1、人教人教版版 数学数学 八八年年级级 下册下册 站站在水平高度为在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为米的地方看到可见的水平距离为d米，米， 它们近似地符合公式它们近似地符合公式为为 . 8 5 h d 解：解： 1 8 2016 5.d 问题问题1 某一登山者爬到海拔某一登山者爬到海拔100米处，即米处，即 时，他看到时，他看到 的水平线的距离的水平线的距离d1是多少？是多少？ 20 5 h 导入新知导入新知 问题问题2 该登山者接着爬到海拔该登山者接着爬到海拔200米的山顶，米的山顶，即即 时，此时时，此时 他看到的水平线的距离他看到的水平线的距离d2是多少？是多少？ 问题问题3 他从
2、海拔他从海拔100米处登上海拔米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到米高的山顶，那么他看到 的水平线的距离是原来的多少倍？的水平线的距离是原来的多少倍？ 解：解： 2 8 4016 10.d 2 1 16 10 . 16 5 d d 解：解： 【思考思考】乘乘法法则是如何得出的？法法则是如何得出的？二次根式的除法该怎样算二次根式的除法该怎样算呢呢？ 除除法有没有类似的法则？法有没有类似的法则？ 40 5 h 导入新知导入新知 2. 会运用会运用除法法则除法法则及及商的算术平方根商的算术平方根进行简进行简 单运算单运算. 1. 掌握掌握二次根式的除法法则二次根式的除法法则，会用法则进行计算，会
3、用法则进行计算. 素养目标素养目标 3. 理解理解最简二次根式最简二次根式的概念，能熟练地将二的概念，能熟练地将二 次根式化为最简二次根式次根式化为最简二次根式. ( (1) ) _=_; = _; 4 9 计算下列各式计算下列各式: : 16 25 36 49 4 9 ( (2) ) _=_; ( (3) ) _=_; 36 49 = _; = _. 16 25 23 45 67 观察两者有什么关系？观察两者有什么关系？ 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 探究新知探究新知 知识点 1二次根式的除法二次根式的除法 观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：观察三组式子的结果，我们
4、得到下面三个等式： 44 = 99 ； 1616 2525 =； 3636 . 4949 ( (1) ) ( (2) ) ( (3) ) 猜想猜想 通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次 根式乘法运算法则，你能说出二次根式根式乘法运算法则，你能说出二次根式 的结果吗？的结果吗？ aa bb 特殊特殊一般一般 a b 探究新知探究新知 在前面发现的规律在前面发现的规律 中，中，a,b的取值范围有没有的取值范围有没有 限制呢？限制呢？ aa bb a,b同号同号 就可以啦就可以啦 探究新知探究新知 你们都错啦，你们都错啦，a0， b0,b=0时等式两时等式
5、两 边的二次根式就没边的二次根式就没 有意义啦有意义啦 不对，同乘法法不对，同乘法法 则一样，则一样，a,b都为都为 非负数非负数. 二次根式的除法法则二次根式的除法法则: : (0,0). aa ab bb 文字叙述文字叙述: : 算术平方根的算术平方根的商商等于被开方数等于被开方数商的算术平方根商的算术平方根. . 当二次根式根号外的因数当二次根式根号外的因数( (式式) )不为不为1时，可类比单项式除时，可类比单项式除 以单项式法则，易得以单项式法则，易得 (0,0,0). m ama abn nbn b 探究新知探究新知 例例1 计算：计算： 解解: : 探究新知探究新知 素养考点素养
6、考点 1 利用二次根式的除法法则计利用二次根式的除法法则计算算根根号号外因数是外因数是 1的二次根式的二次根式 提示：提示：像（像（2）中除式是分数或分式时，先要）中除式是分数或分式时，先要转化转化为乘法为乘法 再进行运再进行运算算. . （1） ; ;（2） . . 3 24 18 1 2 3 （1） 3 2424 3 82 2; （2） 18 1 2 3 31 218 3 18 2 933 3. 计算计算： 解：解： 17 4 510 2110 57 6. 巩固练习巩固练习 3 32 2 2 2 （1） ; ;（2） ; ; 10 7 5 1 4 （3） . 32 2 32 164 2 （
7、1） ; ; 5050 5 1010 （2） ; ; 5 50 0 1 10 0 （3） 10 7 5 1 4 31 22 26 （） 3 46 2 解解: : 12. 探究新知探究新知 素养考点素养考点 2 提示：提示：类似类似( (2) )中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成 假分数，再运用二次根式除法法则进行运算假分数，再运用二次根式除法法则进行运算. . 利用二次根式的除法法则计利用二次根式的除法法则计算根号算根号外因数不是外因数不是 1的二次根式的二次根式 例例2 计算计算: : 65 423 （1） ; 6 1 2 1 2 1 12 （2
8、） . . 342 5 3 4 6 23 7 55 6 （1） ; （2） 6 1 2 1 2 1 12）（）（ 6 1 2 3 2 1 2 3 3 4 38a a xy abyxba 20 5 32 a b ab 3 63 计算计算，看谁算的既对又，看谁算的既对又快快. . 巩固练习巩固练习 2 18 123 2xyxy （1）（2） （3） （4） 2 2 a ; ; 2 2 ax y ; ; 6 6y; ; 2 a . . 我们可以运用它来进行二次根式我们可以运用它来进行二次根式的化的化简简. . 语言表述：商语言表述：商的算术平方根，等于的算术平方根，等于被除式被除式的算术平方根除以的
9、算术平方根除以 除式的算术平方根除式的算术平方根. . (0,0). aa ab bb 我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平 方根的性质方根的性质. . 类类似似地地，把二次根式的除法法则反过来，就得到把二次根式的除法法则反过来，就得到 二次根式的商的算术平方根的性质二次根式的商的算术平方根的性质: : 探究新知探究新知 知识点 2商的算术平方根的性质商的算术平方根的性质 解解: : 3 10 ; 2 2 55 ; 3 3 5 35 . 33 3 补充解法：补充解法： 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1商的算术平方根的性质
10、的应用商的算术平方根的性质的应用 例例 化简化简: :（1） ;（2） ; 100 3 27 75 （1） 100 33 100 （2） 27 75 2 2 53 33 还有还有其它解其它解 法吗法吗? ? 7 75 27 75 2 解：解： 探究新知探究新知 提示：提示：像（像（5）可以）可以先用商先用商的算术平方根的性质，再运用积的算术平方根的性质，再运用积的算的算 术平方术平方根性根性质质. . （3） ; 9 7 2（4） ; 2 81 (0) 25 x x （5） . 19664. 0 16909. 0 （3） 9 7 2 25 9 9 25 5 ; 3 （4） 2 25 81 x
11、2 2 9 5 ) x （ 9 ; 5x （5） 19664. 0 16909. 0 22 22 0.313 0.814 148 . 0 133 . 0 39 . 112 C 巩固练习巩固练习 能使等式能使等式 成立的条件是成立的条件是 ( )( ) A. x0 B. 3x0 C. x3 D. x3或或x0 化简化简： 33 x x x x （1） =_; 25 8 2 2 5 （2） =_; 4 3 3 15 2 （3） =_; 3 16 49 a 4 7 a a （4） =_. 2 4 0.25 169 x y 2 26 x y 解：解：（1） 2 335 555 31515 55 5 ；
12、= （2） 2 32 3 3 26 3 27 33 2 ；= 问题问题1计算：计算： 3 5 ； （1） （2） （3） 3 27 2 ； 2a 8 （3） 3 24 22 2 2 2 2 a a a a a a a a 8 = 探究新知探究新知 知识点 3最简二次根式最简二次根式 问问题题2观察上面各小题计算的最后结果并思考：观察上面各小题计算的最后结果并思考： （1）你觉得这些结果能否再化简，它们是否已经最）你觉得这些结果能否再化简，它们是否已经最简了？简了？ （2）这些结果有什么共同特点，类比最简分数，你认为一）这些结果有什么共同特点，类比最简分数，你认为一 个二次根式满足什么条件就可以
13、说它是最简了？个二次根式满足什么条件就可以说它是最简了？ 1562 53 a a ， 探究新知探究新知 探究新知探究新知 归纳总结归纳总结 最简二次根式应满足的条件最简二次根式应满足的条件： ( (1) )被开方数不含分母或分母中不含被开方数不含分母或分母中不含_； ( (2) )被开方数中不含被开方数中不含_的因数或因式的因数或因式. . 注：注：当被开方数是整式时要先判断是否能够当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式分解因式， 然后再观察各个因式的指数是否是然后再观察各个因式的指数是否是2( (或大于或大于2的整数的整数) )， 若是则说明含有能开方的因式，不满足条件，不是最简若是则说
14、明含有能开方的因式，不满足条件，不是最简 二次根式二次根式. . 二次根式二次根式 开得尽方开得尽方 解解: : 35 5 315 . 555 3 223 26 33 3327 3 . 3 2 2282 2 2 . 2 a aa a aaaa n aa 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1分母有理化分母有理化 总结：总结：分母形如分母形如 的式子，分子、分母同乘以的式子，分子、分母同乘以 可使可使 分母不含根号分母不含根号. . 例例 计算计算: :( (1) ;) ;( (2) ;) ;( (3) .) . 5 3 27 23 a2 8 （2） （3） （1） 探究新知探究新知 方法点拨
15、化成最简二次根式的化成最简二次根式的一般一般方法方法: ( (1) )将被开方数中能开得尽方的因数或者因式进行将被开方数中能开得尽方的因数或者因式进行开方开方, 如如 ;2224248 ( (2) )若被开方数中含有带分数若被开方数中含有带分数,应先将应先将带分数化成假分数带分数化成假分数, 再去分母再去分母,并将能开得尽方的因数或者因式进行开方并将能开得尽方的因数或者因式进行开方,如如 ; 3 32 33 34 3 4 3 1 1 ( (3) )若被开方数中含有小数若被开方数中含有小数,应先将应先将小数化成分数小数化成分数后再进后再进 行化简行化简,如如 . 10 30 100 30 10
16、3 3 . 0 在在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是 最简二次根式的进行化简最简二次根式的进行化简 解：解：只有只有( (3) )是最简二次根式是最简二次根式； 巩固练习巩固练习 （1） ; （2） ; （3） ; （4） ;（5） . 45 3 1 2 5 5 . 0 5 4 1 453 5; ( (1) ) 1122 ; 22 . 2 1 0 5 2 2 ( (4) ) 133 ; 333 11 33 ( (2) ) 99953 5 . 555 1 555 4 ( (5) ) 设长方形的面积为设长方形的面积为S,相邻两边长分别
17、为相邻两边长分别为a,b. 已已知知 ，求求a的值的值.2 3,10Sb 解解: : ,Sab 知识点 4 二次根式的应用二次根式的应用 探究新知探究新知 2 31030 . 5 2 3 010101 S a b 高空抛物现象被称为高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛悬在城市上空的痛”据报道：一个据报道：一个30g的的 鸡蛋从鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使楼抛下可以使 人当场死亡据研究从高空抛物时间人当场死亡据研究从高空抛物时间t和高度和高度h近似的满足公近似的满足公 式式 .从从100米高空抛物到落地所需时间米高空抛物到落地所需时间
18、t2是从是从50米高空抛米高空抛 物到落地所需时间物到落地所需时间t1的多少倍？的多少倍？ 2 10 h t 2 1 2 100 20 10 2. 102 50 10 t t 解解: :由题意得由题意得 巩固练习巩固练习 B 1.等式等式 成立的成立的x的取值范围在数轴上可表示的取值范围在数轴上可表示 为（）为（） A B C D 1 3 1 3 x x x x 2.下列式子中下列式子中，为最简二次根式的是为最简二次根式的是（）（） A B C D 2 1 2 412 B 连接中考连接中考 1.化简化简 的的结果是（）结果是（） A9 B3 C D 182 3 22 3 B 2.下列根式中，最
19、简二次根式是（）下列根式中，最简二次根式是（） A. B. C. D. 1824 3036 C 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 3.能使等式能使等式 成立的成立的x的取值范围是（的取值范围是（ ） A.x2 B.x0 C.x2 D.x2 22 xx xx C 4.化简：化简： 解：解： 课堂检测课堂检测 （1） ; 64 5 （2） ; 25 7 1（3） . 25. 1 （1） 64 55 64 5 ; 8 （2） 25 7 1 32 25 32 25 2 42 25 4 2 ; 5 （3） 25. 1 5 4 5 4 5 . 2 在在物理学中有公式物理学中有公式W=
20、I2Rt，其中，其中W表示电功表示电功(单位：焦耳单位：焦耳)，I 表示电流表示电流(单位：安培单位：安培)，R表示电阻表示电阻(单位：欧姆单位：欧姆)，t表示时间表示时间 (单位：秒单位：秒)，如果已知，如果已知W、R、t，求，求I，则有，则有 .若若 W=2400焦耳，焦耳，R=100欧姆，欧姆，t=15秒试求电流秒试求电流I W I Rt 解：解：当当W=2400，R=100，t=15时，时， 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 tR W I 15100 2400 8 5 2 2 5 2 10 5 （安培（安培）. . 自习课自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题
21、目是上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求二次根求二次根 式式 中实数中实数a的取值范围的取值范围”，她告诉刘敏说：你把题目抄错了，她告诉刘敏说：你把题目抄错了， 不是不是“ ”，而是，而是“ ”刘敏说：哎呀，真抄错了，好在刘敏说：哎呀，真抄错了，好在 不影响结果，反正不影响结果，反正a和和a-3都在根号内试问：刘敏说得对吗？都在根号内试问：刘敏说得对吗？ 3 a a 3 a a 3 a a 按按 计算，则计算，则a0，a-30或或a0，a-30,解得解得a3或或a0； 3 a a 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 解：解：刘敏说得不对，结果不一样刘敏说得不对，结果不一样理由如下：理由如下： 3 a a 而而按按 计算，则计算，则a0，a-30,解得解得a3 二次根式二次根式 除法除法 法 则法 则 性质性质 拓展法则拓展法则 (0,0) aa ab bb (0,0). aa ab bb = 0,0) m an bmnab ab （） （ 相 关 概 念相 关 概 念 分 母 有 理 化分 母 有 理 化 最 简 二 次 根 式最 简 二 次 根 式 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
