间的两个端点逐步逼近_零点_，进而得到零点近似 值的方法叫做二分法 2给定精确度 ，用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下： (1)确定区间a，b，验证 f(a) f(b)0，给定精确度 ； (2)求区间(a，b)的中点 c； (3)计算 f(c)； 若 f(c)0，则 c 就是函数的零点； 若 f(a) f(c)0，则令 bc (此时零点 x0(a，c)；
3、若 f(c) f(b)0，则令 ac (此时零点 x0(c，b) (4)判断是否达到精确度 ， 即： 若|ab|， 则得到零点近似值 a(或 b)； 否则重复(2)(3)(4) 归 纳 拓 展 1有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点 (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号 (4)由函数 yf(x)在闭区间a，b上有零点不一定能推出 f(a) f(b)0，如图所示所以 f(a) f(b)0 是 yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件事实
4、上，只有当函数图象通 过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号 (5)若函数 f(x)在a，b上单调，且 f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则 f(a) f(b)0)的图象与零点的关系 0 0 0 二次函数 yax2bxc(a0)的图象 与 x 轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 两个零点 一个零点 无零点 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点( ) (2)二次函数 yax2bxc(a0)在当 b24ac0 时没有零点( ) (3)函数
5、 yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a) f(b)0，则 f(x)在(a，b)内没有零点( ) (5)函数 y2x与 yx2只有两个交点( ) 解析 (1)函数的零点是函数图象与 x 轴交点的横坐标 (2)当 b24ac0. (4)若在区间a，b内有多个零点，f(a) f(b)0 也可以 (5)yx2与 y2x在 y 轴左侧一个交点， y 轴右侧两个交点， 如在 x2 和 x4 处都有交点 题组二 走进教材 2(必修 1P92AT2 改编)已知函数 f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 f(x) 4 2 1 4 7 在下列区间中，
6、函数 f(x)必有零点的区间为( B ) A(1,2) B(2,3) C(3,4) D(4,5) 解析 由所给的函数值的表格可以看出，x2 与 x3 这两个数字对应的函数值的符号 不同，即 f(2) f(3)0，f(1) f(2) f(4)0，则下列命题正 确的是( D ) A函数 f(x)在区间(0,1)内有零点 B函数 f(x)在区间(1,2)内有零点 C函数 f(x)在区间(0,2)内有零点 D函数 f(x)在区间(0,4)内有零点 (2)(2021 开封模拟)函数 f(x)xln x3 的零点所在的区间为( C ) A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4) (3)若 ab
7、c，则函数 f(x)(xa)(xb)(xb) (xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于 区间( B ) A(，a)和(a，b)内 B(a，b)和(b，c)内 C(b，c)和(c，a)内 D(c，)和(，a)内 解析 (1)因为 f(1) f(2) f(4)0，所以 f(1)、f(2)、f(4)中至少有一个小于 0. 若 f(1)0，则在(0,1)内有零点，在(0,4)内必有零点； 若 f(2)0，则在(0,2)内有零点，在(0,4)内必有零点； 若 f(4)0，则在(0,4)内有零点故选 D (2)解法一：利用零点存在性定理 因为函数 f(x)是增函数，且 f(2)ln 210，所以由零点存
8、在性定理得函数 f(x)的零点位于区间(2,3)内，故选 C 解法二：数形结合 函数 f(x)xln x3 的零点所在区间转化为 g(x)ln x，h(x)x3 的图象的交点横坐 标所在范围如图所示，可知 f(x)的零点在(2,3)内 (3)易知 f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)，f(c)(ca)(cb)又 ab0， f(b)0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别位于区间(a，b)和 (b，c)内，故选 B 名师点拨 确定函数零点所在区间的方法 (1)解方程法：当对应方程 f(x)0 易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定 区间上 (2)利用函数零
9、点的存在性定理：首先看函数 yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看 是否有 f(a) f(b)0 的零点个数为( B ) A3 B2 C7 D0 (2)(理)已知 f(x) |lg x|，x0， 2|x|，x0， 则函数 y2f2(x)3f(x)1 的零点个数为_5_. (文)(2021 云南昆明一中摸底)若函数 f(x)|x|，则函数 yf(x)log1 2 |x|的零点个数是 ( D ) A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 解析 (1)解法一：(直接法)由 f(x)0 得 x0， x2x20 或 x0， 1ln x0， 解得 x2 或 xe. 因此函数 f(x)共有 2 个零点
10、解法二：(图象法)函数 f(x)的图象如图所示，由图象知函数 f(x)共有 2 个零点 (2)(理)令 2f2(x)3f(x)10，解得 f(x)1 或 f(x)1 2，作出 f(x)的简图： 由图象可得当 f(x)1 或 f(x)1 2时，分别有 3 个和 2 个交点，则关于 x 的函数 y2f 2(x) 3f(x)1 的零点的个数为 5. (文)在同一坐标系中作出 f(x)|x|、g(x)log1 2 |x|的图象，由图可知选 D 名师点拨 函数零点个数的判定有下列几种方法 (1)直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点 (2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函
11、数在a，b上是连续的曲线，且 f(a) f(b)0， 则函数 yf(x)3x 的零点个数是( C ) A0 B1 C2 D3 (2)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)exx3，则 f(x)的零点个数为 ( C ) A1 B2 C3 D4 (3)(理)(2020 河南名校联考)函数 f(x) |log2x|，x0， 2x，x0， 则函数 g(x)3f(x)28f(x)4 的 零点个数是( A ) A5 B4 C3 D6 (文)(2021 郑州质检)已知函数 f(x) 1 2 xcos x，则 f(x)在0,2上的零点个数为_3_. 解析 (1)由已知得 yf(x)3
12、x x2x，x0， 11 x3x，x0. 令x2x0， 解得x0或x1.令11 x3x0(x0)可得3x 2x10.因为1120， 所以方程 3x2x10 无实根所以 yf(x)3x 的零点个数是 2. (2)f(x)exx3 在(0，)上为增函数，f 1 2 e 1 2 5 20，f(x)在(0， )上只有一个零点，由奇函数性质得 f(x)在(，0)上也有一个零点，又 f(0)0，所以 f(x) 有三个零点，故选 C (3)(理)本题考查函数的零点与方程根的个数的关系 函数 g(x)3f(x)28f(x)43f(x)2f(x)2的零点，即方程 f(x)2 3和 f(x)2 的根 函数 f(x
13、) |log2x|，x0， 2x，x0 的图象如图所示， 由图可得方程 f(x)2 3和 f(x)2 共有 5 个根， 即函数 g(x)3f(x)28f(x)4 有 5 个零点 (文)如图，作出 g(x) 1 2 x与 h(x)cos x 的图象，可知其在0,2上的交点个数为 3，所以 函数 f(x)在0,2上的零点个数为 3. 考向 3 函数零点的应用多维探究 角度 1 与零点有关的比较大小 例 3 已知函数 f(x)2xx，g(x)xlog1 2 x，h(x)log2x x的零点分别为 x1，x2， x3，则 x1，x2，x3的大小关系为( D ) Ax1x2x3 Bx2x1x3 Cx1x
14、3x2 Dx3x2x1 解析 由 f(x)2xx0， g(x)xlog1 2 x0， h(x)log2x x0， 得 2xx， xlog1 2 x，log2x x，在平面直角坐标系中分别作出 y2x与 yx 的图象；yx 与 ylog1 2 x 的图 象；ylog2x 与 y x的图象，由图可知：1x10,0 x21.所以 x3x2x1. 角度 2 已知函数的零点或方程的根求参数 例4 (2018 全国)已知函数f(x) ex，x0， ln x，x0， g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零 点，则 a 的取值范围是( C ) A1,0) B0，) C1，) D1，) 解析 令 h(x)x
15、a，则 g(x)f(x)h(x)在同一坐标系中画出 yf(x)，yh(x)图象 的示意图，如图所示若 g(x)存在 2 个零点，则 yf(x)的图象与 yh(x)的图象有 2 个交点 由图知a1，a1. 名师点拨 1比较零点大小常用方法： (1)确定零点取值范围，进而比较大小； (2)数形结合法 2已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察 求解 变式训练 2 (1)(角
16、度 1)(2021 安徽蚌埠月考)已知函数 f(x)3xx，g(x)log3xx，h(x)x3x 的零点 依次为 a，b，c，则 a，b，c 的大小关系为( B ) Aabc Bacbc Dcab (2)(角度 2)(2021 杭州学军中学月考)已知函数 f(x) 2xa，x0， 2x1，x0 (aR)，若函数 f(x) 在 R 上有两个零点，则 a 的取值范围是( D ) A(，1) B(，1 C1,0) D(0,1 分析 (1)解法一：依据零点存在定理，确定 a，b，c 所在区间，进而比较大小；解法二： 分别作出 y3x、ylog3x、yx3与 yx 的图象，比较其交点横坐标的大小即可 解
17、析 (1)解法一：f(1)3 112 3，f(0)1，a 2 3，0 ，又 g 1 3 log31 3 1 3 2 3，g(1)1，b 1 3，1 ，显然 c0，acb，故选 B 解法二：数形结合法，在同一坐标系中分别作出 y3x、ylog3x、yx 的图象，结合 图象及 c0 可知 ac0，a0，c0 时，f(x)2x1， 由 f(x)0 得 x1 2， 要使 f(x)在 R 上有两个零点， 则必须 2xa0 在(，0上有解 又当 x(，0时，2x(0,1 故所求 a 的取值范围是(0,1 考点二 二分法及其应用自主练透 例5 (1)用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时， 第一次经计算
18、f(0)0， 可得其中一个零点 x0_(0,0.5)_，第二次应计算_f(0.25)_. (2)在用二分法求方程 x32x10 的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内， 则下一步可判定该根所在的区间为_ 3 2，2 _. (3)在用二分法求方程 x22 的正实数根的近似解(精确度 0.001)时，若我们选取初始区间 是1.4,1.5，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是_7_. 解析 (1)因为 f(0)0，由二分法原理得一个零点 x0(0,0.5)；第二次应计算 f 00.5 2 f(0.25) (2)区间(1,2)的中点 x03 2，令 f(x)x 32x1，f 3 2 27
19、 8 40，则根所 在区间为 3 2，2 . (3)设至少需要计算 n 次，由题意知1.51.4 2n 100.由 2664,27128，知 n 7. 名师点拨 1用二分法求函数零点的方法：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算， 零点落在异号间周而复始怎么办？精确度上来判断 2利用二分法求近似解需注意的问题 (1)在第一步中：区间长度尽量小；f(a)，f(b)的值比较容易计算且 f(a) f(b)0 ，若函数 g(x)f(x)a 恰 有三个互不相同的零点 x1，x2，x3，则 x1x2x3的取值范围是( A ) A 1 32，0 B 1 16，0 C 0， 1 32 D 0， 1 1
20、6 解析 解法一：显然 x0 时，2xa，有一根不妨记为 x1，则 x1a 2(a0)，当 x0 时x2xa 即 x2xa0 有两个不等正根，不妨记为 x2，x3，则 14a0，即 a1 4，从 而a2 1 16，0 且 x2x3a.x1x2x3 a2 2 1 32，0 ，故选 A 解法二： 作出 yf(x)及 ya 的图象， 显然 0a1 4， 不妨设 x1x2x3 显然 x10， x30， x1x2x30. 若 f(x)a(aR)有四个不 等实根，则所有实根之积的取值范围是( B ) A(，1) B0,1) C(0,1) D(1，) 解析 本题考查已知方程根的个数求根的乘积的取值范围 设四个根依次为 x1，x2，x3，x4(x1x2x3x4)， 则2x11，1x20，x1x22， 由|lg x3|lg x4|， 得lg x3lg x4， 则 lg x3lg x4lg(x3x4)0， x3x41，x1x2x3x4x1x2(2x2)x2(x21)210,1) 故选 B
