1、课后同步练习(六)直线与平面的夹角 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1在正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 AD 与平面 A1BC1所成角的正弦值为 () A1 2 B 3 2 C 3 3 D 6 3 C如图，以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x，y，z 轴 建立空间直角坐标系 设正方体的棱长为 1，则平面 A1BC1的一个法向量为 n(1， 1，1)，DA (1，0，0)， 设直线 AD 与平面 A1BC1所成角为， sin |cosn， DA | nDA |n|DA | 1 1 3 3 3 2OA，OB，OC 是由点 O 出发的三条射线，两两夹角为 60
2、，则 OC 与平面 OAB 所成角的余弦值为() A1 3 B 3 3 C1 2 D 3 2 B设 OC 与平面 OAB 所成的角为， 则 cos 60cos cos 30， cos 3 3 3如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，若该长方体的体积为 8 2，则直线 AC1与平面 BB1C1C 所成的角为() A30B45 C60D120 A在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，该长方体的体积为 8 2， 22AA18 2，解得 AA12 2， 以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， A(2，0，0)，C1(0，2，2
3、2)，AC1 (2，2，2 2)， 平面 BB1C1C 的一个法向量 n(0，1，0)， 设直线 AC1与平面 BB1C1C 所成的角为， sin |nAC1 | |n|AC1 | 1 2，30， 直线 AC1与平面 BB1C1C 所成的角为 30故选 A 4如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB3，E 为线段 AB 上 一点，且 AE1 3AB，则 DC 1与平面 D1EC 所成角的正弦值为() A3 35 35 B2 7 7 C 3 3 D 2 4 A以 D 为原点， DA ， DC ，DD1 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建 立空间直角坐标系(图略)
4、，则 C(0，3，0)，E(1，1，0)，D1(0，0，1)，C1(0，3， 1)，D(0，0，0)，所以DC1 (0，3，1)，D1E (1，1，1)，D1C (0，3，1)设 平面 D1EC 的法向量为 n(x，y，z)，则 D1E n0， D1C n0， 即 xyz0， 3yz0， 取 y 1，可得平面 D1EC 的一个法向量为 n(2，1，3)，所以 DC1与平面 D1EC 所成 角的正弦值为| nDC1 |n|DC1 | 6 14 10 3 35 35 故选 A 5如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为 2 的正 三角形，侧棱长为 3，则 AA1与平面 A
5、B1C1所成的角为() A 6 B 4 C 3 D 2 A以 C 为原点，在平面 ABC 中过 C 作 BC 的垂线为 x 轴，CB 为 y 轴，CC1 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A( 3，1，0)，A1( 3，1，3)，B1(0，2，3)，C1(0，0，3)， AA1 (0，0，3)，AB1 ( 3，1，3)，AC1 ( 3，1，3)， 设平面 AB1C1的法向量 n(x，y，z)， 则 nAB1 3xy3z0， nAC1 3xy3z0， 取 x 3，得 n( 3，0，1)， 设 AA1与平面 AB1C1所成的角为， 则 sin |AA1 n| |AA1 |n| 1 2， 6 A
6、A1与平面 AB1C1所成的角为 6故选 A 二、填空题 6等腰 RtABC 的斜边 AB 在平面内，若 AC 与成 30角，则斜边上的中 线 CM 与平面所成的角为_ 45作 CO，O 为垂足，连接 AO，MO，则CAO30，CMO 为 CM 与所成的角在 RtAOC 中，设 CO1，则 AC2在等腰 RtABC 中，由 AC 2 得 CM 2在 RtCMO 中，sinCMOCO CM 1 2 2 2 CMO45 7如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，平面 A1B1CD平面 ABCD，且四边 形 ABCD 和四边形 A1B1CD 都是正方形， 则直线 BD1与平面 A1B1CD 所成
7、角的正切 值是_ 2以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DA1为 z 轴，建立空间直角坐标 系，设 AB1，则 B(1，1，0)，D1(1，0，1)， BD1 (2，1，1)，平面 A1B1CD 的法向量 n(1，0，0)， 设直线 BD1与平面 A1B1CD 所成角为， 则 sin |BD1 n| |BD1 |n| 2 6， cos 1 2 6 2 2 6， 直线 BD1与平面 A1B1CD 所成角的正切值是 tan sin cos 2 8已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面 ABC 内的射 影为ABC 的中心，则 AB1与底面 ABC 所成角的正
8、弦值等于_ 2 3 如图，设 A1在平面 ABC 内的射影为 O，以 O 为坐标原点，OA，OA1分 别为 x 轴、 z 轴， 过 O 作 OA 的垂线为 y 轴，建立空间直角坐标系， 如图 设ABC 边长为 1，则 A 3 3 ，0，0 ， B1 3 2 ，1 2， 6 3 ， 所以AB1 5 3 6 ，1 2， 6 3 平面 ABC 的法向量 n(0，0，1)， 则 AB1与底面 ABC 所成角的正弦值为 sin |cosAB1 ，n| 6 3 75 36 1 4 6 9 2 3 三、解答题 9 如图， 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 是正方形， 侧棱 PD底面 ABCD， P
9、DDC，E，F 分别是 PC，AD 中点 (1)求证：DE平面 PFB； (2)求 PB 与平面 PCD 所成角的正切值 解(1)证明：取 PB 的中点 M，连接 EM，FM E，M 分别是 PC，PB 的中点， EMBC，EM1 2BC， 四边形 ABCD 是正方形， F 是 AD 的中点， DFBC，DF1 2BC， 四边形 DEMF 是平行四边形，DEFM， 又 DE平面 PFB，FM平面 PFB， DE平面 PFB (2)PD平面 ABCD，BC平面 ABCD， PDBC， 四边形 ABCD 是正方形， BCCD， 又 PD平面 PCD，CD平面 PCD，PDCDD， BC平面 PCD
10、 BPC 为直线 PB 与平面 PCD 所成的角， PDDCBC， PC 2CD 2BC， tanBPCBC PC 2 2 10在如图所示的多面体 ABCDE 中，ABDE，ABAD，ACD 是正三角 形，ADDE2AB2，EC2 2，F 是 CD 的中点 (1)求证：AF平面 BCE； (2)求直线 AD 与平面 BCE 所成角的正弦值 解(1)证明：以 A 为原点，在平面 ACD 中，过 A 作 AD 的垂线为 x 轴，AD 为 y 轴，AB 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A(0，0，0)，C( 3，1，0)， D(0，2，0)，F 3 2 ，3 2，0， B(0，0，1)，E(0
11、，2，2)， AF 3 2 ，3 2，0，BC ( 3，1，1)，BE (0，2，1)， 设平面 BCE 的法向量 n(x，y，z)， 则 nBC 3xyz0， nBE 2yz0， 取 y1，得 n( 3，1，2)， AF n0，AF平面 BCE， AF平面 BCE (2)AD (0，2，0)，平面 BCE 的法向量 n( 3，1，2)， 设直线 AD 与平面 BCE 所成角为， 则 sin |nAD | |n|AD | 2 2 8 2 4 直线 AD 与平面 BCE 所成角的正弦值为 2 4 1(多选题)已知四棱锥 PABCD 的四条侧棱都相等，底面是边长为 2 的正方 形，若其五个顶点都在
12、一个表面积为81 4 的球面上，则 PA 与底面 ABCD 所成角的 正弦值为() A2 3 B1 3 C2 2 3 D 5 3 BC由已知可得，四棱锥 PABCD 为正四棱锥， 正四棱锥外接球的表面积为81 4 ， 正四棱锥外接球的半径 R9 4 如图， 连接 AC，BD 交于 E，设球心为 O，连接 PO，BO， 则 E 在 PO(或其延长线)上，POBOR， BE1 2BD 1 22 2 2， 又 R9 4，OE R 2BE2 81 162 7 4 PEROE9 4 7 4 1 2或 PEROE 9 4 7 44 当 PE1 2时，PA 21 4 3 2， PA 与底面 ABCD 所成角
13、的正弦值为 1 2 3 2 1 3； 当 PE4 时，PA 1623 2， PA 与底面 ABCD 所成角的正弦值为 4 3 2 2 2 3 PA 与底面 ABCD 所成角的正弦值为1 3或 2 2 3 2在圆柱 OO1中，O 是上底面圆心，AB 是下底面圆的直径，点 C 在下底面 圆周上，若OAB 是正三角形，O1CAB，则 OC 与平面 OAB 所成角为() A150B30C45D60 B设 AB2a，则 OA2a，O1AO1BO1Ca， OO1 4a2a2 3a，OC 3a2a22a， CO1AB，CO1OO1，ABOO1O1， CO1平面 AOB， COO1是 OC 与平面 OAB 所
14、成角， sinCOO1CO1 CO 1 2，COO 130， OC 与平面 OAB 所成角为 30 3在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为 AB，BC 的中点，则直线 CD1 与 C1F 所成角的余弦值为_，直线 CD1与平面 A1C1FE 所成角的正弦值为 _ 10 5 2 6 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直 角坐标系， 设 AB2，则 C(0，2，0)，D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，E(2，1， 0)，F(1，2，0)， CD1 (0，2，2)，EF (1，1，0)，EA1 (0，1，2)，C1
15、F (1，0， 2)， cosCD1 ， C1F | CD1 C1F | |CD1 |C1F | 4 2222 1222 4 2 2 5 10 5 设平面 A1C1FE 的法向量 n(x，y，z)， 则 nEF xy0， nEA1 y2z0， 取 z1，得 n(2，2，1)， 设直线 CD1与平面 A1C1FE 所成角为， 则 sin |CD1 n| |CD1 |n| 2 8 9 2 6 直线 CD1与平面 A1C1FE 所成角的正弦值为 2 6 4在空间四边形 PABC 中，PA平面 ABC，ACBC，ACBC2，PA4， 则 PC 和平面 PAB 所成角的正切值为_ 1 3 取 AB 的中
16、点为 O，连接 CO，PO， PA平面 ABC，PAOC， ACBC，O 是 AB 的中点， ABOC， 又 PAABA， CO平面 PAB， 则CPO 为 PC 和平面 PAB 所成的角ACBC2，ACBC， AB2 2，CO1 2AB 2， PO PA2OA23 2， tanCPOCO OP 1 3， PC 和平面 PAB 所成角的正切值为1 3 已知几何体 EFGABCD，如图所示，其中四边形 ABCD、四边形 CDGF、四 边形 ADGE 均为正方形，且边长为 1，点 M 在棱 DG 上 (1)求证：BMEF (2)是否存在点 M，使得直线 MB 与平面 BEF 所成的角为 45？若存
17、在，确定 点 M 的位置；若不存在，请说明理由 解(1)证明：四边形 ABCD、四边形 CDGF、四边形 ADGE 均为正方形， GDDA，GDDC 又 DADCD，GD平面 ABCD 以点 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz， 则 B(1，1，0)，E(1，0，1)，F(0，1，1) 点 M 在棱 DG 上，故可设 M(0，0，t)(0t1) MB (1，1，t)，EF (1，1，0)， MB EF 0，BMEF (2)假设存在点 M，使得直线 MB 与平面 BEF 所成的角为 45 设平面 BEF 的法向量为 n(x，y，z)， BE (0，1，1)，BF (1，0，1)， nBE 0， nBF 0， yz0， xz0， 令 z1，得 xy1，n(1，1，1)为平面 BEF 的一个法向量， cosn， MB nMB |n|MB | 2t 3 2t2 直线 MB 与平面 BEF 所成的角为 45， sin 45|cosn， MB |，| 2t 3 2t2| 2 2 ， 解得 t43 2 又 0t1，t3 24，存在点 M(0，0，3 24) 当点 M 在 DG 上，且 DM3 24 时，直线 MB 与平面 BEF 所成的角为 45
