1、北师大版北师大版 八年级八年级 数学数学 下下册册 在在一个三角形居住区内修有一个学校一个三角形居住区内修有一个学校P，P到到AB、BC、 CA三边的距离都相等三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校请在三角形居住区内标出学校P的位的位 置置,P在何处？在何处？ 导入新知导入新知 A BC 1.会会证明和运用证明和运用“三角形的三角形的三条角平分线相三条角平分线相 交于一点交于一点，并且这一点到三条边的，并且这一点到三条边的距离相等距离相等”. 2.经历经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展探索、猜想、证明的过程，进一步发展 学生的学生的推理证明意识推理证明意识和和能力能力. 素养目标素养
2、目标 探究新知探究新知 知识点 三角形的内角平分线三角形的内角平分线 画一画：画一画： （1）分分别别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了 什么？什么？ 发现：发现：三角形三角形的三条角平分线相交于一点的三条角平分线相交于一点. （2）分别）分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量， 每组垂线段，你发现了什么？每组垂线段，你发现了什么？ 发现：发现：过过交点作三角形三边的垂线段相等交点作三角形三边的垂线段相等. 你能证明这你能证明这 个结论吗？个结论吗？ 探究新知探究新知 做一做：做一做： 剪一个三角形纸
3、片，通过折叠找出每个角的角平分线，观剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观 察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流 结论结论：三角形三角形的三条角平分线相交于一点的三条角平分线相交于一点. 怎样证明这个结论呢怎样证明这个结论呢? ? 探究新知探究新知 点拨：点拨：要证明三角形的三条角平分线要证明三角形的三条角平分线 相交于一点，只要证明其中两条角平相交于一点，只要证明其中两条角平 分线的交点一定在第三条角平分线上分线的交点一定在第三条角平分线上 即可即可.思路可表示如下：思路可表示如下： 试试看，试试看，你能写出你能写出
4、证明过程吗？证明过程吗？ AP是是BAC的平分线的平分线 BP是是ABC的平分线的平分线 PI=PH PG=PI PH=PG 点点P在在BCA 的平分线上的平分线上 A B C P F H D E I G 结论证明：结论证明： 探究新知探究新知 已知：如图，在已知：如图，在ABC中，角平分线中，角平分线BM、角平分线、角平分线CN相相 交于点交于点P，过点，过点P分别作分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别是的垂线，垂足分别是 D,E,F. 求证求证： A的平分线经过点的平分线经过点P，且且PDPEPF. 求证：求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一
5、点这一点到到三三 条边条边的距离的距离相等相等. . D E F M N CB A P 探究新知探究新知 证明证明：BM是是ABC的角平分线的角平分线,点点P在在BM上上,且且PDAB， PEBC，垂足分别为，垂足分别为D，E， PD=PE(_). 同理同理:PE=PF.PD=PE=PF. 点点P在在A的平分线上的平分线上(_ _)， 即即 A的平分线经过点的平分线经过点P. 角平分线角平分线上的点到上的点到这个角的两边的距离相等这个角的两边的距离相等 在一个角的内部，到角的两边距离在一个角的内部，到角的两边距离 相等的点在这个角的平分线上相等的点在这个角的平分线上 D E F M N CB
6、A P 探究新知探究新知 探究新知探究新知 三角形三角形的的三条角平分线交于一点三条角平分线交于一点，并且，并且这点这点到到三边三边 的距离的距离相等相等. 三角形的内角平分线三角形的内角平分线结论结论 D E F M N CB A P 在一块三角形的草坪上建一座凉亭在一块三角形的草坪上建一座凉亭,要使凉亭到草坪要使凉亭到草坪 三边的距离相等三边的距离相等,凉亭的位置应选凉亭的位置应选在在( ( ) ) A.三角形的三条中线的交点处三角形的三条中线的交点处 B.三角形的三边的垂直平分线的交点处三角形的三边的垂直平分线的交点处 C.三角形的三条角平分线的交点处三角形的三条角平分线的交点处 D.三
7、角形的三条高所在直线的交点处三角形的三条高所在直线的交点处 C 探究新知探究新知 做一做：做一做： 探究新知探究新知 三角形三边的垂直平分线和三条三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的区别角平分线的区别 三边垂直平分线三边垂直平分线三条角平分线三条角平分线 三三 角角 形形 锐角三角形锐角三角形交于三角形交于三角形_一点一点 交于三角形交于三角形 _一点一点 钝角三角形钝角三角形交于三角形交于三角形_一点一点 直角三角形直角三角形交于斜边的交于斜边的_ 交点性质交点性质 到三角形到三角形_ 的距离相等的距离相等 到三角形到三角形_ _的距离相的距离相 等等 内内 外外 中点中点 内内 三个顶点
8、三个顶点 三三 边边 总结：总结： 三角形的内角平分线三角形的内角平分线素养素养考点考点 探究新知探究新知 解：解： 如如图图,在在ABC中中,已知已知AC=BC, C=90, AD是是ABC的的 角平分线角平分线,DEAB,垂足为垂足为E. ( (1) )如果如果CD=4cm,AC的长的长; 例1 AD是是ABC的角平分线的角平分线, DCAC， DEAB,垂足为垂足为E， DE=CD=4cm. AC=BC,B=BAC. C=90,B=45.BE=DE. 在等腰直角三角形在等腰直角三角形BDE中，中， 2 24 2cm.BDDE (44 2)cm.ACBCCDBD E D A B C ( (
9、2) )求证求证: :AB=AC+CD. 由由（1）的求解过程易知）的求解过程易知， RtACD RtAED(HL). AC=AE. BE=DE=CD, AB=AE+BE=AC+CD. 探究新知探究新知 证明证明： E D A B C 如图，在直角如图，在直角ABC中，中，AC=BC,C90，AP平平 分分BAC，BD平分平分ABC;AP,BD交于点交于点O，过点，过点O 作作OMAC,若若OM4, ( (1) )求点求点O到到ABC三边的距离和三边的距离和. 解：解：点点O到到ABC三三 边的距离边的距离和为和为12. 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 M E N A B C P O D
10、( (2) )若若ABC的周长为的周长为32，求，求ABC的面积的面积. 连接连接OC， 探究新知探究新知 解：解： ABCAOCBOCAOB S= S+S+S M E N A B C P O D 111 =+ 222 AB OEBC ONAB OM 1 =(+) 2 OMABBCOM 1 =4 32 = 64 2 探究新知探究新知 如如图图,在在ABC中中,ACB=90,AO,CO分别平分分别平分BAC 和和ACB,ODAC于于D.若若AB=10,BC=8,试求线段试求线段OD的长度的长度. 例例2 解：解：连接连接OB,过过O作作OEAB于于E,OFBC于于F, AO平分平分BAC,CO平
11、分平分ACB,OEAB,OFBC,ODAC, OE=OD=OF, 设设OE=OF=OD=R, 在在ABC中中,ACB=90,AB=10,BC=8, 由由勾股定理得勾股定理得:AC=6, 探究新知探究新知 S ABC=SABO+SACO+SBCO, ACBC= ABOE+ ACOD+ BCOF， 68=10R+6R+8R,解得解得:R=2, OD的长为的长为2. 1 2 1 2 1 2 1 2 方法方法总结总结 探究新知探究新知 1.三角形三个内角平分线的交点与三角形三个顶点的连线把三角形三个内角平分线的交点与三角形三个顶点的连线把 原三角形分割成了原三角形分割成了三个小三角形三个小三角形,利用
12、三个小三角形面积之和利用三个小三角形面积之和 等于原三角形的面积等于原三角形的面积,即等积法即可求出交点到三边的距离即等积法即可求出交点到三边的距离. 2.已知角平分线上的点已知角平分线上的点,要利用要利用角平分线性质定理角平分线性质定理寻找线段相寻找线段相 等关系等关系,有时可结合有时可结合全等三角形全等三角形、直角三角形直角三角形来求解来求解. 如如图所图所示，在示，在ABC中，中，B90，AB7，BC24，AC25. （1）ABC内是否存在一点到各边的距离相等？如果存在，请作内是否存在一点到各边的距离相等？如果存在，请作 出这一点，并说明理由出这一点，并说明理由； 巩固练习巩固练习 变式
13、训练变式训练 解：解：如如图，图，作作BAC、ACB的平分线，它们的交点的平分线，它们的交点P即即 为符合要求的点为符合要求的点. 作作PEAB，PFBC，PGAC， 垂足垂足分别为分别为E、F、G. AP是是BAC的平分线的平分线，PEPG. CP是是ACB的平分线的平分线，PFPG. PEPFPG； （2）求这点到各边的距离）求这点到各边的距离. 巩固练习巩固练习 解：解：连接连接BP.设设PEPFPGx. S ABC S APB S BPC S APC， ， 0.5ABBC0.5ABx0.5BCx0.5ACx. 724（72425）x. 解得解得x3. 即这点到各边的距离为即这点到各边的
14、距离为3. 连接中考连接中考 （2020怀化）在怀化）在RtABC中，中，B=90，AD平分平分BAC，交，交BC 于点于点D，DEAC，垂足为点，垂足为点E，若，若BD=3，则，则DE的长为（的长为（ ） A A.3 B.1.5 C.2 D.6 1. ABC是一个任意三角形是一个任意三角形,用直尺和圆规作出用直尺和圆规作出A,B的的 平分线相交于点平分线相交于点O,那么下列说法不正确的那么下列说法不正确的是是 ( ( ) ) A.点点O一定在一定在ABC的内部的内部 B.C的平分线一定经过点的平分线一定经过点O C.点点O到到ABC三边的距离一定相等三边的距离一定相等 D.点点O到到ABC的
15、三个顶点的距离一定的三个顶点的距离一定相等相等 D 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2. 如图如图,在在RtABC中中,点点O是是ABC内一点，且点内一点，且点O到到ABC三三 边的距离相等若边的距离相等若A40，则，则BOC的度数为的度数为( () ) A A110 B120 C130 D140 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 3.如如图图,已知已知ABC，求作一点，求作一点P，使，使P到到A的两边的距离相等，的两边的距离相等， 且且PAPB下列确定下列确定P点的方法正确的是点的方法正确的是（ ） A.P为为A，B两角平分线的交点两角平分线的交
16、点 B.P为为A的平分线与的平分线与AB的的垂直平分线的垂直平分线的交点交点 C.P为为AC，AB两边上的高的交点两边上的高的交点 D.P为为AC，AB两边的垂直平分线的交点两边的垂直平分线的交点 B AB C P 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 4. 如如图图, O是是ABC的角平分线的交点的角平分线的交点,ABC的面积为的面积为2,周周 长长为为4,则点则点O到到BC的距离的距离为为( ( ) ) A.1B.2 C.3D.无法确定无法确定 A 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 F A E DB 1、已知已知：如图，：如图，ABC中，中，C=90
17、，AD是是ABC的角平的角平 分线，分线，DEAB于于E，F在在AC上上,BD=DF. 求证求证：CF=EB. 证明：证明：AD平分平分CAB, DEAB，C90（已知）（已知）, CDDE ( (角平分线的性质角平分线的性质).). 在在RtCDF和和RtEDB中中, CD=ED（已证）（已证）, DF=DB （已知）（已知）, RtCDF RtEDB (HL). CF=EB（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）. C 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 2、如如图图, 直线直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路表示三条互相交叉的公路, 现要建一个现要建
18、一个 货物中转站货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有可选择的地址有 几处几处? 画出它的位置画出它的位置. l1 l3 l2 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 P1 P2 P3 P4 l1 l2 l3 课堂检测课堂检测 如图如图,ABC的三边的三边AB,BC,CA长分别是长分别是20,30,40,其三其三条角平分线条角平分线 将将ABC分为三个三角形分为三个三角形,则则S ABO SBCO SCAO等于 等于 ( ( ) ) A.1 1 1B.1 2 3 C.2 3 4D.3 4 5 C 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 课堂小结课堂小结 三角形内角平分三角形内角平分 线的性质线的性质 性质：三角形的性质：三角形的三条角平分线交于一点三条角平分线交于一点， 并且这一点到三条边的并且这一点到三条边的距离相等距离相等 应用：应用：位置位置的选择问题的选择问题. 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
