1、人教版人教版 数学数学 八年级八年级 下册下册 宁宁在商场看中了一块正方形纱巾，但不知是否是正宁宁在商场看中了一块正方形纱巾，但不知是否是正 方形，只见售货员阿姨拉起纱巾的一组对角，另一组对角方形，只见售货员阿姨拉起纱巾的一组对角，另一组对角 能完全重合，看宁宁还在犹豫，又拉起纱巾的另一组对角，能完全重合，看宁宁还在犹豫，又拉起纱巾的另一组对角， 剩下的那组对角也能完全重合剩下的那组对角也能完全重合. .阿姨认为这样就能证明纱阿姨认为这样就能证明纱 巾是正方形，把纱巾给了宁宁，你认为宁宁手上的纱巾一巾是正方形，把纱巾给了宁宁，你认为宁宁手上的纱巾一 定是正方形吗？定是正方形吗？ 导入新知导入新
2、知 2. 能应用正方形定义、判定等知识，解决简单能应用正方形定义、判定等知识，解决简单 的的证明题和计算题证明题和计算题. 1. 理解并掌握正方形的理解并掌握正方形的判定方法判定方法 . 素养目标素养目标 做一做：做一做：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察 这时菱形框架的形状这时菱形框架的形状. .量量看是不是正方形量量看是不是正方形. . 正方形正方形 【讨论讨论】 满足怎样条件的菱形是正方形？满足怎样条件的菱形是正方形？ 正方正方 形形 一个角是直角一个角是直角 或对角线或对角线相等相等 探究新知探究新知 知识点 正方形的判定正方形的判定
3、已知：如图已知：如图, ,在菱形在菱形ABCD中中, ,AC , DB是它的两条对角线是它的两条对角线, , AC=DB. 求证：四边形求证：四边形ABCD是正方形是正方形. . A B CD O 求证求证：对角线对角线相等相等的的菱形菱形是正方形是正方形. . 探究新知探究新知 四边形四边形ABCD是菱形是菱形, AB=BC=CD=AD,ACDB. AC=DB, AO=BO=CO=DO, AOD,AOB,COD,BOC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， DAB=ABC=BCD=ADC=90, , 四边形四边形ABCD是正方形是正方形. . 证明：证明： 做一做：做一做：准备一张矩形的纸片，
4、按照下图折叠准备一张矩形的纸片，按照下图折叠, ,然后展开，然后展开， 折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证. . 正方形正方形 【讨论讨论】满足怎样条件的矩形是正方形？满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形矩形 正方正方 形形 一组邻边相等一组邻边相等 或对角线互相垂直或对角线互相垂直 探究新知探究新知 矩形矩形 已知：如图已知：如图,在矩形在矩形ABCD中中,AC , DB是它的两条对角线是它的两条对角线, ACDB. 求证：矩形求证：矩形ABCD是正方形是正方形. 证明：证明：四边形四边形ABCD是矩形是矩形, , AO=CO=BO=DO ，ADC
5、=90. ACDB, AD=AB=BC=CD, 矩形矩形ABCD是正方形是正方形. . 求证：求证：对角线对角线互相垂直互相垂直的的矩形矩形是正方形是正方形. . 探究新知探究新知 AB CD O 正方形正方形 矩形矩形 有一组邻边相等有一组邻边相等 菱形菱形 有一个角是直角有一个角是直角 有一组邻边相等有一组邻边相等 且有一个角是直角且有一个角是直角 正正 方方 形形 常常 见见 的的 判判 定定 方方 法法 先证是矩形再证是菱形先证是矩形再证是菱形或或 先证是菱形再证是矩形先证是菱形再证是矩形 探究新知探究新知 平行四平行四 边形边形 5种判种判 定方法定方法 三个角是直角三个角是直角 四
6、条边相等四条边相等 一个角是直角一个角是直角 或对角线相等或对角线相等 一组邻边相等一组邻边相等 或对角线互或对角线互 相垂直相垂直 一组邻边相等一组邻边相等 或对角线互或对角线互 相垂直相垂直 一个角是直角一个角是直角 或对角线相等或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等一个角是直角且一组邻边相等 平行四边形、矩形、菱形、正方形的平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结判定小结 探究新知探究新知 例例1 已知：如图，已知：如图，ABC中，中，C=90，CD平分平分ACB， DEBC于于E，DFAC于于F 求证：四边形求证：四边形CFDE是正方形是正方形 C=90， DEBC于于E，DFAC于
7、于F, DEC=90， DFC=90， 四边形四边形CFDE有三个直角，有三个直角， 它是它是矩形矩形. . 又又CD平分平分ACB, DE=DF. 四边形四边形CFDE是是正方形正方形. . 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1由矩形到正方形的识别由矩形到正方形的识别 证明：证明： DEAC，DFBC ， DEC=DFC=90. 又又 C=90 ， 四边形四边形ADFC是矩形是矩形. 过点过点D作作DGAB，垂足为，垂足为G. AD是是CAB的平分的平分线线, DEAC，DGAB， 同理得同理得DG=DF， 四边形四边形EDFC是正方形是正方形. 如如图，在直角三角形中，图，在直角三角形中
8、，C=90，A、B的平分线交于的平分线交于 点点D.DEAC，DFBC.求证求证:四边形四边形CEDF为正方形为正方形. A B C D E F G 巩固练习巩固练习 证明：证明： DE=DG. ED=DF， 证明：证明：四边形四边形ABCD为正方形为正方形, , OB=OC,ABO=BCO =45, BOC=90=COH+BOH. EGFH, COH=BOE, OE=OH. . B A C D O E H G F 例例2 如图，如图，EG,FH过正方形过正方形ABCD的对角线的交点的对角线的交点O,且且 EGFH. .求证：四边形求证：四边形EFGH是正方形是正方形. . 探究新知探究新知
9、素养考点素养考点 2由菱形到正方形的识别由菱形到正方形的识别 OE=OF=OG=OH. EO+GO=FO+HO , ,即即EG=HF, , BOE+BOH=90, CHO BEO, 同理可证：同理可证：OE=OF=OG, 又又EGFH,四边形四边形EFGH为菱形为菱形. . 四边形四边形EFGH为正方形为正方形. . 在在正方形正方形ABCD中，点中，点E、F、M、N分别在各边上，且分别在各边上，且 AE=BF=CM=DN四边形四边形EFMN是正方形吗是正方形吗? ?为什么为什么? ? 四边形四边形ABCD是正方形，是正方形， AB=BC=CD=DA， A=B=C=D=90. AE=BF=CM
10、=DN， AN=BE=CF=DM. 巩固练习巩固练习 解：解：四边形四边形EFMN是正方形是正方形. . 理由如下：理由如下： AE=BF=CM=DN, A=B=C=D, AN=BE=CF=DM, AEN BFE CMF DNM, EN=FE=MF=NM，ANE=BEF, 四边形四边形EFMN是菱形是菱形， NEF=180（AEN+BEF） =180（AEN+ANE） =18090=90. 四边形四边形EFMN是正方形是正方形 . . 巩固练习巩固练习 在在AEN、BFE、CMF、DNM中，中， 在矩形在矩形ABCD中，中，M，N，P，Q分别为边分别为边AB，BC，CD，DA 上的点（不与端点
11、重合上的点（不与端点重合），），对于任意矩形对于任意矩形ABCD，下面四个结，下面四个结 论中论中， 存在无数个四边形存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；是平行四边形； 存在无数个四边形存在无数个四边形MNPQ是矩形；是矩形； 存在无数个四边形存在无数个四边形MNPQ是菱形；是菱形； 至少存在一个四边形至少存在一个四边形MNPQ是正方形是正方形 所有正确结论的序号是所有正确结论的序号是_ 连接中考连接中考 1.在四边形在四边形ABCD中，中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是是对角线的交点，能判定这个四边形是 正方形的是（正方形的是（ ） AAC=BD，ABCD，AB=CD BADBC，A
12、=C CAO=BO=CO=DO，ACBD DAO=CO，BO=DO，AB=BC C AB C D O 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 课堂检测课堂检测 2.下列判断中正确的是（下列判断中正确的是（ ） A.四四边相等的四边形是正方形边相等的四边形是正方形 B.四四角相等的四边形是正方形角相等的四边形是正方形 C.对对角线垂直的平行四边形是正方形角线垂直的平行四边形是正方形 D.对对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D 课堂检测课堂检测 3.如图，已知四边形如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下是平行四边形，下 列结论中不正确的是（）列结论中不
13、正确的是（） A当当AB=BC时，四边形时，四边形ABCD是菱形是菱形 B当当ACBD时，四边形时，四边形ABCD是菱形是菱形 C当当ABC=90时，四边形时，四边形ABCD是矩形是矩形 D当当AC=BD时，四边形时，四边形ABCD是正方形是正方形 D 课堂检测课堂检测 B D A C 4.如图，在四边形如图，在四边形ABCD中中, , AB=BC , ,对角线对角线BD平分平分 ABC , P 是是BD上一点上一点, ,过点过点P作作PM AD , PN CD , ,垂足分别为垂足分别为M、N. ( (1) ) 求证：求证： ADB= CDB; ( (2) ) 若若 ADC=90 , ,求证
14、：四边形求证：四边形MPND是正方形是正方形. . C A B D P M N 证明：证明：（1）AB = BC,BD平分平分ABC. 1=2. ABD CBD (SAS). ADB=CDB. 1 2 课堂检测课堂检测 C A B D P M N （2）ADC=90, 又又PMAD,PNCD, PMD=PND=90. . 四边形四边形NPMD是矩形是矩形. . ADB=CDB, ADB=CDB=45. DM=PM,DN=PN. 四边形四边形NPMD是正方形是正方形. . 课堂检测课堂检测 如图，如图，ABC中，中，D是是BC上任意一点，上任意一点，DEAC，DFAB （1）试说明四边形）试说明
15、四边形AEDF的形状，并说明理由的形状，并说明理由 （2）连接）连接AD，当，当AD满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为菱形， 为什么？为什么？ 解：解：（1）DEAC，DFAB， 四边形四边形AEDF为平行四边形为平行四边形. . （2）四边形四边形ADEF为菱形，为菱形， AD平分平分BAC， 则则AD平分平分BAC时，四边形时，四边形AEDF为菱形为菱形. . 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 （3）在（）在（2）的条件下，当）的条件下，当ABC满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形 AEDF为正方形，不说明理由为正方形，不说明理由
16、解：解：由四边形由四边形AEDF为正方形为正方形 BAC=90， ABC是是以以BC为斜边的直角三角形为斜边的直角三角形即可即可 课堂检测课堂检测 如如图，正方形图，正方形ABCD，动点，动点E在在AC上，上，AFAC，垂足为，垂足为A， AF=AE （1）求证：）求证：BF=DE； （2）当点）当点E运动到运动到AC中点时中点时( (其他条件都保持不变其他条件都保持不变) )，问四边，问四边 形形AFBE是什么特殊四边形？说明理由是什么特殊四边形？说明理由 （1）证明：证明：正方形正方形ABCD， AB=AD，BAD=90， AFAC，EAF=90， 在在ABF 和和ADE中，中，ABAD
17、，BAFEAD ，AFAE , ABF ADE（SAS），）， 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 课堂检测课堂检测 BAF=EAD， BF=DE； （2）解：解：当点当点E运动到运动到AC的中点时的中点时, ,四边形四边形AFBE是是正方形正方形， 理由：理由：点点E运动到运动到AC的中点，的中点，AB=BC， BEAC，BE=AE= AC， AF=AE， 又又BEAC，FAE=BEC=90， BEAF， 四边形四边形AFBE是平行四边形是平行四边形， FAE=90，AF=AE， 四边形四边形AFBE是正方形是正方形 1 2 课堂检测课堂检测 BE=AF=AE. BE=AF， 5种判种判 定方法定方法 三个角是直角三个角是直角 四条边相等四条边相等 一个角是直角一个角是直角 或对角线相等或对角线相等 一组邻边相等一组邻边相等 或对角线互或对角线互 相垂直相垂直 一组邻边相等一组邻边相等 或对角线互或对角线互 相垂直相垂直 一个角是直角一个角是直角 或对角线相等或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等一个角是直角且一组邻边相等 平行四边形、矩形、菱形、正方形的平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结判定小结 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
