1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 第十章 概率(文) 第一讲第一讲 随机事件的概率随机事件的概率(文文) 第四讲第四讲 随机事件的概率随机事件的概率(理理) 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 随机事件和确定事件 (1)在条件 S 下，_必然要发生_的事件，叫做相对于条件 S 的必然事件，简称必然事件 (2)在条件 S 下，_不可能发生_的事件，叫做相对于条件 S 的不可能事件，简称不可能 事件 (3)必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件，简称确定事件 (4)在条件 S 下，_可能发生也可能不发生_的事件，叫做相对于条件 S 的随机事件
2、，简 称随机事件 知识点二 概率与频率 (1)概率与频率的概念：在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA为事件 A 出现的_频数_，称事件 A 出现的比例 fn(A)nA n 为 事件 A 出现的_频率_ (2)概率与频率的关系：对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次 数的增加稳定于概率 P(A)，因此可以用_频率 fn(A)_来估计概率 P(A) 知识点三 互斥事件与对立事件 事件的关系与运算 定义 符号表示 包含 关系 若事件 A_发生_，则事件 B_一定发生_， 这时称事件B 包含事件A(
3、或称事件 A包含于事 件 B) _BA_ _(或 AB)_ 相等关系 若 BA，且_AB_，则称事件 A 与事件 B 相等 _AB_ 并事件 (和事件) 若某事件发生_当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生_，则称此事件为事件 A 与事件 B 的并事 件(或和事件) _AB_ _(或 AB)_ 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 交事件 (积事件) 若某事件发生_当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生_，则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事 件(或积事件) _AB_ _(或 AB)_ 互斥事件 若 AB 为_不可能_事件，则称事件 A 与事 件 B 互斥 _A
4、B_ 对立 事件 若 AB 为_不可能_事件，AB 为_必然事 件_，则称事件 A 与事件 B 互为对立事件 _AB，_ _且 AB_ 归 纳 拓 展 概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：_0P(A)1_ (2)必然事件的概率：P(A)_1_ (3)不可能事件的概率：P(A)_0_ (4)概率的加法公式：若事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB)_P(A)P(B)_ (5)对立事件的概率：若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 AB 为必然事件P(AB) _1_，P(A)_1P(B)_ 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)事件发生
5、的频率与概率是相同的( ) (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值( ) (3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生( ) (4)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可 能的( ) (5)对立事件肯定是互斥事件、互斥事件不一定是对立事件( ) 题组二 走进教材 2(P121T4)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( D ) A至多有一次中靶 B两次都中靶 C只有一次中靶 D两次都不中靶 解析 “至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”故选 D 3(P133T4)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为_5 6_ 解析 掷两个骰
6、子一次，向上的点数共 6636(种)可能的结果，其中点数相同的结果 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 共有 6 种，所以点数不相同的概率 P1 6 36 5 6 题组三 走向高考 4(2018 课标全国卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支付也 用非现金支付的概率为 0.15，则不用现金支付的概率为( B ) A0.3 B0.4 C0.6 D0.7 解析 设事件 A 为“不用现金支付”，事件 B 为“既用现金支付也用非现金支付”，事 件 C 为“只用现金支付”，则 P(A)1P(B)P(C)10.150.450.4 故选 B 5(2020
7、 新课标)设 O 为正方形 ABCD 的中心，在 O，A，B，C，D 中任取 3 点，则取 到的 3 点共线的概率为( A ) A1 5 B2 5 C1 2 D4 5 解析 O，A，B，C，D 中任取 3 点，共有 OAB，OAC，OAD，OBC，OBD，OCD，ABC， ABD，ACD，BCD 十种， 其中共线为 A，O，C 和 B，O，D 两种， 故取到的 3 点共线的概率为 P 2 10 1 5， 故选 A 考点突破 互动探究 考点一 随机事件的关系自主练透 例 1 (1)(2020 辽宁六校协作体期中)从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个 球，那么互斥而不对立的两个事件
8、是( C ) A“至少有 1 个白球”和“都是红球” B“至少有 2 个白球”和“至多有 1 个红球” C“恰有 1 个白球”和“恰有 2 个白球” D“至多有 1 个白球”和“都是红球” (2)(2021 中山模拟)从 1,2,3,4,5 这 5 个数中任取两个数，其中： 恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； 至少有一个是奇数和两个都是奇数； 至少有一个是奇数和两个都是偶数； 至少有一个是奇数和至少有一个是偶数 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 上述事件中，是对立事件的是( C ) A B C D (3)设条件甲：“事件 A 与事件 B 是对立事件”，结论乙：“概
9、率满足 P(A)P(B)1”， 则甲是乙的( A ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析 (1)对于选项 A，“至少有 1 个白球”和“都是红球”是对立事件，不符合题意； 对于选项 B， “至少有 2 个白球”表示取出 2 个球都是白色的， 而“至多有 1 个红球”表示取 出的球 1 个红球 1 个白球， 或者 2 个都是白球， 二者不是互斥事件， 不符合题意； 对于选项 C， “恰有 1 个白球”表示取出 2 个球 1 个红球 1 个白球，与“恰有 2 个白球”是互斥而不对立 的两个事件，符合题意；对于选项 D，“至多有 1 个白球”表示取出的 2
10、个球 1 个红球 1 个白 球，或者 2 个都是红球，与“都是红球”不是互斥事件，不符合题意故选 C (2)从 1,2,3,4,5 这 5 个数中任取两个数有 3 种情况：一奇一偶，2 个奇数，2 个偶数其中 “至少有一个是奇数”包含一奇一偶或 2 个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事 件又中的事件可以同时发生，不是对立事件，故选 C (3)若事件 A 与事件 B 是对立事件，则 AB 为必然事件，再由概率的加法公式得 P(A) P(B)1；投掷一枚硬币 3 次，满足 P(A)P(B)1，但 A，B 不一定是对立事件，如：事件 A： “至少出现一次正面”，事件 B：“出现 3 次正面”，
11、则 P(A)7 8，P(B) 1 8，满足 P(A)P(B) 1，但 A，B 不是对立事件，故甲是乙的充分不必要条件 名师点拨 (1)准确把握互斥事件与对立事件的概念：互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可 以同时不发生；对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，既 有且仅有一个发生 (2)判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件； 两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件 变式训练 1 (2021 宁夏检测)抽查 10 件产品，设事件 A 为“至少有 2 件次品”，则事件 A 的对立事件 为( B ) A
12、至多有 2 件次品 B至多有 1 件次品 C至多有 2 件正品 D至少有 2 件正品 解析 “至少有n个”的反面是“至多有n1个”， 又事件A“至少有2件次品”， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 事件 A 的对立事件为“至多有 1 件次品” 考点二 随机事件的概率多维探究 角度 1 频率与概率 例 2 (2018 北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下 表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是
13、指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值 (1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (2)随机选取 1 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； (3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变 化假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化那么哪类电影的好评率增加 0.1，哪类 电影的好评率减少 0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？ (只需写出结论) 解析 (1)由题意知，样本中电影的总部数是 140503002008005102 000， 第四类电影中获得好评的电影部数是
14、2000.2550 故所求概率为 50 2 0000.025 (2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是 1400.4500.23000.152000.258000.25100.1 5610455016051 372 故所求概率估计为 1 372 2 0000.814 (3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率 角度 2 统计与概率 例 3 (2021 云南名校适应性月考)下边茎叶图表示的是甲、 乙两人在 5 次综合测评 中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是( A ) 甲 乙 9 8 8 3 3 7 2 1 0 9 9 A4 5 B2 5 高考资源网
15、（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - C 9 10 D 7 10 解析 记其中被污损的数字为 x，由题知甲的 5 次综合测评的平均成绩是1 5(802 90389210)90， 乙的 5 次综合测评的平均成绩是 1 5(803902337x9) 442x 5 ， 令 90442x 5 ，解得 x8，即 x 的取值可以是 07，因此甲的平均成绩超过乙的平均成 绩的概率是 8 10 4 5故选 A 名师点拨 概率和频率的关系 概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小， 它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频
16、率 就近似地当作随机事件的概率 变式训练 2 (1)(2021 黑龙江大庆质检)某公司欲派甲、乙、丙 3 人到 A，B 两个城市出差，每人只去 1 个城市，且每个城市必须有人去，则 A 城市恰好只有甲去的概率为( B ) A1 5 B1 6 C1 3 D1 4 (2)(2021 吉林模拟)某超市随机选取 1 000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商 品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买 商品 顾客人数 甲 乙 丙 丁 100 217 200 300 85 98 估计顾客同时购买乙和丙的概率； 估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率； 高考资源网（
17、） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解析 (1)总的派法有：(甲、乙 A)，(丙 B)；(甲、乙 B)，(丙 A)；(甲、丙 A)，(乙 B)；(甲、 丙 B)，(乙 A)；(乙、丙 A)，(甲 B)；(乙、丙 B)，(甲 A)，共 6 种(或 C23A226(种)，A 城市恰好 只有甲去有一种，故所求概率 P1 6 (2)从统计表可以看出， 在这 1 000 位顾客中有 200 位顾客同时购买了乙和丙， 所以顾客 同时购买乙和丙的概率可以估计为 200 1 0000.2 从统计表可以看出，在这 1 000
18、 位顾客中有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 2 种商品，所以顾客在甲、乙、丙、 丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为100200 1 000 0.3 与同理可得： 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 200 1 0000.2， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100200300 1 000 0.6， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 100 1 0000.1 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大 考点三,互斥事件、对立事件的概率师生共研 例 4 (1)某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖
19、券，多购多得1 000 张奖券 为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个设 1 张奖券中特等奖、一等 奖、二等奖的事件分别为 A、B、C求： P(A)，P(B)，P(C)； 1 张奖券的中奖概率； 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 (2)(2021 河南新乡模拟)从 5 个同类产品(其中 3 个正品，2 个次品)中，任意抽取 2 个，下 列事件发生概率为 9 10的是( C ) A2 个都是正品 B恰有 1 个是正品 C至少有 1 个正品 D至多有 1 个正品 解析 (1)P(A) 1 1 000，P(B) 10 1 000 1 100， P(C) 50 1
20、000 1 20 因为事件 A， B， C 两两互斥， 所以 P(ABC)P(A)P(B)P(C) 1 1 000 1 100 1 20 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 61 1 000故 1 张奖券的中奖概率为 61 1 000 P( AB )1P(AB)1 1 1 000 1 100 989 1 000 故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 989 1 000 (2)从 5 个产品中任取 2 个的取法有54 2 10 种，其中 2 个都是正品的取法有32 2 3 种， 故 2 个都是正品的概率 P1 3 10； 其对立事件是“至多有 1 个正品”，
21、 概率为 P21P11 3 10 7 10恰有 1 个正品的取法有 326 种，故恰有 1 个正品的概率 P3 6 10 3 5至少有 1 个正 品的概率 P4P1P3 3 10 6 10 9 10 名师点拨 求复杂的互斥事件的概率的两种方法 (1)直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事 件的概率求和公式计算 (2)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P(A)1P( A )，即运用逆向思 维(正难则反)特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就显得较简便 变式训练 3 (1)(2020 西安二模)2021 年某省新高考将实行“312”模式， 即语
22、文、 数学、 外语必选， 物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有 12 种选课模式某同学已选了物 理，记事件 A：“他选择政治和地理”，事件 B：“他选择化学和地理”，则事件 A 与事件 B( A ) A是互斥事件，不是对立事件 B是对立事件，不是互斥事件 C既是互斥事件，也是对立事件 D既不是互斥事件也不是对立事件 (2)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买甲种 保险的概率为 0.3则该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率为_0.8_；该地 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为_0.2_ 解析 (1)2021 年某省新高
23、考将实行“3 12”模式，即语文、数学、外语必选，物 理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有 12 种选课模式某同学已选了物理， 记事件 A：“他选择政治和地理”，事件 B：“他选择化学和地理”，则事件 A 与事件 B 不能 同时发生，但能同时不发生，故事件 A 和 B 是互斥事件，但不是对立事件，故 A 正确故选 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - A (2)记 A 表示事件：该车主购买甲种保险；B 表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲 种保险；C 表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；D 表示事件：该车主甲、乙 两种保险都不购买 由题意
24、得 P(A)0.5，P(B)0.3，又 CAB， 所以 P(C)P(AB)P(A)P(B)0.50.30.8 因为 D 与 C 是对立事件，所以 P(D)1P(C)10.80.2 名师讲坛 素养提升 用正难则反的思想求互斥事件的概率 例 5 (1)(理)(2020 浙江湖州期末)现有 5 个不同编号的小球，其中黑色球 2 个，白色 球 2 个，红色球 1 个，若将其随机排成一列，则相同颜色的球都不相邻的概率是_2 5 _ (文)(2020 辽宁葫芦岛模拟)现有钉钉、腾讯、伯索云、直播云、云视讯 5 种在线教学软件， 若某学校要从中随机选取 3 种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中钉钉、腾
25、讯、云 视讯至多有 2 种被选取的概率为_ 9 10_ (2)(2021 洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 5 人及 5 人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求： (1)至多 2 人排队等候的概率是多少？ (2)至少 3 人排队等候的概率是多少？ 解析 (1)(理)5 个不同编号的小球排列有 A55120 种排法， 只有黑色(或白色)小球相邻的 排法有 A22A22A23种排法；黑色、白色小球分别相邻的排法有 A22A22A33种排法，故有相同颜色小球 相邻的排法有 2A22A22A23A22A22
26、A3372 种排法，故所求概率 P12072 120 2 5 (文)记钉钉D，腾讯T，伯索云B，直播云Z，云视讯Y，从 5 种软件中选 3 种的 选法与从中选 2 种的选法种数相同，有(D、T)，(D、B)，(D、Z)，(D、Y)，(T、B)，(T、Z)， (T、Y)，(B、Z)，(B、Y)，(Z、Y)共 10 种，记事件“钉钉、腾讯、云视讯至少有 2 种被选中” 为 A，则A 为“钉钉、腾讯、云视讯中选 3 种”就 1 种，P(A)1P(A)11 10 9 10 (2)记“无人排队等候”为事件 A，“1 人排队等候”为事件 B，“2 人排队等候”为事件 C，“3 人排队等候”为事件 D，“4
27、 人排队等候”为事件 E，“5 人及 5 人以上排队等候”为 事件 F，则事件 A，B，C，D，E，F 互斥 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 记“至多 2 人排队等候”为事件 G，则 GABC，所以 P(G)P(ABC)P(A) P(B)P(C)0.10.160.30.56 解法一：记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则 HDEF，所以 P(H)P(DE F)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44 解法二： 记“至少 3 人排队等候”为事件 H， 则其对立事件为事件 G， 所以 P(H)1P(G) 0.44 名师点拨 “正难则反”的思想是一种
28、常见的数学思想，如反证法、补集的思想都是“正难则反” 思想的体现在解决问题时，如果从问题的正面入手比较复杂或不易解决，那么尝试采用“正 难则反”思想往往会起到事半功倍的效果，大大降低题目的难度在求对立事件的概率时， 经常应用“正难则反”的思想，即若事件 A 与事件 B 互为对立事件，在求 P(A)或 P(B)时，利 用公式 P(A)1P(B)先求容易的一个，再求另一个 变式训练 4 某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购 物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示 一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及
29、 以上 顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间 (分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55% (1)确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率(将频率视为概率) 解析 (1)由已知得 25y1055，x3045， 所以 x15，y 20 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结 算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可 用样本平均数估计，其估计值为 1151.5302252.520310 100 1.9(分钟) (2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”， A1， A2分别表示事件“该 顾客一次购物的结算时间为 2.5 分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为 3 分钟”，将频率视 为概率得 P(A1) 20 100 1 5，P(A2) 10 100 1 10 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - P(A)1P(A1)P(A2)11 5 1 10 7 10 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的 概率为 7 10
