1、正比例函数正比例函数（第一（第一课时）课时） 教学设计教学设计 一、一、 内容和内容分析内容和内容分析 1. 内容内容 正比例函数的概念 2. 内容分析内容分析 一次函数是最基本的初等函数，是初中函数学习的重要内容，正 比例函数是特殊的一次函数，也是初中学生接触到的第一种函数，这 节课要通过对正比例函数的学习， 为后面类比学习一般的一次函数打 好基础，了解研究函数的基本思路和方法，积累研究一般一次函数乃 至其他各种函数的基本经验。 对正比例函数概念的学习， 既要借助具体的函数进一步加深对函 数概念的理解，即实际问题的两个变量中，当一个变量变化时，另一 个变量随着它的变化而变化，而且对于这个变量
2、的每一个确定的值， 另一个变量都有唯一的值与之对应，这是正比例函数的核心；也要加 强对正比例函数基本特征的认识， 即根据实际问题构建的函数模型中， 函数和自变量每一对对应值的比值是一定的，等于比例系数，反应在 函数解析式上，这些函数都是常数与自变量的积的形式，这是正比例 函数的基本特征。 本节课主要通过对生活中大量实际问题的分析， 写出变量间的函 数关系式，观察比较概括出这些函数关系式具有的共同特征，根据共 同特征抽象出正比例函数的基本模型，归纳得出正比例函数的概念， 再用正比例函数的概念对具体函数进行辨析，对实际事例进行分析， 根据已知条件写出正比例函数的解析式。 基于以上分析，确定本节课的
3、教学重点基于以上分析，确定本节课的教学重点：正比例函数的概念。 二、二、 目标和目标解析目标和目标解析 1. 教学目标教学目标 （1） 经历正比例函数概念的形成，理解正比例函数的概念； （2） 能根据已知条件确定正比例函数的解析式，体会函数的建模 思想。 2. 目标分析目标分析 达成目标（1）的标志是：通过对实际问题的分析，知道自变量 和函数成正比例的特征，能概括抽象出正比例函数的概念。 达成目标（2）的标志是：能根据实际问题中的已知条件确定变 量间的正比例函数关系式，将实际问题抽象为函数模型，体会函数建 模思想。 三、三、 教学问题预计与分析教学问题预计与分析 正比例函数是初中学生接触到的第
4、一种初等函数， 由于函数概念 比较抽象，学生对函数基本概念理解未必深刻，在对实际问题进行分 析过程中，需进一步强化对函数概念的理解：即实际问题的两个变量 中，当一个变量变化时，另一个变量随着它的变化而变化，而且对于 这个变量的每一个确定的值，另一个变量都有唯一的值与之对应；对 正比例函数概念的理解关键是对正比例函数基本特征的认识， 要通过 大量实例分析，写出变量之间的函数关系式，观察比较发现这些函数 具有的共同特征，即函数与自变量的每一对对应值的比值一定，都等 于自变量前的常数，这些函数都是常数与自变量的积的形式，再根据 共同特征抽象出正比例函数的基本模型， 归纳得出正比例函数的概念。 对正比
5、例函数基本特征的认识和正比例函数概念的抽象归纳过程学 生有一定的难度。 因此确定本节课的教学难点：因此确定本节课的教学难点：对正比例函数基本特征的认识和正 比例函数概念的抽象归纳过程。 四、四、 教学过程设计教学过程设计 1. 情景引入，初步感知情景引入，初步感知 引言：同学们，上一节课我们已经学习了关于函数的最基础的知 识，知道了变量与函数，函数的图像及函数的三种表示方法，从这节 课开始，我们将重点研究一种最基本的具体函数一次函数，本节 课先学习特殊的一次函数-正比例函数。 问题问题 1 2011 年开始运营的京泸高速铁路全长 1318 千米， 设列车 的平均速度 300 千米/时，请考虑以
6、下问题： （1） 乘京泸高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站， 约需多少小时？ （2） 京泸高铁列车的行程 y（单位：千米）与运行时间 t(单位： 小时)之间有怎样的数量关系？ （3） 京泸高铁列车从北京南站出发 2.5 小时后，是否已经过了距 始发站 1100 千米的南京南站？ 师生活动：师生活动：教师引导学生分析问题中的数量关系，这是典型的行程问 题，数量关系是学生熟悉的“路程=速度时间” 。 设计意图：设计意图：让学生真切感受到数学与实际的联系，即数学理论来 源于实际又服务于实际。 帮助学生逐步提高将实际问题抽象为函数模 型的能力，初步体会函数建模思想。 对问题（1）学生解答后再
7、追问：在京泸高速铁路上平均速度 300 千米/时运行的列车，其运行时间在什么范围内？ 设计意图：设计意图：由于自变量 t 是列车运行时间，作为实际问题，自 变量的取值是受限制的，应对其取值范围作出说明。 对问题（2）的分析解答过程让学生回答下列问题： 追问追问 1 1 这个问题中两个变量之间的对应关系是函数吗？如果 是，试说明理由。 设计意图：设计意图：让学生感受变量与变量之间的函数关系，体会函数 关系蕴含在实际问题中，激发学生探究兴趣。对理由的说明学生可能 有障碍，此时教师要引导学生回顾函数概念的学习过程，用函数的概 念来回答：问题中的两个变量，当其中的变量 t 变化时另一个变量 y 随着
8、t 的变化而变化，并且对于变量 t 的每一个确定的值，另一个变 量 y 都有唯一确定的值其对应。 追问追问 2 2 请你写出 y 与 t 之间的函数解析式，并分析解析式在结 构上是什么形式？ 追问追问 3 3 对于自变量 t 和函数 y 的每一对对应值， y 与 t 的比值是 多少？这个比值会发生变化吗？ 师生活动：师生活动：追问 2 学生独立完成写出解析式，观察解析式的结构 形式后发表意见与同学交流；追问 3 分小组分别取不同的对应值，求 出比值后先小组内统一意见，然后全班交流。 设计意图：设计意图：让学生初步感知正比例函数解析式的结构形式为：左 边是表示函数的字母，右边是常数（量）与自变量
9、的积的形式。正比 例函数的基本特征是：对于自变量和函数的每一对对应值，函数值与 自变量的比值是一定的，都等于自变量前的那个常数。 对问题（3）的分析解答后可追问：我们是怎样确认列车是否已经 过了南京南站？ 师生活动：师生活动： 教师引导学生分析， 根据函数解析式， 求自变量 t=2.5 时的函数值，得出列车出发 2.5 小时的行程，再与两站的实际距离比 较，对实际问题做出解答。 设计意图：设计意图： 让学生初步体会用函数建模思想解决实际问题的方法。 2.2. 类比思考，概括共性类比思考，概括共性 问题问题 2 思考：思考：下列问题中，变量之间的对应关系是函数吗？如 果是，请写出函数解析式。 （
10、1） 圆的周长 l 随半径 r 的变化而变化。 （2） 铁的密度为 7.8g/cm3,铁块的质量 m（单位：g）随它的体积 v （单位：cm3）的变化而变化。 （3） 每个练习本的厚度为 0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h （单位：cm ）随练习本的个数 n 的变化而变化。 （4） 冷冻一个 00C 的物体，使它每分钟下降 20C，物体的温度 T（单 位：0C）随冷冻时间（单位：min）的变化而变化。 师生师生活动：活动：学生根据每个问题中蕴含的数量关系和已知条件，运 用函数建模思想独立写出每个问题中变量间的函数解析式。 设计意图设计意图：通过对实际问题抽象出的函数模型观察比较，找出它
11、 们具有的共同特征，为归纳抽象正比例函数的概念作准备。 3. 归纳抽象归纳抽象，建立概念，建立概念 问题问题 3 你能否根据上面这些函数的共同特征归纳出这种函数的 一般形式，即都可以写成 y=kx（k 是常数，k0）的形式。 设计意图设计意图： 让学生根据共同特征归纳抽象出正比例函数的一般形 式，培养学生从具体问题中抽象出共同具有的本质性的能力，知道一 般形式中字母的意义。知道自变量系数的限制条件为 k0。 追问追问 1 1：函数 y=kx（k 是常数，k0）中，对于自变量 x 和函数 y 的每一组对应值，函数值与对应自变量的比值等于多少？这说明两 个变量之间有怎样的关系？ 设计意图设计意图：
12、强化学生对正比例函数基本特征的认识，知道正比例 函数的两个变量具有正比例关系，为给正比例函数下定义埋下伏笔。 师生师生活动：活动：师生共同归纳出正比例函数的概念。 一般地一般地， 形如， 形如 y=kx （k 是是常数常数， k0 0） 的的函数， 叫做正比例函数，函数， 叫做正比例函数， 其中其中 k k 叫做叫做比例系数。比例系数。 设计意图设计意图： 引导学生根据函数解析式的形式和变量间具有的正比 例关系，得出正比例函数的定义。 4辨析辨析应用应用 巩固提高巩固提高 （1） 下列函数中哪些是正比例函数 （1）y=2x (2) y=x+2 (3) y=x/3 (4) y=x2+1 (5)
13、y=3/x (6) y=-2x+1 设计意图设计意图： 让学生通过对函数解析式的辨别进一步加深对正比例 函数的概念的理解与掌握。 （2） 若 y=5x3m-2是正比例函数，则 m=-. （3） 若 y=(m-2)xm2-3是正比例函数，则 m=-. （4） 若 y= xm2-3+(m-2) 是正比例函数，则 m=-. 设计设计意图：意图： 学生通过应用正比例函数的概念解决问题进一步加深 对正比例函数的条件的理解。 （5） 完成教科书第 87 页练习 1，补充问题，请指出比例系数是多 少？ （6） 完成教科书第 87 页练习 2. 设计意图：设计意图：引导学生根据概念辨析正比例函数，能够从实际问题 中根据已知条件抽象出函数模型并辨析是否是正比例函数。 5.反思反思小结小结 （1）本节课我们学习了什么内容？ （2）正比例函数中比例系数 k 有什么限制的条件？ （3）学习正比例函数的概念经历了怎样的过程？ 6.布置布置作业：作业： 已知函数 y=(m-2)x+m2-4 是正比例函数，则 m 的值是-，这 个函数的解析式为-。 设计意图设计意图：考察学生对正比例函数概念的理解。
