1、一次函数的图象及其性质教学案例一次函数的图象及其性质教学案例及及反思反思 授课内容 本课为人教版义务教育课程标准实验教科书数学八年级下册 “一次函数的图象及其性质” 活动活动 1 1：复习正比例函数和一次函数的定义及一般表达式，正比 例函数的图象是什么形状，K 的正负对它有什么影响？（生表现踊跃 发言）对比一次函数和正比例函数只多了一个 b，那么 k 和 b 对图象 和性质有什么作用呢，引出今天的课题： 19.2 一次函数的图象和性质。 活动活动 2 2： 我们是怎样获得正比例函数的性质？教师引导学生说出 正比例函数的性质及其研究步骤：画图象观察图象解释坐标的 意义，类比正比例来研究一次函数图
2、象和性质。 设计意图：回顾正比例函数性质及其研究方法，为在研究一次函数 图象和性质中进行类比提供参照对象，引导学生自然合理地提出一次函 数的研究任务和研究方法。 活动活动 3 3：让我们从具体函数 y=x 和 y=x+2,y=x-2 的画图，怎样 画？复习画图象的步骤（列表、描点、连线）后，学生独立完成。 师生：类比正比例函数图象，直观发现一次函数 y=x+2,y=x-2 的图 象是平行于直线 y=x 的一条直线，再比较一次函数与正比例函数的 解析式，发现当 X 分别取-2、-1、0、1、2 等时，一次函数的函数值 比正比例函数的函数值对应地大了 2 或小了 2， 这个规律对自变量的 任何取值
3、都成立。这反映在图象上是直线 y=x 向上或向下平移 2 个 单位长度就得到一次函数的图象，因此函数 y=x+2,y=x-2 的图象确 实是一条直线。然后教师用几可画板软件的动画展示验证，从而确 认函数 y=x+2,y=x-2 的图象的确是一条直线。 设计意图：让学生先按照研究正比例函数的方法用描点法画 y=x+2,y=x-2的图象，直观观察，发现图象可以是直线，通过回顾正比 例函数图象也是直线，让学生自然，合理地想到需要与正比例函数的图 象进行比较，从表达式和图象两方面分析（结合图形平移相关知识）两 个图象之间的关系，然后通过动画验证。 活动活动 4 4：对于一般的一次函数 y=kx+b，它
4、的图象形状是什么？ 师生活动：教师引导学生比较解析式，把解析式中函数值之间的关 系通过坐标转化的图象的平移关系，从而由函数 y=kx 的图象是直线 得到函数 y=kx+b 图象也是直线。 （把研究一次函数图象形状得到的 结论推广到一般的一次函数。 活动活动 5 5：既然一次函数的图象是一条直线，在几何中直线是怎样 确定的？由此，能得到画一次数图象的简便方法吗？ 设计意图：教师启发学生找到画直线的“两点式”简易方法后，教 师引导学生类比正比例函数图象性质的研究目标（增减性与 K 的符号的 关系）和研究方法去研究一次函数。 然后教师布置任务：用简便方法分别在已准备好的平面直角坐 标系同一坐标系中画
5、出一次函数12 xy 12 xy xy21xy 1xy xy的图象，让学生充分，合作交流，课堂气氛活跃。教 师到每组巡视、指导，在确认画图全部正确的情况下，提出了要求， 开始了探究之旅。 师：请同学们小组之间比较一下，你们画的图象位置一样吗？ 生；不一样。 师：有什么不一样？（开始聚焦矛盾） 生 A：走向不一样。 生 B：经过的象限不一样。 生 C：我们的图象在原点的上方，他们的图象在原点的下方。 师：看来是有些不一样，那么它们位置的不一样是由什么要素决定 的？（教师指明了探究方向，但未指明具体的探究之路，这是明智 的） 生：是由 k、b 的取值确定的。 师：好了，根据同学们的回答，能得到图象
6、或函数的那些结论？（顺 水推舟，放手让学生一搏） 热烈讨论后，生 A 回答并板书，当 k0 时，图象从“左下”到“右 上” ；当 k0 时，图象在原点的上方，当 b0,b0 时，图象过一、二、三象限。 另一生 D 跑到黑板前补充：当 k0，b0 时，图象过一、三、四象限； 当 k0 时，图象过一、二、四象限，当 k0，b0 时，图象向上爬；当 k0 时，x 与 y 同向变化;当 k0,x 增大，y 生：增大。 师: 当 k0 时，xy 生：x 增大，y 减小；x 减小，y 增大。 （在这里，教师努力避免了“告诉”的知识传授方式。间接引导需 要智慧，是一种艺术） 师：好了，我们就用 x 与 y
7、之间的变化规律来表述一次函数的性质， 好吗？请同学们在书上补充一下图象的性质，并熟悉一下一次函数 的性质。 （接下来学生练习几道题） 师；有人能得出正比例函数性质吗？ 生：它是 y=kx+b 中 b=0 时的性质，其实 y=kx 与 y=kx+b 的性质是一 致的。 （特殊与一般的关系，学生理解起来非常容易） 最后最后 教师用教师用 DESMOS DESMOS 软件演示验证软件演示验证 K K 的正负的正负 决定了图象的变化趋决定了图象的变化趋 势和增减性势和增减性 ， b b 的正负的正负 决定了图象和决定了图象和 Y Y 轴的交点坐标，轴的交点坐标， K K 和和 b b 共同决共同决 定
8、了图象的位置。定了图象的位置。 ( ( 学生对于前面学生对于前面 K K 和和 b b 的图象及性质有些模糊， 但的图象及性质有些模糊， 但 看完演示之后，有的学生立刻就明白了，体现了多媒体的直观看完演示之后，有的学生立刻就明白了，体现了多媒体的直观 形象形象 性。性。 ) ) 案例反思 这节课，我依据教材进行了探究性重组，同时采取了放手让学 生在探究活动中去经历、体验、内化知识。通过用两种画函数图象 方法（描点法是画陌生函数图象的通法，两点法是画一次函数图象 的特殊方法） ，通过观察图象研究函数的性质，这是直观地认识函数 性质的基本方法。通过类比正比例函数图象性质学习一次函数图象 和性质，一
9、次函数性质的核心是其增减性与系数 K 的符号之间的关 系，在一次函数的图象及其性质研究中，蕴含了数形结合的思想、 分类讨论的思想和观察、表征、类比、归纳等数学认知活动，这些 教学方法的运用能够让授课达到了好的效果。通过教学过程的反思， 深刻体会到上好一节课就是不停地进行修行再修行，也进行了自我 反思，有如下几点需要改进的地方 ： 1、在授课时由于学生的探究需要大量的时间，所以没有真正放 手让学生去探究，今后在授课时一定提前给充分时间画图，只有学 生动手画图了实践了，才有具体直观的感受，更利于学生的接受， 这让我体会到我们的一切教学都要围绕学生的成长与发展做文章， 真正让学生理解、掌握真实真正的
10、知识要通过动手操作。 2、学生在理解 K 的作用时掌握的较好，他们可以类比正比例函 数很快掌握，但对于 b 的作用，学生理解不到位。由于我在教学过 程中给学生的观察时间不够，在引导过程中语言不简洁到位，在上 课时没有对知识进行及时归纳总结，所以学生对于 b 的作用的掌握 稍差。 3、教师在学生探究真知之旅上应是一个促进者、协作者、组织 者。要做善于点燃学生探究欲望和智慧火把的人，要善于让学生说 教师要说的话，做教师想做的事，这就是一个成功的促进者。数学 教学的过程是师生共同活动、共同成长与发展的过程。真正的知识 不全是由教材和教师讲授的途径获取的，其实学生也是课程资源的 开发者，如本课例中的“走向”问题， “同向变化”等，这为函数性 质的得出做了很好的铺垫。要彻底抛弃 “教师的一言堂” ，与学生 一起去探究协作，寻觅适合学生自己的真知才是最有效的教学。要 开展成功的探究，教师要科学设置问题情景或问题素材，使探究的 问题具有层次性和探究性，适时、适势、适度地用教学机智调控课 堂。例如本课中，学生老是得不出一次函数性质的内容，其中引导 的过程就是充满机智的过程。在教学设计中，要预设多种意外和可 能，这样探究真知的过程就会艰辛并顺利展开。这才是一个成功的 组织者。
