1、武汉市2021届高中毕业生四月质量检测 数学试卷 全解析数学试卷 全解析 武汉市教育科学研究院命制2021.4.20 本试题卷共5页， 22题， 全卷满分150分.考试用时120分钟. 祝考试顺利 一、 选择题： 本题共8小题， 每小题5分， 共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求 的. 本试题卷共5页， 22题， 全卷满分150分.考试用时120分钟. 祝考试顺利 一、 选择题： 本题共8小题， 每小题5分， 共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求 的. 【21届武汉4月调考1题】 设集合A， B 满足AB = 1,2,3,4,5,6， AB =
2、2,4， A= 2,3,4,5， 则B = () A. 2,4,5,6B.1,2,4,6C. 2,4,6D. 1,2,4 ： 【答案】 : B 【解析】 : A B = 2,4 ， A = 2,3,4,5 , 2 B,4 B,3 B,5 B，又 A B = 1,2,3,4,5,6,1B,6B,B = 1,2,4,6，故选B 【21届武汉4月调考2题】 复数z满足 z+1-i = z， 若z在复平面内对应的点为 x,y， 则() A. x-y+1=0B. x-y-1=0C. x+y+1=0D. x+y-1=0 ： 【答案】 : A 【解析】 : z + 1 - i与 z分别表示复平面内到A -1
3、,1 与B 0,0的距离， 由题意知： z的轨迹为线段AB 的中垂线上， 易求得： y=x+1,即x-y+1=0,故选A 【21届武汉4月调考3题】 设a=log0.20.3， b=log23， c=log46， 则() A. abcB. bacC. cabD. acb ： 【答案】 : D 【解析】 : a = log0.20.3 log2 6 =log46 = c 1, a c 0,b0 的左右焦点分别为F1， F2， 以F1F2为直径的 圆与双曲线在第一象限交于点 A， 直线 AF1与双曲线的另一个交点为 B， 若 BF1 = 3，AF2= 5， 则 该双曲线的离心率为() A. 2B.
4、 5 3 C. 10 2 D. 15 3 ： 【答案】 : C 【解析】 : 分别构造两个直角三角形列方程组求解， 由双曲线 定义有： BF2=3+2a,AF1=2+2a在ABF2与AF1F2中,由勾股定理 有： (2a+5)2+52=（2c)2 (2a+2)2+52=(2a+3)2 解得： a=5,c= 5 10 2 ,e= c a = 10 2 x y F1F2 O A B 第2 页, 共9 页 【21届武汉4月调考8题】 在四棱锥 P - ABCD 中， DC = 3AB ， 过直线 AB 的平面将四棱锥截成体积相 等的两个部分， 设该平面与棱PC 交于点E， 则 PE PC =( )
5、A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 2 3 ： 【答案】 : D 【解析】 : 本题解析： 本题下底面是一个 平行四边形或梯形为底， 并且下底面对棱平行下底面.利用线性模型 体积等于底面与高乘积的一半可解.如右图所示， 意知： AB EF， 又 底面ABCD为梯形， 所以几何体ABCD-EF 的体积为： V= 1 2 SABCDh （设 E 到底面 ABCD 高为 h） ， 根据题意有： 棱锥 P - ABCD = 2V = 1 3 SABCDxh. （设P到底面ABCD高为xh） 故有： SABCDh= 1 3 SABCDxh， 得x=3. PE PC = 3h-h 3h = 2
6、 3 故选D 二、 选择题： 本题共4小题， 每小题5分， 共20分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选 对的得5分， 部分选对的得2分， 有选错的得0分. 二、 选择题： 本题共4小题， 每小题5分， 共20分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选 对的得5分， 部分选对的得2分， 有选错的得0分. 【21届武汉4月调考9题】 已知 F 为椭圆 x2 a2 + y2 b2 = 1 ab0 的一个焦点， A， B 为该椭圆的两个顶 点， 若 AF =3，BF=5， 则满足条件的椭圆方程为() A. x2 4 + y2 3 =1 B. x2 9 + y2 5 =1
7、C. x2 16 + y2 15 =1 D. x2 25 + y2 21 =1 ： 【答案】 : BCD 【解析】 : 本题讨论 AB 位置， 由于椭圆对称性， 不妨设 F 为右焦点， 分 3 种情况讨论： x y A BF x y A B F x y A BF （1）（2）（3） （1） 情况时： a+c=5 a-c=3 a=4 c=1 x2 16 + y2 15 =1 (2)情况时： a=5 a-c=3 a=5 c=2 x2 25 + y2 21 =1 (3)情况时： a=3 a+c=5 a=3 c=2 x2 9 + y2 5 =1 综上： 本题选： BCD 【21届武汉4月调考10题】
8、已知A1B1C1和 A2B2C2中， A1= A2= 30， B1C1= B2C2= 2， 若 “A1B1= A2B2=t” 是 “A1B1C1和A2B2C2全等” 的充分条件， 则常数t可以是() A. 2B. 3C. 4D. 5 A B C D P E F 第3 页, 共9 页 ： 【答案】 : AC 【解析】 : 本题考查解三角形的个数探讨： 如右图： 对ABCD分别讨论： A: t = 2, 此时 BC AC， 满足的三角形 ABC 只有一个， 能推出 A1B1C1 和A2B2C2全等， A正确； B :t=3, 2( t 2 ,t)， 不满足三角形的唯一性， 不能推出， 错误； C
9、:t=4,此时BC =AB， 满足的三角形ABC 只有一个， 能推出A1B1C1和 A2B2C2全等， C 正确； D:t=5,此时BC 1 2 AB = 5 2 ， 不能构成三角形ABC， 错误. 故选： AC 【21届武汉4月调考11题】 下列关于函数 f x=sin 1 x 的判断中正确的有( ) A. 值域为 -1,1B. 是奇函数 C： 是区间 2 ,4 上的增函数D.对任意正实数t， 在区间 0,t上有无穷多个零点 ： 【答案】 : ABD 函数 f(x)定义域为：-,0 0,+， 定义域关于原点对称.所以 f(x)-1,1， A正确； 因为定义域关于原点对称， 且 f(-x)=
10、1 -x sin=- 1 x sin=-f(x), f(x) 是奇函数， B 正确； C 选项： f(x)=- 1 x2 1 x cos， 当x 2 ,4 时， f(x) 1 k 在区间 0,t 上有 无穷零点， 故正确. （可以这样理解， 对任意正实数 t， k趋近于+, 1 k 无限趋近于0， 显然必有无穷 多个零点） . 综上选： ABD 【21届武汉4月调考12题】 在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时， 若两个变量不呈线性相关关 系， 可以建立含两个待定参数的非线性模型， 并引入中间变量将其转化为线性关系， 再利用最小二乘 法进行线性回归分析.下列选项为四个同学根据自己所得数据的
11、散点图建立的非线性模型， 且散点 图的样本点均位于第一象限， 则其中可以根据上述方法进行回归分析的模型有() A. y=c1x2+c2xB. y= x+c1 x+c2 C.y=c1+ln x+c2)D.y=c1ex+c2 ： 【答案】 : ABC 【解析】 : 首先可以进行回归分析模型的概念： 回归分析： 对具有相关关系的两个变量进行统计分析 的一种常用方法叫回归分析， 若线性相关， 我们运用的时最小二乘法求一次回归直线方 t/2 t t 30 A B C C 第4 页, 共9 页 程， 最小二乘法通过最小化误差的平方和寻找匹配数据的最佳函数拟合.接下来看选项： A: y x =c1x+c2,
12、令y= y x ,有y=c1x+c2,符合题意； B :y= x+c1 x+c2 =1+ c1-c2 x+c2 ， 令 1 y-1 = x c1-c2 + c2 c1-c2 ，仿照A， 符合回归分析两个参量， 正确； C :y=c1+ln x+c2)， 令x=ey-c1-c2， 令y=ey， 同样满足， 正确； D： 两边同时取对数： yln=x+c2+c1ln， 令y=yln ， 得y=x+c2+c1ln， 变量前x系数确定了， 所 以错误. 综上本题选： ABC 三、 填空题： 本题共4小题， 每小题5分， 共20分.三、 填空题： 本题共4小题， 每小题5分， 共20分. 【21届武汉4
13、月调考13题】 1-x21+ 1 x 6 展开式中的常数项为 ： 【答案】 : -14 【解析】 : 1 - x2 1+ 1 x 6 = 1-x2 1 x +1 6 通项公式为 （1 - x2)C r 6x -r， 展开式中 常数项为： 1C0 6+(-x 2)C2 6x -2=-14 【21届武汉4月调考14题】 某圆柱的侧面展开图是面积为 16 的正方形， 则该圆柱一个底面的面积为 4 ： 【答案】 : 【解析】 : 圆柱的侧面展开图是面积为16 的正方形， 所以圆柱底面圆周长为4， 半径 r= 4 2 = 2 ,该圆柱一个底面的面积为r2= 4 【21届武汉4月调考15题】 15写出一个
14、定义在R上且值域为 -1,1的奇函数 f x= ： 【答案】 : ex-1 ex+1 (答案不唯一） 【解析】 : 本题奇函数 y = ex-1 ex+1 符合， 或者 f(x)= -3x,x-1 x,-1x1 ( 1 3 )x,x1 等其他答案符合题意 即可. 【21届武汉4月调考16题】 某班级在一次植树种花活动中负责对一片圆环区域花圃栽植鲜花， 该圆环区 域被等分为n个部分 n4， 每个部分从红， 黄， 蓝三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植， 要求相邻 区域不能用同种颜色的鲜花将总的栽植方案数用 an表示， 则 a4=， an= ( 本题 第一空2分， 第二空3分) ： 【答案】 : 18
15、； 2n + 2( -1)n 【解析】 : 当 n = 4 时， 对 1、 3 讨论： 当1、 3同色时， 共有： 34=12 当1、 3不同色时， 共有： 321=6 故共有： 12+6=18种. 第二问： 当 n = 3 时， a3= 6 种； 当 n = 4 时， a4= 18 种； 当 n = 5 时， a5= 30 种； 第5 页, 共9 页 当 n=6时， a6=66种； 依次类推， 猜想归奶知： an=2n+2(-1)n 四、 解答题： 本题共6小题， 共70分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.四、 解答题： 本题共6小题， 共70分.解答应写出文字说明、 证明过程或演
16、算步骤. 【21届武汉4月调考17题】 (10分) 在2S5=S3+S9+12， S7 a4+a6+a7+a9 = 7 3 ， a25-a23 a24-a22 = 4 7 这三个条件中任选一个， 补充在下 面的问题中 问题： 已知 an为等差数列， 设其前n项和为Sn， a1=13， _， 是否存在正整数m， k(其 中1mk)， 使得Sm=Sk成立？若存在， 写出m， k满足的关系式； 若不存在， 请说明理由 【解析】 : 设 an 的公差为 d. 若选(1), 由 2S5=S3+S9+12 得: 2 5a1+10d= 3a1+3d+ 9a1+36d+12. 整理得: 2a1+19d+12=
17、0, 又 a1=13d=-2. 由 Sm=Sk得 : ma1+ m(m-1) 2 d=ka1+ k(k-1) 2 d. 13m-m(m-1)=13k-k(k-1). (m-k)(14-m-k)=0, 又 mk,m+k=14. 故存在正整数 m,k 满足 m+k=14. 若选(2), 由 S7 a4+a6+a7+a9 = 7 3 得: 7a1+21d 2 a4+a9 = 7 3 , 即 a1+3d 2 2a1+11d = 1 3 . a1+13d=0, 又 a1=13,d=-1. 由 Sm=Sk得 : ma1+ m(m-1) 2 d=ka1+ k(k-1) 2 d. 13m- m(m-1) 2
18、=13k- k(k-1) 2 , 又 mk. m+k=27, 故存在正整数 m,k, 满足 m+k=27. 若选(3), 由 a25-a23 a24-a22 = 4 7 得 : a5+a32d a4+a22d = 4 7 . 2a1+6d 2a1+4d = 4 7 3a1+13d=0, 又 a1=13,d=-3 由 Sm=Sk得 : ma1+ m(m-1) 2 d=ka1+ k(k-1) 2 d. 13m- 3 2 m(m-1)=13k- 3 2 k(k-1). 29(m-k)-3(m-k)(m+k)=0, 又 mk. 29-3(m+k)=0m+k= 29 3 . m,k 为正整数,故不存在.
19、 【21届武汉4月调考18题】 (12分) 平面凸四边形ABCD中， BAD=BCD=90， AD=3， AB =4 (1)若ABC =45， 求CD； (2)若BC =2 5， 求AC 【解析】 : 连接 BD， 在 RtBAD 中, 由AB =4,AD=3,BAD=90. 得BD=5,sinABD= 3 5 ,cosABD= 4 5 . sinDBC =sin 45-ABD=sin45cosABD-cos45sinABD= 2 2 4 5 - 2 2 3 5 = 第6 页, 共9 页 2 10 在 RtBCD 中, 由 BCD=90 知: CD=BDsinDBC =5 2 10 = 2 2
20、 (6分) (2)连接 AC, 由 (1) 知 BD=5, 在 RtABD 中易知 sinABD= 3 5 ,cosABD= 4 5 . 在 RtBCD中, 由 BC =2 5,BD=5 得 CD=5 易知 sinCBD= 5 5 ,cosCBD= 2 5 5 . cosABC =cos(ABD+CBD)=cosABDcosCBD-sinABDsinCBD= 4 5 2 5 5 - 3 5 5 5 = 5 5 在 ABC 中由余弦定理得: AC2=AB2+BC2-2AB BC cosABC =42+(2 5)2-24 2 5 5 5 =20 AC =2 5. 【21届武汉4月调考19题】 (1
21、2分) 如图， 四边形 ABCD 是边长为13 的菱形， 对角线 BD = 4， F 为 CD的中点， CE 平面BCD， CE =2现沿BD将ABD翻折至 A1BD的位置， 使得平面A1BD平面CBD， 且点A1和E 在平面 BCD同侧 (1)证明： A1F 平面BCE； (2)求二面角A1-BF -E 大小的正弦值 【解析】 : 取BD中点O,连A1O,OF,F 为 CD 的中点, OF/BC, 又 OF 面 BCE,BC 面 BCE. OF/ 平面 BCE,A1B =A1D,A1OBD, 又 平面 A1BD 平面 CBD, 平面 A1BD 平面 CBD=BD. A1O 平面 CBD, 又
22、 CE 平面 CBD,A1O/CE. 又A1O平面BCE,CE 平面BCE， A1O平面BCE， A1OOF =O,A1O,OF 面A1OF 平面A10F 平面BCE， A1F 平面A1OF,A1F 平面BCE 以 O 为坐标原点, OD,OC,OA1所在直线为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. A1(0,0,3),B(-2,0,0),F 1, 3 2 ,0 ,E(0,3,2) 设平面 A1BF 的法向量为 u = x1,y1,z1. u BA 1= x1,y1,z1 (2,0,3)=2x1+3z1=0 u BF = x1,y1,z1 3, 3 2 ,0 =3x1+ 3 2 y1
23、=0. 令 y1=2, 则 x1=-1,z1= 2 3 ,u = -1,2, 2 3 . 设平 面 EBF 的法向量为 v = x2,y2,z2. 令 y2=2, 则 x2=-1,z2=-2,v =(-1,2,-2). cosu v = u v |u v| = 1+4- 4 3 7 3 3 = 11 21 . 二面角 A1-BF -E 的正弦值为1- 11 21 2 = 8 5 21 . 【21届武汉4月调考20题】 (12分) 第7 页, 共9 页 某工厂购进一批加工设备， 由于该设备自动模式运行不稳定， 因此一个工作时段内会有 1 4 的概率出 现自动运行故障.此时需要1名维护人员立刻将设
24、备切换至手动操控模式， 并持续人工操作至此工 作时段结束， 期间该人员无法对其它设备进行维护 .工厂在每个工作时段开始时将所有设备调至自 动模式， 若设备的自动模式出现故障而得不到人员的维护， 则该设备将停止运行， 且每台设备运行的 状态相互独立 (1)若安排1名人员负责维护3台设备， 求这3台设备能顺利运行至工作时段结束的概率； (2)设该工厂有甲， 乙两个车间.甲车间有6台设备和2名维护人员， 将6台设备平均分配给2人， 每 名维护人员只负责维护分配给自己的 3台设备； 乙车间有7台设备和2名维护人员， 7台设备由这2 人共同负责维护.若用车间所有设备顺利运行至工作时段结束的概率来衡量生产
25、的稳定性， 试比较 两个车间稳定性的高低 【解析】 : (1) 设 3台设备自动模式不出故障的台数记为， 则 B3, 3 4 . 记 “1名人员维护 3 台设备能顺利运行至工作时段结束” 为事件 A. 则 P(A)=P(=3)+P(=2)=C3 3 3 4 3 +C2 3 3 4 2 1 4 = 27 64 + 27 64 = 27 32 . (2)甲车间分得的两个小组相互对立, 由( 1 )知每个小组能保证设备顺利运行至结束概率 P= 27 32 . 设 “甲车间设备顺利运行至结束” 为事件B. 则 P(B)= 27 32 2 = 36 210 = 36 45 乙车间 7 台设备自动模式不出
26、故障的台数记为 ， 则B 7, 3 4 . 记 “乙车间设备顺利运行至结束” 为事件C. P(C)=P(=7)+P(=6)+P(=5)= C7 7 3 4 7 +C6 7 3 4 6 1 4 +C5 7 3 4 5 1 4 2 = 37+736+2135 47 = 1736 47 P(B) P(C) = 42 17 = 16 17 1,P(B)0的焦点为F， 过F 作直线l交抛物线 E 于A， B 两点当l与x轴垂直 时， AOB 面积为8， 其中O为坐标原点 (1)求抛物线E 的标准方程； (2) 若 l 的斜率存在且为 k1， 点 P 3,0， 直线 AP 与 E 的另一交点为 C， 直线
27、 BP 与 E 的另一交点为 D， 设直线CD的斜率为k2， 证明： k2 k1 为定值 【解析】 : (1) 由题意不妨设 A 2 p ,p ,B 2 p , - p . AB =2p, 1 2 2p p 2 =8 p=4,y2=8x. (2)设 A x1,y1,B x2,y2,C x3,y3,D x4,y4. 则直线 l 的斜率为 k1= y1-y2 x1-x2 = y1-y2 1 8 y2 1-y 2 2 = 8 y1+y2 , 直线 AB 为 y-y1= 8 y1+y2 x-x1. 第8 页, 共9 页 则y1+y2y-y1y2=8x. 又点 F(2,0) 在直线上,则 -y1y2=1
28、6. 同理, 直线 BD 为y2+y4y-y2y4=8x. 点 P(3,0) 在直线 BD 上,则 -y2y4=24. 同理,直线 AC 为y1+y3y-y1y3=8x. 点 P(3,0) 在直线 AC 上,则 -y1y3=24. 又 k1= 8 y1+y2 ,k2= 8 y3+y4 , 则 k2 k1 = y1+y2 y3+y4 = y1+y2 -24 y1 + -24 y2 = y1y2 -24 = -16 -24 = 2 3 . 【21届武汉4月调考22题】 (12分) 已知函数 f x=ln x+1-x+a 1-cosx (1)当a=0时， 求曲线y= f x在点 1 e -1,f 1
29、 e -1 处的切线方程； (2)若存在正实数t， 使得当x -t,t时， 有xf x0恒成立， 求a的值 【解析】 : (1)a = 0 时, f(x) = ln(x + 1) - x. f(x)= 1 x+1 -1,f 1 e -1 =e-1,f 1 e -1 =- 1 e . 切线方程为 : y- - 1 e =(e-1) x- 1 e +1 . 整理得: y=(e-1)x+e-2. (2) f(x)= 1 x+1 -1+asinx,f(0)=0. 令 g(x)= f(x), 得 g(x)=- 1 (x+1)2 +acosx,g(0)=a-1. 令 h(x)=g(x),h(x)= 2 (
30、x+1)3 -asinx. 1.当 a=1 时, h(x) 为 (-1,1) 上的减函数, h(1)=1-sin10. -1x0,h(x) 递增. 又此时 h(0)=0, 故 -1x0 时, h(x)0,g(x) 递减. 0 x0,g(x) 递增. -1x1 时 ,g(x)g(0)=0,f(x) 递增. 由 f(0)=0.故 -1x0 时, f(x) f(0)=0. 0 x f(0)=0. 此时,存在 t=1 使 -1x1 时, -1x0,h(x) 递增. 此时 ,h(0)=a-10,h -1+ 1 a =-a 1-cos -1+ 1 a 0. 故存在 x1(-1,0) 使得 h x1=0.当
31、 x1x0,g(x) 递增. x1x0 时 ,g(x)g(0)=0,f(x) 递减. 即 x1x f(0)=0,xf(x)0, 使 x(-t,0) 时,xf(x)0. 3.当 0a1 时, h(x)- 1 (x+1)2 +a, 令 - 1 (x+1)2 +a0, 得 -1x-1+ 1 a . 0 x-1+ 1 a 时 ,h(x)0,g(x) 递减, g(x)g(0)=0,f(x) 递减. 即 0 x-1+ 1 a 时, f(x) f(0)=0,xf(x)0, 使 x(0,t) 时,xf(x)0. 4.当 a0 时,g(x) 在0, 2 递减. g(x)g(0)=0,f(x) 递减. 故 0 x 2 时, f(x) f(0)=0,xf(x)0, 使 x(0,t) 时,xf(x)0. 综上所述: a=1. 第9 页, 共9 页
