1、选修 44 坐标系与参数方程 第一讲第一讲 坐标系坐标系 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ：_ x x0， y y0 _的作用 下，点 P(x，y)对应到点 P(x，y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称_ 伸缩_变换 知识点二 极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系： 在平面上取一个定点 O，由 O 点出发的一条射线 Ox，一个长度单位及计算角度的正方向 (通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系，O 点称为极点，Ox 称为极轴，平面上任一点 M 的位置可以由线段 OM 的长度 和从
2、Ox 到 OM 的角度 来刻画(如图)，这两个数组成的有序 数对(，)称为点 M 的极坐标， 称为_极径_， 称为_极角_ (2)极坐标与直角坐标的互相转化： 互相转化的前提条件： a_极点_与坐标原点重合；b_极轴_与 x 轴正半轴重合， 2的射线与 y 轴正半轴 重合；c取相同的单位长度 互相转化公式： 设点 P 的直角坐标为(x，y)，它的极坐标为(，)，则互相转化公式为 xcos ， ysin ， 2x2y2， tan y xx0. 知识点三 直线的极坐标方程 (1)特殊位置的直线的极坐标方程： 直线 极坐标方程 图形 过极点，倾斜角为 _(R)或 _(R) (_和 _(0) 过点(a
3、,0)，与极轴垂 直 _cos_a 2 2 过点 a， 2 ，与极轴 平行 _sin_a(0) (2)一般位置的直线的极坐标方程：若直线 l 经过点 M(0，0)，且极轴到此直线的角为 ， 直线 l 的极坐标方程为：sin()_0sin(0)_ 知识点四 半径为 r 的圆的极坐标方程 (1)特殊位置的圆的极坐标方程： 圆心的 极坐标 圆的极坐标方程 图形 (0,0) _r_(02) (r,0) _2rcos_ 2 2 r， 2 _2rsin_(0) (r，) _2rcos_ 2 3 2 r，3 2 _2rsin_(2) (2)一般位置的圆的极坐标方程：圆心为 M(0，0)，半径为 r 的圆的极
4、坐标方程为_2 20cos(0)20r20_ 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若点 P 的直角坐标为(1， 3)，则点 P 的一个极坐标是 2， 3 ( ) (2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的( ) (3)极坐标方程 (0)表示的曲线是一条直线( ) (4)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点 O 的圆的极坐标方程为 2asin ( ) 题组二 走进教材 2(P15T47)在极坐标系中，圆 2sin 的圆心的极坐标是( B ) A 1， 2 B 1， 2 C(1,0) D(1，) 解析 由 2sin，得 22sin，化为普
5、通方程 x2(y1)21，其圆心坐标为(0， 1)，所以其极坐标为 1， 2 ，故应选 B 题组三 走向高考 3(2018 北京高考)在极坐标系中，直线 cos sin a(a0)与圆 2cos 相切，则 a_1 2_ 解析 由 cos x， sin y， 2x2y2 可将直线 cos sin a 化为 xya0，将 2cos ，即 22cos 化为 x2y22x，整理成标准方程为(x1)2y21 又直线与圆相切，圆心(1,0)到直线 xya0 的距离 d|1a| 2 1，解得 a1 2， a0，a1 2 4(2019 江苏)在极坐标系中，已知两点 A 3， 4 ，B 2， 2 ，直线 l 的
6、方程为 sin 4 3 (1)求 A、B 两点间的距离； (2)求点 B 到直线 l 的距离 解析 解法一：(1)设极点为 O，在AOB 中，由余弦定理得 |AB|32 2223 2cos 2 4 5 (2)因为直线 l 的方程为 sin 4 3， 则直线 l 过点 3 2， 2 ，倾斜角为3 4 又 B 2， 2 ，点 B 到直线 l 的距离为 (3 2 2)sin 3 4 2 2 解法二：(1)A、B 两点直角坐标为 A 3 2 2 ，3 2 2 ，B(0， 2)， |AB| 3 2 2 0 2 3 2 2 2 2 5 (2)由 sin 4 3 得 2(sin cos )6， 又 xcos
7、 ，ysin ， 直线 l 的方程为 xy3 20， B 到直线 l 的距离 d| 23 2| 2 2 5(2020 新课标卷)已知曲线 C1，C2的参数方程分别为 C1： x4cos2 ， y4sin2 ( 为参数)， C2： xt1 t， yt1 t (t 为参数) (1)将 C1，C2的参数方程化为普通方程； (2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系设 C1，C2的交点为 P，求圆心 在极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程 解析 (1)由 cos2 sin2 1 得 C1的普通方程为：xy4； 由 xt1 t yt1 t 得： x2t21 t22 y2t21 t22
8、，两式作差可得 C2的普通方程为：x2y24 (2)由 xy4 x2y24 得 x5 2 y3 2 即 P 5 2， 3 2 ； 设所求圆圆心的直角坐标为(a,0)，其中 a0， 则 a5 2 2 03 2 2a2，解得：a17 10， 所求圆的半径 r17 10， 所求圆的直角坐标方程为： x17 10 2y2 17 10 2，即 x2y217 5 x， 所求圆的极坐标方程为 17 5 cos 考点突破 互动探究 考点一 平面直角坐标系下伸缩的变换 例 1 (1)在同一平面直角坐标系中，直线 2xy4 变成 xy2 的伸缩变换是 ( C ) A xx， y2y B x1 2x， yy C x
9、x， y1 2y D x1 2x， y4y (2)求双曲线 C：x2y 2 641 经过 ： x3x， y1 2y， 变换后所得曲线 C的焦点坐标 解析 (1)设其伸缩变换为 ： xx 0， yy 0， 则 xy2,2x2y4，于是 22， 21， 解得 1， 1 2. 所以 ： xx， y1 2y. 故选 C (2)设曲线 C上任意一点 P(x，y)， 由条件可知，将 x1 3x， y2y 代入 x2y 2 641 中， 得x 2 9 4y 2 64 1，化简得x 2 9 y 2 16 1， 即x 2 9 y2 161 为曲线 C的方程， 可见仍是双曲线，且焦点为 F1(5,0)，F2(5,
10、0) 名师点拨 伸缩变换公式应用时的两个注意点 (1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分 变换前的点 P 的坐标(x，y)与变换后的点 P的坐标(X，Y)，再利用伸缩变换公式 Xaxa0， Ybyb0 建立联系 (2)已知变换后的曲线方程 f(x，y)0，一般都要改写为方程 f(X，Y)0，再利用换元法确 定伸缩变换公式 变式训练 1 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 x2x， y3y 后的图形 (1)2x3y0； (2)x2y21 解析 由伸缩变换 x2x， y3y， 得到 x1 2x， y1 3y. (*) (1)将(*)代入
11、2x3y0，得到经过伸缩变换后的图形方程是 xy0 因此，经过伸缩变换 x2x， y3y 后， 直线 2x3y0 变成直线 xy0 (2)将(*)代入 x2y21，得到经过伸缩变换后的图形的方程是x 2 4 y 2 9 1 因此，经过伸缩变换 x2x， y3y 后，圆 x2y21 变成椭圆x 2 4 y 2 9 1 考点二 极坐标与直角坐标的互化 例 2 (1)将直角坐标方程与极坐标方程互化 y24x；x2y22x10； 2cos 24； 1 2cos (2)(2018 课标卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为 yk|x|2以坐标原点为极 点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
12、C2的极坐标方程 22cos 30 求 C2的直角坐标方程； 若 C1与 C2有且仅有三个公共点，求 C1的方程 解析 (1)将 xcos ，ysin 代入 y24x 得 2sin2 4cos ，即 sin24cos 0 将 xcos ，ysin 代入 x2y22x10 得 22cos 10 由 2cos 24 得 2cos22sin24， 将 cos x，sin y 代入得 x2y24 由 1 2cos 得 2cos 1， 42(cos )22cos 1，将 2x2y2， cos x 代入得 3x24y22x10 (2)由 xcos ，ysin 得 C2的直角坐标方程为(x1)2y24 由知
13、 C2是圆心为 A(1,0)，半径为 2 的圆 由题设知，C1是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线 记 y 轴右边的射线为 l1，y 轴左边的射线为 l2 由于 B 在圆 C2的外面， 故 C1与 C2有且仅有三个公共点等价于 l1与 C2只有一个公共点且 l2与 C2有两个公共点，或 l2与 C2只有一个公共点且 l1与 C2有两个公共点 当 l1与 C2只有一个公共点时， A 到 l1所在直线的距离为 2， 所以|k2| k21 2， 故 k4 3或 k0，经检验，当 k0 时，l1与 C2没有公共点；当 k4 3时，l1 与 C2只有一个公共点，l2 与 C2有两个公共点 当
14、 l2与 C2只有一个公共点时，A 到 l2所在直线的距离为 2，所以 |k2| k212，故 k0 或 k 4 3经检验，当 k0 时，l1 与 C2没有公共点；当 k4 3时，l1与 C2 没有公共点 综上，所求 C1的方程为 y4 3|x|2 名师点拨 (1)直角坐标方程化为极坐标方程时，将 xcos 及 ysin 直接代入并化简即可 (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常先通过变形，构造形如 cos ，sin ，2的形式， 再进行整体代换 其中方程的两边同乘(或同除以) 及方程两边同时平方是常用的变形方法 但 对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验 变式训练 2 (2
15、021 河北唐山模拟)在直角坐标系 xOy 中，圆 C1：(x1)2y21，圆 C2：(x2)2y2 4以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求圆 C1，C2的极坐标方程； (2)设 A，B 分别为 C1，C2上的点，若OAB 为等边三角形，求|AB| 解析 (1)依题意可得，圆 C1：(x1)2y21； 圆 C2：(x2)2y24， 所以 C1：x2y22x，C2：x2y24x， 因为 x2y22，xcos ， 所以 C1：2cos ；C24cos (2)因为 C1，C2都关于 x 轴对称，OAB 为等边三角形， 所以不妨设 A(A，)，B B， 3 ，0 2 依题
16、意可得，A2cos ，B4cos 3 从而 2cos 4cos 3 ， 整理得，2cos 3sin ，所以 tan 2 3 3 ， 又因为 0 2，所以 cos 21 7 ， |AB|OA|A2 21 7 考点三,求曲线的极坐标方程 例 3 (2019 课标全国，22)在极坐标系中，O 为极点，点 M(0，0)(00)在曲 线 C：4sin 上，直线 l 过点 A(4,0)且与 OM 垂直，垂足为 P (1)当 0 3时，求 0 及 l 的极坐标方程； (2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程 解析 (1)M(0，0)在 C 上， 当 0 3时，04s
17、in 32 3 由已知得|OP|OA|cos 32 设 Q(，)为 l 上除 P 外的任意一点， 在 RtOPQ 中，cos 3 |OP|2 经检验，点 P 2， 3 在曲线 cos 3 2 上 l 的极坐标方程为 cos 3 2 (2)设 P(，)，在 RtOAP 中， |OP|OA|cos 4cos ，即 4cos 因为 P 在线段 OM 上，且 APOM，故 的取值范围是 4， 2 P 点轨迹的极坐标方程为 4cos ， 4， 2 变式训练 3 (2019 课标全国，22)如图，在极坐标系 Ox 中，A(2,0)，B 2， 4 ，C 2，3 4 ，D(2， )，弧AB ，BC ，CD 所
18、在圆的圆心分别是(1,0)， 1， 2 ，(1，)，曲线 M1是弧AB ，曲线 M2是弧BC ，曲线 M3是弧CD (1)分别写出 M1，M2，M3的极坐标方程； (2)曲线 M 由 M1，M2，M3构成，若点 P 在 M 上，且|OP| 3，求 P 的极坐标 解析 (1)由题设可得，弧AB ，BC ，CD 所在圆的极坐标方程分别为 2cos ， 2sin ，2cos M1的极坐标方程为 2cos 0 4 ， M2的极坐标方程为 2sin 4 3 4 ， M3的极坐标方程为 2cos 3 4 (2)设 P(，)，由题设及(1)知： 若 0 4，则 2cos 3，解得 6； 若 4 3 4 ，则
19、 2sin 3，解得 3或 2 3 ； 若3 4 ，则2cos 3，解得 5 6 综上，P 的极坐标为 3， 6 或 3， 3 或 3，2 3 或 3，5 6 名师点拨 求曲线的极坐标方程的步骤 (1)建立适当的极坐标系，设 P(，)是曲线上任意一点 (2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 和极角 之间的关系式 (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程 注：也可先求曲线的直角坐标方程再化成极坐标方程 考点四,简单曲线的极坐标方程及应用 例 4 (2020 广东化州模拟)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 x2rcos yrsin ( 为参数)，以
20、坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 sin( 6)3，且曲线 C1 与 C2恰有一个公共点 (1)求曲线 C1的极坐标方程； (2)已知曲线 C1上两点 A，B 满足AOB 4，求AOB 面积的最大值 解析 (1)曲线 C2的极坐标方程为 sin 6 3，即 3 2 sin 1 2cos 3， 将 sin y，cos x 代入上式可得 C2直角坐标方程为 3 2 y1 2x3， 即 x 3y60，所以曲线 C2为直线 又曲线 C1是圆心为(2,0)，半径为|r|的圆， 因为圆 C1与直线 C1恰有一个公共点， 所以|r|26| 2 2， 所以圆 C
21、1的普通方程为 x2y24x0， 把 x2y22，xcos 代入上式可得 C1的极坐标方程为 24cos 0，即 4cos (2)由题意可设 A(1，)，B 2， 4 ，(10，20)， SMON1 2|OA |OB |sin 4 2 4 12 4 2cos cos 4 4(cos2sin cos ) 4 1cos 2 2 sin 2 2 22 2cos 2 4 所以当 cos 2 4 1 时，AOB 的面积最大，且最大值为 22 2 例 5 (2020 山西省晋中市一模)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 x2cos ， y22sin ( 为参数)以原点 O 为极点，x 轴正半
22、轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极 坐标方程为 6 (1)求曲线 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； (2)已知曲线 C3的极坐标方程为 4cos ，点 A 是曲线 C2与 C1的交点，点 B 是曲线 C3 与 C2的交点，且 A，B 均异于极点 O，求|AB|的值 解析 (1)曲线 C1的参数方程为 x2cos y22sin ( 为参数) 转换为普通方程为 x2(y2)24 曲线 C2的极坐标方程为 6 转换为直角坐标方程为：y 3 3 x(x0) (2)曲线 C1的参数方程为 x2cos ， y22sin ( 为参数) 转换为极坐标方程为：4sin 所以 4cos ， 6， 4sin
23、 ， 6， 解得：12 3，22 整理得|AB|12|2 32 名师点拨 1解决极坐标问题的一般思路： (1)如果对极坐标的意义和应用不太熟悉，可将极坐标方程化为直角坐标方程，求出曲线 方程或交点坐标，再将其化为极坐标的形式； (2)直接建立或求解极坐标方程，再结合题意求解 2利用 的几何意义解题 已知直线 l 与曲线 C 的极坐标方程，且直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，则利用极坐标方 程中的极径 解题时，一般将直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的极坐标方程联立，消去极角 ， 得到关于 的一元二次方程，即可利用根与系数的关系求弦长(弦 AB 的长|AB|12|，其中 1，2为一元二次
24、方程的解)或者求弦长的取值范围等 变式训练 4 (2017 全国)在直角坐标系 xOy 中， 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C1的极坐标方程为 cos 4 (1)M 为曲线 C1上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM| |OP|16，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程； (2)设点 A 的极坐标为 2， 3 ，点 B 在曲线 C2上，求OAB 面积的最大值 解析 (1)设点 P 的极坐标为(，)(0)， 点 M 的极坐标为(1，)(10) 由题意知|OP|，|OM|1 4 cos 由|OM| |OP|16，得 C2的极坐标方程 4cos (0) 因此 C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0) (2)设点 B 的极坐标为(B，)(B0) 由题设知|OA|2，B4cos ， 于是OAB 的面积 S1 2|OA| B sinAOB 4cos sin 3 2 sin 2 3 3 2 2 3 当 12时，S 取得最大值 2 3， 所以OAB 面积的最大值为 2 3
