1、数学试题 第1页（共4页） 绝密启用前 2021 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上，写在本试卷上无效。 3 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1设集合 | 24Axx= ，2,3, 4,5B =，则AB =I A2 B2,3 C3, 4 D2
2、,3, 4 2已知2iz =，则(i)z z += A62i B42i C62i+ D42i+ 3已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 A2 B2 2 C4 D4 2 4下列区间中，函数 ( )7sin() 6 f xx=单调递增的区间是 A (0,) 2 B (, ) 2 C 3 (,) 2 D 3 (, 2) 2 5已知 1 F， 2 F是椭圆 22 1 94 xy C+=：的两个焦点，点M在C上，则 12 | |MFMF的最 大值为 A13 B12 C9 D6 6若tan2 = ，则 sin (1sin2 ) sincos + = + A 6 5 B 2 5
3、 C 2 5 D 6 5 数学试题 第2页（共4页） 7若过点( , )a b可以作曲线exy =的两条切线，则 Aeba Beab C0eba D0eab：的焦点为F，P为C上一点，PF与 x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQOP若|6FQ =，则C的准线方程为 _ 15函数( )|21| 2lnf xxx=的最小值为_ 16某校学生在研究民间剪纸艺术时， 发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折 规 格为20 dm 12 dm的长方形纸， 对折 1 次共可以得到10 dm 12 dm，20 dm6 dm两 种规格的图形，它们的面积之和 2 1 240 dmS =，对折 2 次共可以得到5dm
4、12 dm， 10 dm6 dm，20 dm3dm三种规格的图形，它们的面积之和 2 2 180 dmS =，以此 类推则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为_；如果对折n次，那 么 1 n k k S = = _ 2 dm 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分） 已知数列 n a满足 1 1a =， 1 1, 2, n n n an a an + + = + 为奇数 为偶数. （1）记 2nn ba=，写出 1 b， 2 b，并求数列 n b的通项公式； （2）求 n a的前 20 项和 18 （12 分） 某学校组织“
5、一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题每位参加比赛的同学先在 两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若 回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛 结束A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分；B 类问题中的每个问题 回答正确得 80 分，否则得 0 分。 已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.6， 且能正确回答问题的概率与回答次序无关 （1）若小明先回答 A 类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题
6、？并说明理由 数学试题 第4页（共4页） 19 （12 分） 记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知 2 bac=，点D在边AC 上，sinsinBDABCaC= （1）证明：BDb=； （2）若2ADDC=，求cosABC 20 （12 分） 如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD 平面 BCD，ABAD=，O为BC的中点 （1）证明：OACD； （2）若OCD是边长为1 的等边三角形， 点E在 棱AD上，2DEEA=，且二面角EBCD的大小为 45，求三棱锥ABCD的体积 21 （12 分） 在 平 面 直 角 坐 标 系xOy中 ， 已 知 点 1( 17, 0)F ， 2(
7、17, 0) F， 点M满 足 12 |2MFMF=记M的轨迹为C （1）求C的方程； （2）设点T在直线 1 2 x =上， 过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点， 且| | |TATBTPTQ=，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和 22 （12 分） 已知函数( )(1ln )f xxx= （1）讨论( )f x的单调性； （2）设a，b为两个不相等的正数，且lnlnbaabab=，证明： 11 2e ab + A E B O D C 绝密启用前 试卷类型：B 2021 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分
8、钟。 注意事项：注意事项：1 答卷前， 考生务必将自己的姓名、考生号、 考场号和座位号填写在答题卡上。 用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题 卡右上角“条形码粘贴处” 。 2 作答选择题时， 选出每小题答案后， 用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答 案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在 试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目 指定区域内相应位置上； 如需改动， 先划掉原来的答案， 然后再写上新答案； 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后
9、，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1设集合| 24Axx= ，2,3,4,5B =，则AB =（ ） A 2 B2,3 C3,4 D2,3,4 【答案】B 2已知2iz =，则 () iz z +=（ ） A62i B42i C62i+ D42i+ 【答案】C 3已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A2 B2 2 C4 D4 2 【答案】B 4下列区间中，函
10、数( )7sin 6 f xx = 单调递增的区间是（ ） A0 2 ， B, 2 C 3 , 2 D 3 ,2 2 【答案】A 5已知 1 F， 2 F是椭圆C： 22 1 94 xy +=的两个焦点，点M在C上，则 12 MFMF的最大值为 （ ） A13 B12 C9 D6 【答案】C 6若tan2= ，则 ()sin1sin2 sincos + = + （ ） A 6 5 B 2 5 C 2 5 D 6 5 【答案】C 7若过点(), a b可以作曲线 x ye=的两条切线，则（ ） A b ea B a eb C0 b ae D0 a be的焦点为F,P为C上一点，PF与x轴 垂直，
11、Q为x轴上一点，且PQOP若6FQ =，则C的准线方程为 【答案】 3 2 x = 15函数( )212lnf xxx=的最小值为 【答案】1 16某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折规格 为20 dm 12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm 12 dm，20 dm6 dm两种规 格的图形，它们的面积之和 2 1 240 dmS =，对折2次共可以得到5 dm 12 dm， 10 dm6 dm，20 dm3 dm三种规格的图形，它们的面积之和 2 2 180 dmS =，以此类 推则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折n次，那么 1
12、n k k S = = 2 dm 【答案】5， 3 720240 2n n + 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分） 已知数列 n a满足 1 1a =， 1 1 2 n n n an a an + + = + 为奇数 为偶数 （1）记 2nn ba=，写出 1 b， 2 b，并求数列 n b的通项公式； （2）求 n a的前20项和 【答案】 （1）2n为偶数， 则 212 2 nn aa + =+， 2221 1 nn aa + =+， 222 3 nn a
13、a + =+，即 1 3 nn bb + =+，且 121 12baa=+ =， n b是以2为首项，3 为公差的等差数列， 1 2b=， 2 5b =，31 n bn= （2）当n为奇数时， 1 1 nn aa + =， n a的前20项和为 1220 aaa+ ()() 13192420 aaaaaa=+ ()()()() 24202420 111aaaaaa=+ () 2420 210aaa=+ 由（1）可知， 24201210 aaabbb+=+ 109 2 103 2 =+ 155= n a的前20项和为2 15510300= 18 （12 分） 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A
14、，B两类问题每位参加比赛的同学先在两类 问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答 正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结 束A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答 正确得80分，否则得0分 已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8， 能正确回答B类问题的概率为0.6， 且能正 确回答问题的概率与回答次序无关 （1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由 【答案】 （1）X的取值可能为0，20，100，
15、 ()010.80.2P X = =， ()()200.810.60.32P X =， ()1000.80.60.48P X =， X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 （2）假设先答B类题，得分为Y， 则Y可能为0，80，100， ()010.60.4P Y = =， ()()800.610.80.12P Y =， ()1000.60.80.48P Y =， Y的分布列为 Y 0 80 100 P 0.4 0.12 0.48 ( )00.4800.121000.4857.6E Y=+=， 由（1）可知()00.2200.321000.4854.4E X =+=，
16、 ( )()E YE X， 应先答B类题 19 （12 分） 记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知 2 bac=，点D在边AC上， sinsinBDABCaC= （1）证明：BDb=； （2）若2ADDC=，求cosABC 【答案】 （1）在ABC中， sinsin ACAB ABCC = ， sinsinBDABCaC=， sinsin BDa CABC = ， 联立得 ABAC BDa =，即acb BD=， 2 bac=， BDb= （2）若2ADDC=， ABC中， 222 cos 2 abc C a b + = ， BCD中， 2 22 3 cos 2 3 b ab C
17、 b a + = ， =， () 2 22222 3 3 b abcab +=+ ， 整理得 2 22222 33 3 b abcab+=+， 222 11 20 3 abc+=， 2 bac=， 22 61130aacc+=，即 3 c a =或 3 2 ac=， 若 3 c a =时， 2 2 3 c bac=， 则 222 cos 2 acb ABC a c + = 22 2 2 93 2 3 cc c c + = 2 2 7 9 2 3 c c = 7 6 =（舍） ， 若 3 2 ac=， 22 3 2 bacc=， 则 222 cos 2 acb ABC a c + = 222 2
18、 93 42 3 ccc c + = 2 2 7 4 3 c c = 7 12 =. 20 （12 分） 如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD 平面BCD，ABAD=，O是BD的中点 （1）证明：OACD； （2）若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，2DEEA=，且二面角 EBCD的大小为45，求三棱锥ABCD的体积 【答案】 （1）ABAD=，O为BD中点， AOBD， AO 面ABD， 面ABD 面BCD且面ABD面BCDBD=， AO面BCD， AOCD （2）以O为坐标原点，OD为y轴，OA为z轴，垂直OD且过O的直线为x轴， 设 3 1 ,0 22 C ，()0,1,0D
19、，()0, 1,0B，()0,0,Am， 1 2 0, , 3 3 Em , 42 = 0, 33 EBm ， 3 3 ,0 22 BC = ， 设() 1111 ,nx y z= 为面EBC法向量， 111 111 42 0 33 33 0 22 EB nymz BC nxy = = =+= ， 11 11 20 30 ymz xy += += ， 令 1 1y =， 1 2 z m = ， 1 3x = ， 1 2 31n m = ， ， 面BCD法向量为()0,0,OAm= ， 1 2 22 cos, 24 4 n OA m m = + ，解得1m =， 1OA=， 11 2 11 22
20、 ABD SBDOA= = ， 13 36 A BCDABDc VSx = 21 （12 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知点 () 1 17,0F ， () 2 17,0F，点M满足 12 2MFMF=记M的轨迹为C （1）求C的方程； （2）设点T在直线 1 2 x =上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点， 且TA TBTPTQ=，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和 【答案】 （1） 12 2MFMF=， 轨迹C为双曲线右半支， 2 17c =，22a =， 2 1a=， 2 16b =， () 2 2 10 16 y xx= （2）设 1 , 2 Tn ， 设AB： 1
21、 1 2 ynkx = ， 联立 1 2 2 1 2 1 16 ynkx y x = = ， ()() 22222 11111 1 162160 4 kxkk n xknk n+=， 2 11 12 2 1 2 16 kk n xx k += ， 22 11 12 2 1 1 16 4 16 knk n xx k + += ， 2 11 1 1 2 TAkx =+ ， 2 12 1 1 2 TBkx =+ ， () 2 112 11 1 22 TATBkxx =+ ()() 22 1 2 1 12 1 16 nk k + = ， 设PQ： 2 1 2 ynkx = ， 同理 ()() 22 2
22、 2 2 12 1 16 nk TPTQ k + = ， TA TBTPTQ=， 22 12 22 12 11 1616 kk kk + = ， 22 12 1717 11 1616kk += + ， 22 12 1616kk=，即 22 12 kk=， 12 kk， 12 0kk+=. 22 （12 分） 已知函数( )()1lnf xxx= （1）讨论( )f x的单调性； （2）设a，b为两个不相等的正数，且lnlnbaabab=，证明： 11 2e ab + ()( )( )1,0,xfxf x+ 先证 12 2xx 即证()( )() 211 2f xf xfx= 恒成立，( )h x ( )( ) ()() 11 10 2 h xh f xfx = 12 2xx+得证 同理，要证 12 xxe+ 即证()()() 211 f xf xf ex= ()( )( ) 0,1 , 0,xxxx，( )0f x ，且( )0f e = 故0 x ，( )00， ( )( )()1 =110ff e ( )0 x恒成立 12 xxe+得证 11 2e ab +
