1、课后同步练习(四)空间中的点、直线与空 间向量 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1已知点 A(2，3，4)，B(1，2，1)，BC 3OA ，且 O 为坐标原点，则 C 点的 坐标为() A(6，8，9)B(6，9，12) C(7，11，13)D(7，11，13) C设 C(x，y，z)，则BC (x1，y2，z1)，OA (2，3，4)，3OA (6， 9，12)， 由BC 3OA ， 得 x16， y29， z112， x7， y11， z13， C(7，11，13) 2设直线 l1，l2的方向向量分别为 a(1，2，2)，b(2，3，m)，若 l1l2， 则实数 m 等于() A1
2、B2C3D4 B因为 l1l2，所以 ab，则 ab262m42m0，解得 m2， 故选 B 3一质点从(1，1，1)出发，做匀速直线运动，每秒的速度为 v(1，2，3)， 2 秒后质点所处的位置为() A(3，5，7)B(2，4，6) C(3，5，8)D(5，3，7) A2 秒后质点所处的位置为(1，1，1)2v(1，1，1)2(1，2，3)(3，5， 7)故选 A 4设向量 a(2，2，0)，b cos ，1 2，1，(0180)，若 ab，则 角() A30B60C120D150 B向量 a(2，2，0)，b cos ，1 2，1，(0180)，ab， ab2cos 10，cos 1 2
3、， 0180， 60故选 B 5在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 是底面 ABCD 的中心，E，F 分别是 CC1，AD 的中点，那么异面直线 OE 和 FD1所成的角的余弦值等于() A 15 5 B 10 5 C4 5 D2 3 A以 D 为坐标原点， DA ， DC ，DD1 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空 间直角坐标系，则 F(1，0，0)，D1(0，0，2)，O(1，1，0)，E(0，2，1)，则OE ( 1，1，1)，FD1 (1，0，2)， |OE | 3，|FD1 | 5，OE FD1 3， cosOE ， FD1 OE，FD1 |OE |F
4、D1 | 3 3 5 15 5 二、填空题 6已知点 A(1，1，4)，B(2，4，2)，C 为线段 AB 上的一点，且AC 1 2AB ， 则 C 点坐标为_ 3 2， 3 2，1设 C(x，y，z)，AC (x1，y1，z4)，AB (1，5，6)， 由AC 1 2AB 得 x11 2， y15 2， z43， x3 2， y3 2， z1. C 3 2， 3 2，1 7已知 A(0，y，3)，B(1，2，z)，若直线 l 的方向向量 v(2，1，3)与直 线 AB 的方向向量平行，则实数 yz 等于_ 0由题意，得AB (1，2y，z3)，则1 2 2y 1 z3 3 ，解得 y 3 2
5、，z 3 2，所以 yz0 8长方体 ABCDA1B1C1D1的底面是边长为 1 的正方形，高为 2，M，N 分别 是四边形 BB1C1C 和正方形 A1B1C1D1的中心，则向量BM 与DN 的夹角的余弦值是 _ 7 10 30 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐 标系，则 B(1，1，0)，M 1 2，1，1， D(0，0，0)，N 1 2， 1 2，2， BM 1 2，0，1，DN 1 2， 1 2，2， 设向量BM 与DN 的夹角为， 则 cos BM，DN |BM |DN | 7 4 5 4 18 4 7 10 30 故向量BM 与D
6、N 的夹角的余弦值为7 10 30 三、解答题 9如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是 C1C，B1C1的中点 求证：MN平面 A1BD 证明如图，以 D 为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1， 可求得 M 0，1，1 2 ，N 1 2，1，1， D(0，0，0)，A1(1，0，1)， 于是MN 1 2，0， 1 2 ， DA1 (1，0，1) 所以DA1 2MN ，DA1 MN ， DA1MN 而 MN平面 A1BD，DA1平面 A1BD， MN平面 A1BD 10如图，在直三棱柱 ABCA1B1C
7、1的底面ABC 中，CACB1，BCA 90，棱 AA12，M 是 A1B1的中点 (1)求 cosBA1 ， CB1 的值； (2)求证：A1BC1M 解(1)以 C 为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间 直角坐标系， 则 A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)， BA1 (1，1，2)， CB1 (0，1，2)， cosBA1 ， CB1 BA1，CB1 |BA1 |CB1 | 3 6 5 30 10 (2)证明：A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C1(0，0，2)，M 1 2， 1 2，2，A1B (1， 1，2)，C
8、1M 1 2， 1 2，0， A1B C1M 0， A1BC1M 1(多选题)已知空间向量 a，b，ab，a(1，3，5)，则 b 的坐标可以是() A(5，0，1)B 2，3，7 5 C(5，3，1)D(8，1，1) ABDa(1，3，5)，ab，ab0 在 A 中，ab(1，3，5)(5，0，1)15305(1)0，A 正确 在 B 中，ab(1，3，5) 2，3，7 5 1(2)335 7 5 0，B 正确 在 C 中，ab(1，3，5)(5，3，1)153(3)5(1)90， C 错误 在 D 中，ab(1，3，5)(8，1，1)183(1)5(1)0，D 正确 2在正方体 ABCDA
9、1B1C1D1中，动点 M 在线段 A1C 上(包括 A1，C 两端点)， E，F 分别为 DD1，AD 的中点若异面直线 EF 与 BM 所成的角为，则的取值范 围为() A 6， 3B 4， 3 C 6， 2D 4， 2 A以 D 为坐标原点， DA ， DC ，DD1 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向， 建立空间直角坐标系(图略)，设 DA2，则 F(1，0，0)，E(0，0，1)，B(2，2，0)， C(0，2，0)，A1(2，0，2)，所以EF (1，0，1)，BC (2，0，0)，CA1 (2， 2，2)设CM CA1 (01)，则CM (2，2，2)，BM BC CM
10、 (22， 2，2)，则 cos |cosBM ， EF | ，即 cos 2 2 22282 1 2 3221 1 23 1 3 2 2 3 (01)， 当1 3时， cos 取到最大值 3 2 ， 当1 时，cos 取到最小值1 2又 0， 2 ，所以的取值范围为 6， 3 ，故选 A 3 如图， 在长方体 ABCDA1B1C1D1中， 设 ADAA11， AB2， 则|CC1 BD1 | _，CC1 CA1 _ 51以 D 为原点建立空间直角坐标系如图所示，则 C(0，2，0)，C1(0，2， 1)，B(1，2，0)，D1(0，0，1)，A1(1，0，1) 所以CC1 (0，0，1)，B
11、D1 (1，2，1)，CA1 (1，2，1)，所以|CC1 BD1 | |(1，2，0)| 140 5， CC1 CA1 (0，0，1)(1，2，1)1 4 如图， 在四棱锥 AEFCB 中， AEF 为等边三角形， 平面 AEF平面 EFCB， EFBC，BC4，EF2a，EBCFCB60，O 为 EF 的中点若 BE平面 AOC，则 a 的值为_ 4 3 因为AEF 是等边三角形，O 为 EF 的中点，所以 AOEF 又平面 AEF平面 EFCB，AO平面 AEF，所以 AO平面 EFCB 取 BC 的中点 G，连接 OG由题设知 EFCB 是等腰梯形，0a2， 所以 OGEF，则 OA，
12、OG，OE 两两垂直 以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示 则 O(0，0，0)，E(a，0，0)，B(2， 3(2a)，0)，C(2， 3(2a)，0)， BE (a2， 3(a2)，0)，OC (2， 3(2a)，0) 因为 BE平面 AOC，所以 BEOC，即BE OC 0 所以BE OC 2(a2)3(a2)20，解得 a4 3(a2 舍去) 如图所示，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1的底面为正方形，O1，O 分别为 上、下底面的中心，且 A1O平面 ABCD (1)求证：CO1平面 ABCD； (2)若点 E， F 分别在棱 AA1， BC 上， 且 AE2EA1
13、， 问点 F 在何处时， EFAD? 解(1)O 为下底面中心，底面 ABCD 为正方形，且 A1O平面 ABCD， 以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设底面正方形的边长为 a， OA1h，则 A 2 2 a，0，0 ，A1(0，0，h)，C 2 2 a，0，0 ，B 0， 2 2 a，0 ， O1 2 2 a，0，h ，CO1 (0，0，h)，OA 2 2 a，0，0 ，OB 0， 2 2 a，0 CO1 OA 0， CO1 OB 0， CO1OA， CO1OB又 OAOBO， CO1 平面 ABCD (2)由(1)及 AE2EA1，得 E 2 6 a，0，2 3h，D 0， 2 2 a，0 设BF BC (01)，则 F 2 2 a， 2 2 a 2 2 a，0 ， EF 2 2 a 2 6 a， 2 2 a 2 2 a，2 3h， AD 2 2 a， 2 2 a，0 由 EFAD，得EF AD 0， 即1 2a 21 6a 21 2a 21 2a 200， 1 30， 1 3， BF1 3BC， 即点 F 在 BC 靠近点 B 的三等分点处时，EFAD
