1、人教版人教版 数学数学 八年级八年级 下册下册 按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？ 古埃及人曾用下面的方法得到直角：古埃及人曾用下面的方法得到直角： 用用13个等距的结个等距的结,把一根绳子把一根绳子 分成等长的分成等长的12段段,然后以然后以3个结，个结， 4个结，个结，5个结的长度为边长，个结的长度为边长， 用木桩钉成一个三角形，其用木桩钉成一个三角形，其 中一个角便是中一个角便是直角直角. 导入新知导入新知 1. 掌握勾股定理逆定理的概念并理解掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆互逆 命题、互逆定理的概念、关系及勾股数命题、互逆定理的概念、关系及勾
2、股数. 2. 能证明勾股定理的能证明勾股定理的逆定理逆定理，能利用勾股定，能利用勾股定 理的逆定理判断一个三角形是直角三角形理的逆定理判断一个三角形是直角三角形. 素养目标素养目标 据说据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角古埃及人曾用如图所示的方法画直角. . 这种方法对吗？这种方法对吗？ 探究新知探究新知 知识点 1勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 3 4 5 三边分别为三边分别为3，4，5， 满足关系：满足关系：32+42=52， 则该三角形是直角三角形则该三角形是直角三角形 探究新知探究新知 问题问题1 用用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 0
3、180 150 120 90 60 30 7 24 25 5 13 12 17 8 15 是是 做一做：做一做：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分 别以这些数为边长画出三角形别以这些数为边长画出三角形( (单位：单位：cm).). 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17 探究新知探究新知 下下面有三组数分别是一个三角形的三边长面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17. 问问题题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？这三组数在数量关系上有什么相同点？ 5,12,13满足
4、满足52+122=132, 7,24,25满足满足72+242=252, 8,15,17满足满足82+152=172. 问题问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？ 32+42=52，满足满足. a2+b2=c2 探究新知探究新知 问题问题4 据据此你有什么猜想呢此你有什么猜想呢? ? 由上面几个例子，我们猜想：由上面几个例子，我们猜想： 命题命题2 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a,b,c满足满足a2+b2=c2,那么那么 这个三角形是直角三角形这个三角形是直角三角形. . 探究新知探究新知 我觉得这个猜想不我觉得这个猜想不 准确，因为测
5、量结准确，因为测量结 果可能有误差果可能有误差. . 我也觉得猜想不严我也觉得猜想不严 谨，前面我们只取谨，前面我们只取 了几组数据，不能了几组数据，不能 由部分代表整体由部分代表整体. . 已知已知：如：如图，在图，在ABC中，中，AB=c，BC=a，CA=b， 并并且且 . A B b c a b 证明：证明：作作A1B1C1, 在在ABC和和A1B1C 1中，中， C a 222 cba 求求证：证：C=90. 使使C1=90, 根据根据勾股定理勾股定理，则，则有有 C= C1 =90. 探究新知探究新知 B A B1C1=a，C1A1=b. A1B1 2=B1C1 2+C1A1 2=a
6、2+b2. a2+b2=c2, A1B1 =c， AB=A1B1. ABC A1B1C1. A1 C1 B1 AB=A1B1. CA=C1A1, BC=B1C1, 符号语言：符号语言： 在在ABC中，中， 若若a2 + b2 = c2 则则ABC是是直角三角形直角三角形. 探究新知探究新知 如如果三角形的三边长果三角形的三边长a、b、c满足满足 a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形. 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理： b c Ca B A 探究新知探究新知 方法点拨 勾勾股定理的逆定理是直角三角形的股定理的逆定理是直角三角形的判定判定 定理定理，即
7、已知三角形的三边长，且满足两条，即已知三角形的三边长，且满足两条 较小边较小边的平方和等于的平方和等于最长边最长边的平方，即可判的平方，即可判 断此三角形为直角三角形断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应最长边所对应 的角为直角的角为直角. . 例例1 下面以下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是为边长的三角形是不是直角三角形？如果是, , 那么那么哪一个角是直角哪一个角是直角？ ( (1) ) a=15 ， b=8 ，c=17; 解解：( (1)152+82=289，172=289， ( (2) ) a=13 ，b=14 ，c=15. ( (2) )132+142=365，1
8、52=225， 总结总结：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三 角形，只要看角形，只要看两条较小边长的平方和两条较小边长的平方和是否等于是否等于最大边长的平方最大边长的平方. 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1利用勾股定理的逆定理判断直角三角形利用勾股定理的逆定理判断直角三角形 152+82=172， 根根据勾股定理的逆据勾股定理的逆 定理，定理，这个三角形是直角三角形，且这个三角形是直角三角形，且C是直角是直角. 132+142152， 不不符合勾股定符合勾股定 理的逆定理，理的逆定理，这个三角形不是直角三角形这个三角形不是直角
9、三角形. . D C D C 巩固练习巩固练习 3,2, 1 下列各组线段中下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是，能够组成直角三角形的一组是( )( ) A. 1,2,3 B. 2,3,4 C. 4,5,6 D. 满足下列条件的三角形中满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是，不是直角三角形的是( )( ) A.三个内角比为三个内角比为1：2：1 B. 三边之比为三边之比为1：2： C.三边之比为三边之比为 D. 三个内角比为三个内角比为1：2：3 5 5:2:3 例例2 若若ABC的三边的三边a,b,c，且，且a+b=4,ab=1,c= ， 试说明试说明ABC是直角三角形是直角三角形
10、. . 14 解：解：a+b=4,ab=1, a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14. 又又c2=14, a2+b2=c2, ABC是直角三角形是直角三角形. 探究新知探究新知 素养考点素养考点 2勾股定理的逆定理和乘法公式判断三角形勾股定理的逆定理和乘法公式判断三角形 若若ABC的三边的三边 a,b,c 满足满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断试判断ABC的形状的形状. . 解：解： a2+b2+c2+50=6a+8b+10c， a26a+9+b28b+16+c210c+25=0. 即即 (a3)+ (b4)+ (c5)=0. a=3, b=4, c=5， 即即
11、 a2+b2=c2. ABC是直角三角形是直角三角形. . 巩固练习巩固练习 探究新知探究新知 知识点 2勾股数勾股数 如果如果三角形的三边长三角形的三边长a，b，c满足满足a2+b2=c2那么这个三角形那么这个三角形 是直角三角形是直角三角形. .满足满足a2+b2=c2的三个的三个正整数正整数，称为，称为勾股数勾股数. . 常见勾股数：常见勾股数： 3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9， 40，41；10，24，26等等等等. 勾股数拓展性质：勾股数拓展性质： 一一组勾股数，都扩大相同倍数组勾股数，都扩大相同倍数k( (k为正整数为正整数) )，得到
12、一组新，得到一组新 数，这组数同样是勾股数数，这组数同样是勾股数. . 下列下列各组数是勾股数的各组数是勾股数的是是 ( ( ) ) A.3，4，6 B.6，7，8 C.0.3，0.4，0.5 D.5，12，13 D 巩固练习巩固练习 方法点拨：方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数正整数，先，先 排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方 和即可和即可. . 命题命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b, ,斜边为斜边为 c,那么那么a2+b2=c2. .
13、 命命题题2 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a 、b 、c满足满足a2+b2=c2, ,那么那么 这个三角形是直角三角形这个三角形是直角三角形. . 看看下下面面的的两个命题：两个命题： 探究新知探究新知 知识点 3互逆命题和互逆定理互逆命题和互逆定理 你你发现了什么？发现了什么？ 命题命题1：直角三角形直角三角形a2+b2=c2 命题命题2：直角三角形直角三角形a2+b2=c2 题设题设结论结论 它们是它们是题设和结论正好相反的两个命题题设和结论正好相反的两个命题. . 发现发现1 两个命题的条件和结论如下所两个命题的条件和结论如下所示：示： 发现发现2 两个命题的条件和结论有如下联两
14、个命题的条件和结论有如下联系：系： 探究新知探究新知 归纳总结：归纳总结：一一般地，原命题成立时，它的逆命般地，原命题成立时，它的逆命题可题可能成立，能成立， 也可能不成立也可能不成立. .如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的， 那么它也是一个定理，我们称这两个定理那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理互为逆定理. .勾股勾股 定理与勾股定理的逆定理为互逆定理定理与勾股定理的逆定理为互逆定理. . 题题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其 中一个叫做中一个叫做原命题原命题，另一个叫做原命题的，另一
15、个叫做原命题的逆命题逆命题. . 探究新知探究新知 说出说出下列命题的逆命题这些命题的逆命题是真命题吗？下列命题的逆命题这些命题的逆命题是真命题吗？ （1）两条直线平行，内错角相等；）两条直线平行，内错角相等； 逆命题：逆命题：内错角相等，两直线平行真命题内错角相等，两直线平行真命题 （2）对顶角相等；）对顶角相等； 逆命题：逆命题：相等的角是对顶角假命题相等的角是对顶角假命题 （3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 逆命题：逆命题：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平平 分分线上真命题线上真命题
16、任任何一个命题都有逆何一个命题都有逆 命题；原命题是真命题，其命题；原命题是真命题，其 逆命题不一定是真命题逆命题不一定是真命题 巩固练习巩固练习 已知已知M、N是线段是线段AB上的两点，上的两点，AMMN2，NB1，以，以 点点A为圆心，为圆心，AN长为半径画弧；再以点长为半径画弧；再以点B为圆心，为圆心，BM长为长为 半径画弧，两弧交于点半径画弧，两弧交于点C，连接，连接AC，BC，则，则ABC一定是一定是 （ ） A锐角三角形锐角三角形B直角三角形直角三角形 C钝角三角形钝角三角形D等腰三角形等腰三角形 B 连接中考连接中考 1.下列各组数是勾股数的是下列各组数是勾股数的是 ( ( )
17、) A.3，4，7 B.5，12，13 C.1.5，2，2.5 D.1，3，5 2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数将直角三角形的三边长扩大同样的倍数, ,则得到的三角形则得到的三角形 ( )( ) A.是直角三角形是直角三角形 B.可能是锐角三角形可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形不可能是直角三角形 B A 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 3.写出下列命题的逆命题，并写出下列命题的逆命题，并判断判断其逆命题的真假性其逆命题的真假性. . ( (1) )如果两个角是直角，那么它们相等如果两个角是直角，那么它们相等. . (
18、(2) )在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上. . ( (3) )如果如果 ，那么那么a0. 22 ()aa 解：解：( (1) )如果两个角相等，那么这两个角是直角如果两个角相等，那么这两个角是直角. .假命题假命题. . ( (2) )在角的内部，角的平分线上的点到两边的距离相等在角的内部，角的平分线上的点到两边的距离相等. .真命题真命题. . ( (3) )如果如果a0，那么那么 . .真命题真命题. . 22 ()aa 课堂检测课堂检测 4.若若ABC的三边的三边a,b,c满足满足 a:b: c=3:4:5，试判，试判断断
19、 ABC的形状的形状. . 解：解：设设a=3k,b=4k,c=5k(k0), (3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2, (3k)2+(4k)2=(5k)2, ABC是直角三角形，且是直角三角形，且C是直角是直角. . 课堂检测课堂检测 A,B,C三地的两两距离如图所示，三地的两两距离如图所示，A地在地在B地的正东方向，地的正东方向，C 地在地在B地的什么方向？地的什么方向？ 解：解：AB2+BC2122+52 =144+25=169， ， AC2=132=169， AB2+BC2=AC2， ABC为直角三角形，且为直角三角形，且B=90， 由于由于A地在地在B地的正东方向，所
20、以地的正东方向，所以C地在地在B地的正北方向地的正北方向. . 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 解：解：AFEF.理由如下：理由如下： 设正方形的边长为设正方形的边长为4a, 则则ECa，BE3a，CFDF2a. 在在RtABE中，得中，得AE2AB2BE216a29a225a2. . 在在RtCEF中，得中，得EF2CE2CF2a24a25a2. . 在在RtADF中，得中，得AF2AD2DF216a24a220a2. . 在在AEF中，中，AE2EF2AF2，AEF为直角三角形，为直角三角形，且且AE为斜为斜 边边 如如图，图，在正方形在正方形ABCD中，中，F是是
21、CD的中点，的中点，E为为BC上一点，上一点， 且且CE CB，试判断试判断AF与与EF的位置关系，并说明理由的位置关系，并说明理由 1 4 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 AFE90，即，即AFEF. 勾股定理勾股定理 的逆定理的逆定理 内 容内 容 作 用作 用 从从三边数量关系三边数量关系判定一个三角判定一个三角 形是否是直角形三角形形是否是直角形三角形. . 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a 、b 、c满满 足足a2+b2=c2，那么这个三角形是直，那么这个三角形是直 角三角形角三角形. 注 意注 意 最长边最长边不一定是不一定是c， C也不一也不一 定是直角定是直角. 勾股数一定是勾股数一定是正整数正整数 课堂小结课堂小结 勾股数勾股数 互 逆 命 题 和 互 逆 定 理互 逆 命 题 和 互 逆 定 理 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
