1、第 1页（共 17页） 2021 年甘肃省金昌市高考数学第二次联考试卷（文科）年甘肃省金昌市高考数学第二次联考试卷（文科） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分） 1 （5 分） 已知集合1A ， 2， 3， 4，5，6， |(23)(417)0Bxxx， 则(AB ) A1，6B1，5，6C2，3，4D1，2，3，4 2 （5 分）设复数 3 1 i z i ，则(z ) A12i B12i C12iD12i 3 （5 分）设, a b 是两个互相垂直的单位向量，则() (4 )(abab ) A3B2C2D3 4 （5 分）设x，
2、y满足约束条件 0 1 0 3 0 y xy xy ，则3zxy的最大值为() A3B5C1D1 5 （5 分）某高校调查了 400 名大学生每周的自习时间（单位，小时）制成了如图所示的频 率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组17.5，20)，20，22.5)， 22.5，25)，25，27.5)，27.5，30则这 400 名大学生中每周的自习时间不少于 20 小 时的人数是() A320B340C360D380 6 （5 分）直线2yx被圆 22 (2)(1)4xy所截得的弦长为() A4B3 2C2 3D14 7 （5 分）在ABC中， 6 A ，3AB ，4A
3、C ，则BC边上的高的长度为() A 2 21 7 B2C3D 21 3 8 （5 分）等比数列 n a中， 3 6a ，前三项和 3 18S ，则公比q的值为() 第 2页（共 17页） A1B 1 2 C1 或 1 2 D1或 1 2 9 （5 分）已知tan2，则2cos2() A 5 3 B 8 3 C2D3 10 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 :4C yx的焦点为F，过点F的直线l与抛 物线C相交于A、B两点，若| 5AB ，则直线l的方程为() A 1 (1) 2 yx B2(1)yx C3(1)yx D 3 (1) 3 yx 11 （5 分）函数( )sin()
4、(0f xAxA，0，) 22 的部分图象如图所示，则 ( )(f x ) Asin() 6 x Bsin() 3 x Csin() 6 x Dsin() 3 x 12 （5 分）已知函数 22 ( )2 (1)f xlnxln x，则下列说法正确的是() A函数( )f x为奇函数 B函数( )f x的值域为(，1 C当0 x 时，函数( )f x的图象关于直线1x 对称 D函数( )f x的增区间为(, 1) ，(0,1) 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （5 分）曲线 3 ( )4f xxx在点(2，f（2）)处的切
5、线方程为 14（5 分） 已知圆柱的底面半径为 1， 若圆柱的侧面展开图的面积为8， 则圆柱的高为 15 （5 分）如图所示的程序框图，若输入5.5x ，则输出的i 第 3页（共 17页） 16 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为F，O为坐标原点，直线 1 l， 2 l 为双曲线C的两条渐近线，过点F的直线l与渐近线 1 l平行，且l与双曲线C交于点P，若 直线OP的斜率为直线 2 l的斜率的 1 3 ，则双曲线C的离心率为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
6、，第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答题，每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 17 （12 分）已知前n项和为 n S的等差数列 n a的通项公式为403 n an （1）求 n S的最大值； （2）令 1 1 (40)(40) n nn b aa ，记数列 n b的前n项和为 n T，求满足 12 109 n T 的正整数n的 值 18 （12 分） 如图， 四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，PD 平面ABCD， 且2AB ， 3PD （1）证明：AB 平面PAD； （2）设E为棱PD上一点，且2D
7、EPE，记三棱锥CPAB的体积为 1 V，三棱锥PABE 的体积为 2 V，求 1 2 V V 的值 19 （12 分）从 2017 年 1 月 18 日开始，支付宝用户可以通过“AR扫福字”和“参与 蚂蚁森林”两种方式获得福卡（爱国福、富强福、和谐福、友善福，敬业福） ，除夕夜22:18， 第 4页（共 17页） 每一位提前集齐五福的用户都将获得一份现金红包 某高校一个社团在年后开学后随机调查 了 80 位该校在读大学生，就除夕夜22:18之前是否集齐五福进行了一次调查（若未参与集 五福的活动，则也等同于未集齐五福） ，得到具体数据如表： 是否集 齐五福 性别 是否合计 男301040 女3
8、5540 合计651580 （1）根据如上的列联表，能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为“集齐五福与性 别有关”？ （2） 计算这 80 位大学生集齐五福的频率， 并据此估算该校 10000 名在读大学生中集齐五福 的人数； （3）为了解集齐五福的大学生明年是否愿意继续参加集五福活动，该大学的学生会从集齐 五福的学生中， 选取 2 位男生和 3 位女生逐个进行采访， 最后再随机选取 3 次采访记录放到 该大学的官方网站上，求最后被选取的 3 次采访对象中至少有一位男生的概率 参考公式： 2 2 () () ()()()() n adbc Knabcd ab cdac bd 附表：
9、 2 0 ()P Kk 0.500.400.250.150.100.050.0250.010 0 k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635 20 （12 分）已知椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 的一个焦点F与抛物线 2 2: 4Cyx的焦点重 合，且离心率为 2 2 （）求椭圆 1 C的标准方程； （）过焦点F的直线l与抛物线 2 C交于A，B两点，与椭圆 1 C交于C，D两点，满足 | 3 2 |ABCD，求直线l的方程 21 （12 分）已知函数 2 ( )() x f xaexlnxx aR （1）当0a时，证明：函数( )
10、f x单调递增； 第 5页（共 17页） （2）当0a 时，令 ( ) ( ) f x g x x ，若( ) 2g x ，求实数a的取值范围 选考题：共选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分计分选修选修 4-4；坐标系与参数方程；坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程 1 2 2 ( 3 2 xt t yt 为参数） ，以坐标原 点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：4cos （1）把直线l的参数方程化为极坐标方程，把
11、曲线C的极坐标方程化为普通方程； （2）求直线l与曲线C交点的极坐标(0,02 ) 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |4|1| 3f xxx （1）求不等式( ) 2f x 的解集； （2）若直线2ykx与函数( )f x的图象有公共点，求k的取值范围 第 6页（共 17页） 2021 年甘肃省金昌市高考数学第二次联考试卷（文科）年甘肃省金昌市高考数学第二次联考试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分） 1 （5 分） 已知集合1A ， 2， 3， 4，5，
12、6， |(23)(417)0Bxxx， 则(AB ) A1，6B1，5，6C2，3，4D1，2，3，4 【解答】解：1A ，2，3，4，5，6， 317 | 24 Bx xx或， 1AB ，5，6 故选：B 2 （5 分）设复数 3 1 i z i ，则(z ) A12i B12i C12iD12i 【解答】解：复数 22 3(3)(1)24 12 112 iiii zi ii ， 所以12zi 故选：B 3 （5 分）设, a b 是两个互相垂直的单位向量，则() (4 )(abab ) A3B2C2D3 【解答】解：根据题意得， 22 () (4 )4410043ababaa ba bb
13、故选：A 4 （5 分）设x，y满足约束条件 0 1 0 3 0 y xy xy ，则3zxy的最大值为() A3B5C1D1 【解答】解：作出约束条件 0 1 0 3 0 y xy xy 表示的平面区域， 得到如图的ABC及其内部，其中(3,0)A，(1,2)B， ( 1,0)C 设( , )3zF x yxy，将直线:3l zxy进行平移， 当l经过点A时，目标函数z达到最大值 第 7页（共 17页） 3,03zF 最大值 故选：A 5 （5 分）某高校调查了 400 名大学生每周的自习时间（单位，小时）制成了如图所示的频 率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组17
14、.5，20)，20，22.5)， 22.5，25)，25，27.5)，27.5，30则这 400 名大学生中每周的自习时间不少于 20 小 时的人数是() A320B340C360D380 【解答】解：由频率分直方图得： 这 400 名大学生中每周的自习时间不少于 20 小时的频率为： 10.022.50.95， 这 400 名大学生中每周的自习时间不少于 20 小时的人数为：4000.95380 故选：D 6 （5 分）直线2yx被圆 22 (2)(1)4xy所截得的弦长为() A4B3 2C2 3D14 【解答】解：根据题意，圆 22 (2)(1)4xy的圆心为(2, 1)，半径2r ，
15、第 8页（共 17页） 圆心(2, 1)到直线2yx的距离 |2( 1)2|2 21 1 d ， 则直线被圆截得的弦长 22 1 22414 2 lrd， 故选：D 7 （5 分）在ABC中， 6 A ，3AB ，4AC ，则BC边上的高的长度为() A 2 21 7 B2C3D 21 3 【解答】解： 111 sin433 222 ABC SABACA ， 由余弦定理，得 22 3 2cos3162347 2 BCABACAB ACA， 所以BC边上的高的长度为 2 32 21 77 故选：A 8 （5 分）等比数列 n a中， 3 6a ，前三项和 3 18S ，则公比q的值为() A1B
16、 1 2 C1 或 1 2 D1或 1 2 【解答】解 3 18S ， 3 6a 3 12 2 (1)12 a aaq q 即 2 210qq 解得1q 或 1 2 q ， 故选：C 9 （5 分）已知tan2，则2cos2() A 5 3 B 8 3 C2D3 【解答】解：因为tan2， 所以 222 222222 222 33235 2cos22sin2coscossinsin3cos 1213 sincostan sincostan 故选：A 10 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 :4C yx的焦点为F，过点F的直线l与抛 第 9页（共 17页） 物线C相交于A、B两点，
17、若| 5AB ，则直线l的方程为() A 1 (1) 2 yx B2(1)yx C3(1)yx D 3 (1) 3 yx 【解答】解：抛物线 2 :4C yx的焦点为(1,0)F，准线方程为1x ， 设l的方程为(1)yk x， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 联立 2 4yx，(1)yk x，可得 2222 (24)0k xkxk， 2 16160k， 12 2 4 2xx k ，则 12 2 4 |24ABxx k ， 由| 5AB ，可得2k ，则l的方程为2(1)yx 故选：B 11 （5 分）函数( )sin()(0f xAxA，0，) 22 的部分图象如图所
18、示，则 ( )(f x ) Asin() 6 x Bsin() 3 x Csin() 6 x Dsin() 3 x 【解答】解：由图象可得1A，再根据 3513 4362 T ，可得2T ， 所以 2 2 ， 再根据五点法作图可得 1 0 6 ，求得 6 ， 故函数的解析式为( )sin() 6 f xx 故选：C 12 （5 分）已知函数 22 ( )2 (1)f xlnxln x，则下列说法正确的是() A函数( )f x为奇函数 第 10页（共 17页） B函数( )f x的值域为(，1 C当0 x 时，函数( )f x的图象关于直线1x 对称 D函数( )f x的增区间为(, 1) ，
19、(0,1) 【解答】 解： 函数 2 22 22 ( )2 (1) (1) x f xlnxln xln x ， 函数的定义域为(，0)(0，)， 对于A：函数( )f x满足()( )fxf x，故函数( )f x为偶函数，故A正确； 对于B：令 2 (0)xt t， 2 1 ( ) 1 (1) 2 t f tlnln t t t ， 11 (2)(22)4ln tlntln tt ，故函数的值域为 (,4)ln ，故B错误； 对于C：由于函数( )(2)f xfx，故函数不关于1x 对称，故C错误； 对于D：当0 x 时， 1 ( )(2)f xln t t ， 当01t时， 1 ( )2
20、g tt t 单调递减，( )f x单调递增， 当1t 时， 1 ( )2g tt t 单调递增，( )f x单调递减， 故当 2 01x时，即01x时，函数( )f x单调递增； 由于偶函数的单调性在对称区间上单调相反，故函数( )f x的增区间为(，1)(0，1)， 故D正确 故选：D 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （5 分）曲线 3 ( )4f xxx在点(2，f（2）)处的切线方程为8160 xy 【解答】解：由 3 ( )4f xxx，得 2 ( )34fxx，f （2）8， 由f（2）0， 曲线( )yf x
21、在点(2，f（2）)处的切线方程为8(2)yx， 即8160 xy 故答案为：8160 xy 14（5 分） 已知圆柱的底面半径为 1， 若圆柱的侧面展开图的面积为8， 则圆柱的高为4 【解答】解：因为圆柱的底面半径为 1，所以底面圆的周长为212 ， 若圆柱侧面展开图的面积为8， 第 11页（共 17页） 则圆柱的高为 8 4 2 h 故答案为：4 15 （5 分）如图所示的程序框图，若输入5.5x ，则输出的i 5 【解答】解：如图所示的程序框图，1i ，若输入5.5x ， 第一次执行循环体后，4.5x ，否，2i ， 第二次执行循环体后，3.5x ，否，3i ， 第三次执行循环体后，2.
22、5x ，否，4i ， 第四次执行循环体后，1.5x ，否，5i ， 第五次执行循环体后，0.5x ，是，满足退出循环的条件 故输出i值为 5， 故答案为：5 16 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为F，O为坐标原点，直线 1 l， 2 l 为双曲线C的两条渐近线，过点F的直线l与渐近线 1 l平行，且l与双曲线C交于点P，若 直线OP的斜率为直线 2 l的斜率的 1 3 ，则双曲线C的离心率为2 【解答】解：由题意，不妨取 1: b lyx a ， 2: b lyx a ， 又( ,0)F c，则直线l的方程为() bbbc yxcx aaa ，
23、由题意可得，直线: 3 b OP yx a ， 联立 3 bbc yx aa b yx a ，解得 3 (,) 44 c bc P a ， 第 12页（共 17页） 又P在双曲线上， 22 22 9 1 1616 cc aa ，即 2 2 2 c a ，得2 c e a 故答案为：2 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答题，每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 17 （12 分）已知前
24、n项和为 n S的等差数列 n a的通项公式为403 n an （1）求 n S的最大值； （2）令 1 1 (40)(40) n nn b aa ，记数列 n b的前n项和为 n T，求满足 12 109 n T 的正整数n的 值 【解答】解： （1）令0 n a ，可得 40 3 n， 可得当113n 时，0 n a ；当14n时，0 n a ， 故当13n 时， n S的最大值为 13 13 12 13(403)( 3)247 2 S （2）由403 n an ，有 111 11 () ( 3 ) 3(1)9 (1)91 n b nnn nnn ， 有 11111111 (1)()()(
25、1) 9223191 n T nnn ， 有 1112 (1) 91109n ，解得108n 故满足 12 109 n T 的正整数n的值为 108 18 （12 分） 如图， 四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，PD 平面ABCD， 且2AB ， 3PD （1）证明：AB 平面PAD； （2）设E为棱PD上一点，且2DEPE，记三棱锥CPAB的体积为 1 V，三棱锥PABE 的体积为 2 V，求 1 2 V V 的值 【解答】 （1）证明：PD 平面ABCD，PDAB， 第 13页（共 17页） 底面ABCD是正方形，ABAD， 又PDADD ，AB平面PAD； （2）解：2DEPE，2
26、ADAB，3PD ， PAE的面积为 1 1 21 2 ， 12 1 33 P ABEB PAE VVAB ， 又 11 2 32 C PABPABC VVPDABBC ， 1 2 2 3 2 3 C PAB P ABE VV VV 19 （12 分）从 2017 年 1 月 18 日开始，支付宝用户可以通过“AR扫福字”和“参与 蚂蚁森林”两种方式获得福卡（爱国福、富强福、和谐福、友善福，敬业福） ，除夕夜22:18， 每一位提前集齐五福的用户都将获得一份现金红包 某高校一个社团在年后开学后随机调查 了 80 位该校在读大学生，就除夕夜22:18之前是否集齐五福进行了一次调查（若未参与集 五
27、福的活动，则也等同于未集齐五福） ，得到具体数据如表： 是否集 齐五福 性别 是否合计 男301040 女35540 合计651580 （1）根据如上的列联表，能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为“集齐五福与性 别有关”？ （2） 计算这 80 位大学生集齐五福的频率， 并据此估算该校 10000 名在读大学生中集齐五福 第 14页（共 17页） 的人数； （3）为了解集齐五福的大学生明年是否愿意继续参加集五福活动，该大学的学生会从集齐 五福的学生中， 选取 2 位男生和 3 位女生逐个进行采访， 最后再随机选取 3 次采访记录放到 该大学的官方网站上，求最后被选取的 3 次采访
28、对象中至少有一位男生的概率 参考公式： 2 2 () () ()()()() n adbc Knabcd ab cdac bd 附表： 2 0 ()P Kk 0.500.400.250.150.100.050.0250.010 0 k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635 【解答】解： （1）根据列联表中的数据，得到 2 K的观测值为 2 80 (30 535 10)80 3.841 4040 65 1539 k ， 故不能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为“集齐五福与性别有关” ； （2）这 80 位大学生集齐五福的频率为 303513
29、8016 ， 据此估算该校 10000 名在读大学生中集齐五福的人数为 13 100008125 16 ； （3）设选取的 2 位男生和 3 位女生分别记为 1 A， 2 A， 1 B， 2 B， 3 B， 随机选取 3 次采访的所有结果为： 1 (A， 2 A， 1) B， 1 (A， 2 A， 2) B， 1 (A， 2 A， 3) B， 1 (A， 1 B， 2) B， 1 (A， 1 B， 3) B， 1 (A， 2 B， 3) B， 2 (A， 1 B， 2) B， 2 (A， 1 B， 3) B， 2 (A， 2 B， 3) B， 1 (B， 2 B， 3) B， 共有 10 个基
30、本事件，至少有一位男生的基本事件有 9 个， 故所求概率为 9 10 20 （12 分）已知椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 的一个焦点F与抛物线 2 2: 4Cyx的焦点重 合，且离心率为 2 2 （）求椭圆 1 C的标准方程； （）过焦点F的直线l与抛物线 2 C交于A，B两点，与椭圆 1 C交于C，D两点，满足 | 3 2 |ABCD，求直线l的方程 【解答】解： （）由已知椭圆的离心率2 c a ，1c ，得2a ，则1b ， 第 15页（共 17页） 故椭圆 1 C的标准方程为 2 2 1 2 x y （）当直线l不存在斜率时，可求出(1,2)A，(1, 2)B，
31、 2 (1,) 2 C， 2 (1,) 2 D， 所以| 4AB ，|2CD ，不满足条件； 当直线l存在斜率时，设直线方程为(1)yk x， 代入椭圆 1 C方程得： 2222 (12)4220kxk xk，0恒成立，设 1 (C x， 1) y， 2 (D x， 2) y， 则 2 12 2 2 12 2 4 , 21 2(1) , 21 k xx k k x x k 所以 222 222 12 222 42(1)2 2(1) |1|1()4 212121 kkk CDkxxk kkk ， 将直线:(1)l yk x，代入抛物线 2 C得 2222 (24)0k xkxk， 设 3 (A
32、x， 3) y， 4 (B x， 4) y，则 2 34 2 24k xx k ， 又因为 22 34 22 244(1) |2 kk ABxx kk ， 由| 3 2 |ABCD，得： 22 22 4(1)2 2(1) 3 2 21 kk kk ， 所以 22 13 21kk ，解得1k ， 所以直线l的方程为10 xy 21 （12 分）已知函数 2 ( )() x f xaexlnxx aR （1）当0a时，证明：函数( )f x单调递增； （2）当0a 时，令 ( ) ( ) f x g x x ，若( ) 2g x ，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）证明，函数( )f x的定
33、义域为(0,)， ( )(1)2(21) xx fxaelnxxaexlnx， 令 121 ( )21,( )2 x h xxlnxh x xx ， 令( )0h x， 可得 1 2 x ， 第 16页（共 17页） 可得函数( )h x的增区间为 1 ( ,) 2 ， 减区间为 1 (0, ) 2 ， 可得 11 ( )( )1120 22 h xhlnln ， 又由0 x ae ， 得( )0fx， 故当0a时，函数( )f x单调递增 （2）由题意有( ) x ae g xlnxx x ， 222 (1)1(1)11 ( )1(1)() xxx a xea xexae g xx xxxx
34、xx ， 令( )0g x，可得1x ， 可得函数( )g x的增区间为(1,)，减区间(0,1)， 有( )ming xg（1）1 2ae ， 可得 1 a e ， 故所求实数a的取值范围为 1 ,) e 选考题：共选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分计分选修选修 4-4；坐标系与参数方程；坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程 1 2 2 ( 3 2 xt t yt 为参数） ，以坐标原 点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极
35、坐标方程为：4cos （1）把直线l的参数方程化为极坐标方程，把曲线C的极坐标方程化为普通方程； （2）求直线l与曲线C交点的极坐标(0,02 ) 【解答】 解； （1） 直线l的参数方程 1 2 2 ( 3 2 xt t yt 为参数） ， 消去参数t化为32 30 xy， 把 cos sin x y 代入可得：3 cossin2 30， 由曲线C的极坐标方程为：4cos，变为 2 4 cos，化为 22 40 xyx 第 17页（共 17页） （2）联立 22 32 30 40 xy xyx ，解得 1 3 x y 或 3 3 x y ， 直线l与曲线C交点的极坐标(0,02 )为 5 (
36、2,) 3 ，(2 3,) 6 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |4|1| 3f xxx （1）求不等式( ) 2f x 的解集； （2）若直线2ykx与函数( )f x的图象有公共点，求k的取值范围 【解答】解： （1）由( ) 2f x ，得 1 222 x x 或 14 0 2 x 或 4 28 2 x x ， 解得05x ，故不等式( ) 2f x 的解集为0，5 （2） 22 ,1 ( ) |4|1| 30,14 28,4 x x f xxxx xx ， 作出函数( )f x的图象，如图所示， 直线2ykx过定点(0, 2)C， 当此直线经过点(4,0)B时， 1 2 k ； 当此直线与直线AD平行时，2k 故由图可知， 1 (, 2),) 2 k
