1、北师大版北师大版 八年级八年级 数学数学 下下册册 导入新知导入新知 （2）直角三角形直角三角形的定义是什么？的定义是什么？ （3）三角形三角形内角和的性质是什么？内角和的性质是什么？ 有一个是直角的三角形叫直角三角形有一个是直角的三角形叫直角三角形. 三角形内角和等于三角形内角和等于180. 思考：思考：（1）三角形三角形的的分类？分类？ 锐角三角形，直角三角形，钝角三角形锐角三角形，直角三角形，钝角三角形. 直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余. 这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质. （4） 前面前面我们探究过直角三角形的哪些性
2、质？我们探究过直角三角形的哪些性质？ 在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它，那么它 所对的直角边等于斜边的一半所对的直角边等于斜边的一半. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半， 那么这条直角边所对的锐角等于那么这条直角边所对的锐角等于30. 导入新知导入新知 1.复习复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的相关知识，归纳并掌握 直角三角形直角三角形的的性质性质和和判定判定. 2.学习学习并掌握并掌握勾股定理勾股定理及其及其逆定理逆定理，能够运用，能够运用 其其解决问题解决问题. 素养目标素养
3、目标 3.结合具体事例理解结合具体事例理解互逆命题互逆命题、互逆定理互逆定理的概的概 念念,并体会原命题成立时，其逆命题不一定成立并体会原命题成立时，其逆命题不一定成立. 探究新知探究新知 知识点 1直角三角形的性质与判定直角三角形的性质与判定 思考：思考： （1）直角三角形的两个锐角有怎样的）直角三角形的两个锐角有怎样的关系关系？ 根据三角形的内角和定理，即可得到根据三角形的内角和定理，即可得到“直角三角直角三角 形的两锐角互余形的两锐角互余”. （2）如果）如果一个三角形中有两一个三角形中有两个角个角互余，那么这个三角互余，那么这个三角 形是直角三角形吗形是直角三角形吗？ 是直角三角形是直
4、角三角形. 已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中， A +B=90. 求证：求证： ABC是直角三角形是直角三角形. 在在ABC中中， A +B +C=180， 又又A +B=90，C=90， ABC是是直角三角形直角三角形. 证明：证明： 如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三 角形是角形是直角三角形直角三角形. 证明：证明： 探究新知探究新知 性质定理性质定理 直角三角形直角三角形的两锐角互余的两锐角互余. 直角三角形的性质与判定直角三角形的性质与判定结论结论 判定判定定理定理 有有两两个角个角互互余的三角形余的三角形是是直角三角形直角三角形.
5、 探究新知探究新知 直角三角形的性质与判定直角三角形的性质与判定素养考点素养考点 1 探究新知探究新知 例例 如如图图,ACBD,1=2,D=40,则则BAD的度数的度数 是是 ( ( ) ) A.85B.90 C.95D.100 C 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 直角三角形中直角三角形中,一个锐角一个锐角等于等于另一个锐角的另一个锐角的2倍倍,则较小则较小 的锐角是的锐角是_. 30 知识点 2 勾股定理与逆定理勾股定理与逆定理 勾股定理勾股定理： 直角三角形直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即即a2+b2=c2. a c b 勾勾 弦弦 股
6、股 勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理. 探究新知探究新知 勾股定理的勾股定理的3 3种证明方法：种证明方法： b a c b a c 方法一：方法一： 22 11 122 = ( + )( + )= (+2+)Sa b a baab b 22 11 22 =+abab， 22 1111 22222 =+=+Sababcabc 12 =，SS 222 111 222 +=+abababc， 222 +=.abc 探究新知探究新知 方法二：方法二： c a b c a b c a b c a b (a+b)2 = c2+ ， a2+2ab+b2 =
7、c2+2ab， a2+b2=c2. 大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 ； 也也可以表示为可以表示为 ； (a+b)2 c2+ 1 4 2 ab 1 4 2 ab 探究新知探究新知 探究新知探究新知 方法三：方法三： c c2= +(b-a)2， c2 =2ab+b2-2ab+a2， c2 =a2+b2， a2+b2=c2. 大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为也可以表示为 c2 +(b-a)2 1 4 2 ab 1 4 2 ab c a c a c b a a b b b 探究新知探究新知 勾股定理勾股定理的逆定理：的逆定理： 我们曾用我们曾用度量
8、度量的办法得出这个结论的办法得出这个结论. 勾股定理反过来，怎么叙述呢？勾股定理反过来，怎么叙述呢？ 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方, , 那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形 思考：思考：这个这个命题是真命题吗？为什么？命题是真命题吗？为什么？ 是否还有其他方法？是否还有其他方法？ 探究新知探究新知 勾股定理勾股定理的逆定理的证明：的逆定理的证明： 已知：如图已知：如图,在在ABC中中,AC2+BC2=AB2. 求证求证:ABC是直角三角形是直角三角形 分析：分析：构造一个直角三角形与构造一个直角三角形与ABC全等，你能自
9、己写出证全等，你能自己写出证 明过程吗？明过程吗？ A B C 证明：证明：作作RtDEF,使使E=90, DE=AC,FE=BC，则则DE2+EF2=DF2(勾股定理勾股定理) AC2+BC2=AB2(已知已知), DE=AC,FE=BC(作图作图), AB2=DF2，AB=DF， ABC DFE（SSS） C=E=90, ABC是直角三角形是直角三角形 D FE A BC 探究新知探究新知 勾股定理勾股定理 直角三角形直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方两条直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理与逆定理勾股定理与逆定理结论结论 逆定理逆定理 如果三角形如果三角形两边的平方和等于第三
10、边的平方两边的平方和等于第三边的平方,那么这那么这 个三角形是直角三角形个三角形是直角三角形 探究新知探究新知 小结小结 直角三角形的直角三角形的性质性质定理定理: 1.直角三角形的两个直角三角形的两个锐角锐角互余互余. 2.勾股定理：直角三角形勾股定理：直角三角形两两条直角边的平方和条直角边的平方和等于等于斜边的平方斜边的平方. 直角三角形的直角三角形的判定判定定理定理: 1.有两个有两个角角互余互余的三角形的三角形是直角三角形是直角三角形 2.如果如果三角形三角形两边的平方和两边的平方和等于等于第三边的第三边的平方平方, 那么这个三角形那么这个三角形 是是直角三角形直角三角形. 直角三角形
11、的性质与判定直角三角形的性质与判定 探究新知探究新知 勾股定理与逆定理勾股定理与逆定理素养考点素养考点 2 探究新知探究新知 例例 已知已知ABC的三边长分别为的三边长分别为5、12、13，则，则ABC 的面积为的面积为 ( ( ) ) A.30 B.60 C.78 D.不能确定不能确定 A 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，ACB90，AB5cm， BC3cm，CDAB于于D，求，求CD的长的长. 解：解：ABC是直角三角形，是直角三角形，AB5cm，BC3cm， 由勾股定理得由勾股定理得AC2AB2BC2，AC4cm， 又又S ABC BCAC
12、ABCD， CDBCACAB2.4cm， CD的长是的长是2.4cm. 1 2 1 2 探究新知探究新知 知识点 3 互逆命题与互逆定理互逆命题与互逆定理 观察观察： 定理定理: :如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方, ,那么那么 这个三角形是直角三角形这个三角形是直角三角形 勾股定理勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 下面两个定理的条件和结论有什么样的关系？下面两个定理的条件和结论有什么样的关系？ 一个命题的一个命题的条件条件和和结论结论分别是另一个命题的分别是另一个命题的结论结论和
13、和条件条件 上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗? 与同伴交流与同伴交流 ,; ,. ,; ,. ; . 如如果果两两个个角角是是对对顶顶角角那那么么它它们们相相等等 如如果果两两个个角角相相等等 那那么么它它们们是是对对顶顶角角 如如果果小小明明患患了了肺肺炎炎 那那么么他他一一定定发发烧烧 如如果果小小明明发发烧烧 那那么么他他一一定定患患了了肺肺炎炎 三三角角形形中中相相等等的的边边所所对对的的角角相相等等 三三角角形形中中相相等等的的角角所所对对的的边边相相等等 观察观察下面三组命题：下面三组命题： 探究新知探究新知 探究新知探究
14、新知 上面每两个命题的上面每两个命题的条件条件和和结论结论恰好恰好互换互换了位置了位置 在在两个命题中，如果第一个命题的两个命题中，如果第一个命题的条件条件是第二个命是第二个命 题的题的结论结论，而第一个命题的，而第一个命题的结论结论是第二个命题的是第二个命题的条件条件， 那么这两个命题叫做那么这两个命题叫做互逆命题互逆命题. 如果如果把其中一个命题叫做把其中一个命题叫做原命题原命题，那么另一个命题就叫，那么另一个命题就叫 做它的做它的逆命题逆命题. 注意：注意：原原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题是真命题，而逆命题不一定是真命题命题! 互互逆命题：逆命题： 探究新知探究新知 如果如果一个
15、定理的逆命题经过证明是一个定理的逆命题经过证明是真命题真命题，那么它，那么它 也是一个定理，我们称它们为也是一个定理，我们称它们为互逆定理互逆定理.其中一个定理其中一个定理 称为另一个定理的称为另一个定理的逆定理逆定理. 互互逆定理：逆定理： 注意注意：（1 1）逆命题逆命题、互逆命题不一定是真命题、互逆命题不一定是真命题，但，但逆定理、逆定理、 互逆定理，一定是真命题互逆定理，一定是真命题. （2 2）每个每个定理都有逆命题定理都有逆命题，但，但每个定理不一定有每个定理不一定有逆定理逆定理. 互逆命题与互逆定理互逆命题与互逆定理素养考点素养考点 3 探究新知探究新知 例例 指出指出下列命题的
16、条件和结论，并说出它们的逆命题下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题. 条件：一个三角形是直角三角形条件：一个三角形是直角三角形. 结论：它的两个锐角互余结论：它的两个锐角互余. 逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个 三角形是直角三角形三角形是直角三角形. ( (1) )如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互 余余. 探究新知探究新知 条件：一个三角形是条件：一个三角形是等边三角形等边三角形. 结论：它的每个角都等于结论：它的每个角都等于60. 逆命题：如果一个三角形的每个角都等于逆
17、命题：如果一个三角形的每个角都等于60，那么，那么 这个三角形是等边三角形这个三角形是等边三角形. ( (2) )等边三角形的每个角都等于等边三角形的每个角都等于60. 探究新知探究新知 条件：两个三角形是全等三角形条件：两个三角形是全等三角形. 结论：它们的对应角结论：它们的对应角相等相等. 逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个 三角形全等三角形全等. ( (3) )全等三角形的对应角全等三角形的对应角相等相等. 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 下列命题下列命题: 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两条直角边的平方
18、和等于斜边的平方; 若若ab,则则ac2bc2; 全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等; 直角三角形两锐角互余直角三角形两锐角互余. 其中原命题与逆命题均为真命题的其中原命题与逆命题均为真命题的是是( ( ) ) A.B. C. D. B 连接中考连接中考 （2020荆门）荆门）ABC中，中，AB=AC，BAC=120，BC= ， D为为BC的中点，的中点，AE= AB，则，则EBD的面积为（的面积为（ ） B 2 3 1 4 A. B. C. D. 3 3 4 3 3 8 3 4 3 8 1. 在在一个直角三角形中一个直角三角形中,有一个锐角等于有一个锐角等于35,则另一则另一 个锐角的
19、度数个锐角的度数是是( ( ) ) A.75 B.65C.55 D.45 C 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2. 如如图是一张直角三角形的纸片，两直角边图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC6 cm， BC8 cm，现将，现将ABC折叠，使点折叠，使点B与点与点A重合重合，折痕为，折痕为 DE，则，则BE的长为的长为（ ） A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm B 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 3. 下列下列长度的三条线段能组成直角三角形的长度的三条线段能组成直角三角形的是是 ( ( ) ) A.3,4,5B.2,3,4
20、C.4,6,7D.5,11,12 A 4.三角形三角形的三边长的三边长a,b,c满足满足2ab=(a+b)2-c2,则此则此三角形三角形的形的形 状是状是_三角形三角形. 直角直角 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 5.“直角都相等直角都相等”与与“相等的角是直角相等的角是直角”是是 ( ( ) ) A.互为互为逆命题逆命题 B.互逆定理互逆定理 C.公理公理 D.假命题假命题 A 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 1、如如图，图，ABC中，中，ABAC，BAC90，D是是BC上上 任一点任一点.求证：求证：BD2CD22AD2. 证明：证明： 过过
21、点点A作作AEBC于于E， 则在则在RtADE中，中，AD2DE2AE2， 又又ABAC，BAC90， AEBECE， BD2CD2（BEDE）2（CEDE）2 BE2CE22DE22AE22DE22AD2， 即即BD2CD22AD2. 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 E 2、如如图图,直角三角形直角三角形ABC中中,ACB=90,AC=12cm,BC=5cm, AB=13 cm,过点过点C作作CDAB于点于点D. 解解: :( (1) )CDAB(已知已知), CDA=90,A+1=90, 1+2=90,A=2. 同理可得同理可得,1=B. ( (1) )找出图中相等
22、的锐角找出图中相等的锐角,并说明理由并说明理由. 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 解解: :( (2) )点点A到直线到直线BC的距离为的距离为12 cm. 点点C到直线到直线AB的距离为线段的距离为线段CD的长度的长度. S ABC= AC BC= ABCD. AC=12 cm，BC=5 cm，AB=13 cm, 代入代入上式上式,解得解得CD= cm. ( (2) )求出点求出点A到直线到直线BC的距离以及点的距离以及点C到直线到直线AB的距离的距离. 1 2 1 2 60 13 课堂检测课堂检测 如如图图,在四边形在四边形ABCD中中,B=90,AB=BC=2,A
23、D=1,CD=3. 求四边形求四边形ABCD的面积的面积. 解：解：连接连接AC, B=90,AB=BC=2,AC=2 , AD=1,CD=3, AD2+AC2=12+(2 )2=9,CD2=9, 2 2 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 AD2+AC2=CD2, ADC是直角三角形是直角三角形,DAC=90, 在在RtABC中中,S ABC= BCAB= 22=2, 在在RtADC中中,S ADC= ADAC= 12 = , S四边形 四边形ABCD=SABC+SADC=2+ . 1 2 1 2 1 2 1 2 22 2 课堂检测课堂检测 课堂小结课堂小结 定理定理1
24、1：直角三角形直角三角形的两个锐角的两个锐角互余互余； 定理定理2 2：有两个角：有两个角互余互余的三角形是的三角形是直角三角形直角三角形. . 直角三角形直角三角形 互逆命题与互逆命题与 互逆定理互逆定理 勾股定理：直角三角形勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和两条直角边的平方和等于等于 斜边的平方斜边的平方； 逆定理：如果三角形两边的平方和等于逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的第三边的 平方平方，那么这个三角形是，那么这个三角形是直角三角形直角三角形 角的性质角的性质 边的性质边的性质 第一个命题的第一个命题的条件条件是第二个命题的是第二个命题的结论结论； 第一个命题的第一个命题的结论结论是第二个命题的是第二个命题的条件条件. . 一个定理的逆命题也是定理，这两个定理叫做一个定理的逆命题也是定理，这两个定理叫做 互逆定理互逆定理 互逆命题互逆命题 互逆定理互逆定理 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
