1、山东省济宁市兖州区 2020-2021 学年高二下学期期中考试 一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1.函数 yf(x)3x1 在点 x2 处的瞬时变化率估计是 A.2B.3C.4D.5 2.正方体的 8 个顶点可以确定的不同的有向线段的个数是 A.64B.56C.512D.16 3.设随机变量服从正态分布 N(0，1)，若 P(1)p，则 P(10，t0)在点 M( 4 t ，2)处的切线与曲线 C2：ye11 也相切，则 t 的值为 A.4e2B.4eC. 2 4 e D. 4 e 二、选择题(本题共 4 小题
2、，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有错选的得 0 分) 9.某学校在调查学生在一周生活方面的支出情况，抽取了一个容量为 n 的样本，其频率分布 直方图如图所示，其中支出在50，60)元的学生有 60 人，则下列说法正确的是 A.样本中支出在50，60)元的频率为 0.03 B.样本中支出不少于 40 元的人数为 132 C.样本容量 n 的值为 200 D.若该校由 2000 名学生，则一定有 600 人支出在50，60)元 10.给出定义：若函数 f(x)在 D 上可导，即 f(x)存在，且导函数 f(x)
3、在 D 上也可导，则称 f(x) 在 D 上存在二阶导函数，记 f(x)(f(x)，若 f(x)0)。问 OE 为多少米 时，桥墩 CD 与 EF 的总造价最低？ 20.(12 分)甲，乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比 赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负 者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人 被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束。经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空。设每场比赛双方 获胜的概率都为 1 2 。 (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求
4、丙最终获胜的概率。 21.(12 分)某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件， 在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元。在机器使用期间，如果备件 不足再购买，则每个 500 元。现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并 整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率， 记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数， n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数。 (1)求 X 的分布列； (2)若要求 P(
5、Xn)0.5，确定 n 的最小值； (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n19 与 n20 之中选其一，应选用 哪个？ 22.(12 分)已知函数 f(x)ae2X(a2)exx。 (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围。 参考答案 一.1-12、BBDC5.AACA二.9.BC10.ABC11.ABC 12.ACD 三.13. 3 1 14.615. 6 )116( 2 nnn 16. 3 3 2 三.17.解:（1） ln1yx=+ -5 分 （2） 01 yx -10 分 18.解:(1)Tk+1=()8-k=2-k，-4 分 令
6、 4- k=1 得 k=4， 所以含 x 的项为 T5=2-4x=x.-8 分 (2)令 4- kZ， 且 0k8， 则 k=0 或 k=4 或 k=8， 所以展开式中的有理项分别为 T1=x4， T5=x， T9=.-12 分 19.【解】 （1）由题意得 23 11 |406 40 | 80 40800 O AO A | | 8040120ABO AO B米-4 分 （2）设总造价为 ( )f x万元， 2 1 |80160 40 O O，设|O Ex ， 32 131 ( )(1606 )160(80) ,(040) 800240 f xkxxkxx-8 分 322 1336 ( )(1
7、60),( )()020 8008080080 f xkxxfxkxxx (0 舍去) 当020 x时，( )0fx ；当2040 x时，( )0fx ，因此当20 x=时， ( )f x取 最小值， 答：当20OE米时，桥墩 CD 与 EF 的总造价最低 . -12 分 20.【解】 （1）记事件:M甲连胜四场，则 4 11 216 P M ；-4 分 （2）记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输， 则四局内结束比赛的概率为 4 11 4 24 PP ABABP ACACP BCBCP BABA ， 所以，需要进行第五场比赛的概率为 3 1 4 P P ； -8 分 （3）记事件A为甲输
8、，事件B为乙输，事件C为丙输， 记事件:M甲赢，记事件:N丙赢， 则甲赢的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、 BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC， 所以，甲赢的概率为 45 119 7 2232 P M . -10 分 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 所以丙赢的概率为 97 1 2 3216 P N .-12 分 21.【解】(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8,9,10,11 的概率分别为 0.2，0.4,0.2,0.2，X 的可能取值为 16,17,18,19,20,21,22，从而 P(X16)0.
9、20.20.04； P(X17)20.20.40.16； P(X18)20.20.20.40.40.24； P(X19)20.20.220.40.20.24； P(X20)20.20.40.20.20.2； P(X21)20.20.20.08； P(X22)0.20.20.04； 所以 X 的分布列为 X16171819202122 P0.040.160.240.240.20.080.04 -4 分 由(1)知 P(X18)0.44，P(X19)0.68，故 n 的最小值为 19. -6 分 (3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元) 当 n19 时，E(Y)1920
10、00.68(19200500)0.2(192002500)0.08(19200 3500)0.044 040(元)-9 分 当 n20 时， E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 080(元) 可知当 n19 时所需费用的期望值小于 n20 时所需费用的期望值，故应选 n19. -12 分 22.【解】 （1）( )f x的定义域为(,) ， 2 ( )2(2)1(1)(21) xxxx fxaeaeaee ，-1 分 （）若 0a ，则 ( )0fx ，所以 ( )f x 在( ,) 单调递减 -3 分 （）若0a ，则由( )0fx得lnx
11、a 当(, ln )xa 时，( )0fx； 当( ln ,)xa 时，( )0fx 所以 ( )f x 在( , ln )a 单调递减，在( ln , )a 单调递增 -5 分 （2）解法一 （）若 0a ，由（1）知， ( )f x 至多有一个零点-6 分 （）若0a ，由（1）知，当lnxa 时，( )f x取得最小值，最小值为 1 ( ln )1lnfaa a -7 分 1a 时，由于( ln )0fa，故( )f x只有一个零点；-8 分 当(1,)a时，由于 1 1ln0a a ，即( ln )0fa，故( )f x没有零点-9 分 当(0,1)a时， 1 1ln0a a ，即(
12、ln )0fa 又 422 ( 2)e(2)e22e20faa ， 故( )f x在(,ln )a 有一个零点 设正整数 0 n满足 0 3 ln(1)n a ， 则 0000 0000 ()e ( e2)e20 nnnn f naannn 由于 3 ln(1)lna a ，因此( )f x在( ln ,)a有一个零点 综上，a的取值范围为(0,1)-12 分 解法二： 函数)(xf有两个零点方程0)2()( 2 xeaaexf xx 有两个根 方程 xx x ee xe a 2 2 有两个根函数ay 的图像与函数 xx x ee xe y 2 2 的图像有两个交点. -7 分 22 )( )
13、1)(12( )( xx xxx ee exee xg ， 令 x exxh1)(,01)( x exh,所以)(xh在),(单调递减. -9 分 又0)0(h，所以当)0 ,(x时，0)( xg；当), 0( x时，0)( xg， 所以)(xg在)0 ,(单调递增，在), 0( 单调递减. 所以1)0()( gxg. 又当x时，)(xg；当x时,0)(xg. 所以a的取值范围为) 1 , 0(.-12 分 解法三： 函数)(xf有两个零点方程0)2()( 2 xeaaexf xx 有两个根， 设 x et ，则txln， 方程0ln)2( 2 ttaat有两个根方程 t t ta ln 2)
14、 1(有两个根 函数2) 1(xay的图像与 函数 x x xg ln )(的图像有两个交点. -7 分 2 ln1 )( x x xg ，当), 0(ex时0)( xg，当),( ex时，0)( xg， )(xg在), 0(e上单调递增，在),( e上单调递减 e egxg 1 )()(.又当0 x时，)(xg；当x时，0)(xg. 作出 x x xg ln )(的图像. -10 设直线2) 1(xay与 x x xg ln )(的图像切于点) ln ,( 0 0 0 x x x, 则有 2 0 0 0 0 0 ln1 2) 1( ln x x a xa x x ,解得1a， 由图像可知，a
15、的取值范围为) 1 , 0(.-12 分 解法四： 因为( )f x有两个零点，结合第一问的结论，可得0a . 又因为 2 ( )(2) xx f xaeaex 且当 0a 时， ( )f x在(, ln )a 单调递减，在( ln ,)a单调递增 所以，当x时，)(xf 当x时，)(xf-7 分 所以要使( )f x有两个零点，只需0)ln(af-8 分 即0ln)2()ln( lnln2 aeaaeaf aa ，化简得，0ln 1 1a a -9 分 0,ln 1 1)(aa a ag令 所以0 11 )( 2 aa ag 所以)(ag在), 0( 上单调递增-10 分 又因为01ln 1 1 1) 1 (g-11 分 所以当10 a时，0ln 1 1a a 所以a的取值范围为(0,1) . -12 分
