1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷） 数学 本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在 答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴 在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 28 铅笔在答题卡上对应题目选项 的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不 能答在试卷上， 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目 指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，
2、然后再写上新答案：不 准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，总共 60 分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知全集 U=1,2,3,4,5,集合 M=1,2,N=3,4,则 Cu（MUN）= A.5 B.1,2 C.3,4 D.1,2,3,4 2.设 iz=4+3i，则 z 等于 A.-3-4i B.-3+4i C.3-4i D.3+4i 3.已知命题 p：xR，sinx1，命题 q:xR，e|x|1，则下列命题中为真命题 的是 A.pq B
3、.pq C.p q D.(pq) 4.函数 f（x）=sin? ?+cos ? ?的最小正周期和最大值分别是 A.3和 ? B.3和 2 C.6和 ? D.6和 2 5.若 x，y 满足约束条件 ? t h ? ? ? t h ? ? h ? ? ,则 z=3x+y 的最小值为 A.18 B.10 C.6 D.4 6.cos? ? ? t cos? ? ? ? A.? ? B. ? ? C. ? ? D. ? ? 7.在区间(0,? ?)随机取 1 个数，则取到的数小于 ? ?的概率为 A. ? ? B. ? ? C. ? ? D. ? 6 8.下列函数中最小值为 4 的是 A.y ? ?t
4、?t ? B.y ? sin? t ? sin? C.y ? ?t ?t? D.y ? ln? t ? ln? 9.设函数 f x ? ?t? ?t?，则下列函数中为奇函数的是 A. f x ? ? B. f x ? t ? C. f x t ? ? D. f x t ? t ? 10.在正方体ABCD-A1B1C1D1，P为B1D1的重点，则直线PB与AD1所成的角 为 A.? ? B. ? ? C. ? ? D. ? 6 11.设 B 是椭圆 C：? ? ? t h? ? 的上顶点，点 P 在 C 上，则|PB|的最大值为 A.? ? B. 6 C.? D.2 12.设 a 0,若 x ?
5、 a 为函数 f(x)=a?t ?t ?的极大值点，则 A.ab C.ab? 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.已知向量 a=(2,5),b=(,4)，若? ?/? ?，则=_. 14.双曲线? ? ? t h? ? ? ? 的右焦点到直线 x+2y-8=0 的距离为_. 15.记ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 面积为 ?， B=60， ?t ? ?，则 b=_. 16.以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某 个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要 求的一组答案即可）。 三、解答题 （一）
6、必考题 17.（12 分） 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有 无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指 标数据如下： 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别为? ?和h ?,样本方差分 别记为? ?和? ? ?. （1）求? ?，h ?，? ?，? ? ? （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果） h ? t ? ? ? ? ? ?t? ? ? ?0 ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提 高，否则不认为有显著提高）. 18. （12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 的
7、底面是矩形，PD底面 ABCD，M 为 BC 的中点，且 PBAM. （1） 证明：平面 PAM平面 PBD； （2） 若 PD=DC=1，求四棱锥 P-ADCD 的体积. 19.(12 分) 设 ?是首项为 1 的等比数列，数列 ?满足? ? ? ，已知?，3?，9?成等 差数列. (1)求 ?和 ?的通项公式； (2)记?和?分别为 ?和 ?的前 n 项和.证明：?0)的焦点 F 到准线的距离为 2. (1) 求 C 的方程. (2) 已知 O 为坐标原点，点 P 在 C 上，点 Q 满足?t ? ? ? ?tt ? ?，求直线 OQ 斜率的 最大值. 21.（12 分） 已知函数 ? ?
8、 ? ?t ?t ?t ?. （1）讨论 ? ? 的单调性； （2）求曲线 h ? ? ? 过坐标原点的切线与曲线 h ? ? ? 的公共点的坐标. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做， 则按所做的第一题计分。 22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系 ?th 中，? ? 的圆心为 ? ? ，半径为 1. （1）写出? ? 的一个参数方程。 （2）过点 t ? 作? ? 的两条切线，以坐标原点为极点，? 轴正半轴为极 轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程。 23.选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数 ? ? ? ?
9、 t ? t ? t ? . （1）当 ? ? ? 时，求不等式 ? ? ? 6 的解集； （2）若 ? ? ?t ?，求 ? 的取值范围. 答案： 112ACACCDBCBDAD 13. 5 8 14.5 15.22 16. 17. （1） =（9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7）=10 =（10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5）=10.3 =（0.04+0.09+0+0.04+0.01+0.04+0+0.01+0.04+0.09）=0.036 =（0.04+0.01+0.0
10、4+0.09+0.04+0+0.09+0.04+0.01+0.04）=0.04 （2）=0.3= = 9-40.76=9-3.040 故认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著 18.（1）四棱锥 P-ABCD 中，PD底面 ABCD PDAM 由已知：PBAMPDPB=P AM平面 PBD AM平面 PAM 平面 PAM平面 PBD （2） 已知底面 ABCD 为矩形，且 PD底面 ABCD 以 D 为原点，DA，DC，DP 为 x，y，z 建立空间直角坐标系 由 PD=DC=1 设 P（0,0,1）C(0,1,0) A(m,0,0) B(m,1,0) M ( ,1,0) 则=（-1
11、,0），=（m1,0） 由 =0 即+1=0 m= =DP= 19.解（1）为等比数列，则=1， 由，3，9成等差数列 6q=1+9，即 q= 由 （2）是等比数列 则=,则 由于 = 相减得 =- = 作差：=- ，成立 20.（1）p=2， (2)=9，设 P（）,则. -=9()得出 10=9+得出 10=(9,0)+() = 当0 时，2=3（当且仅当时取等） 当0 时， 当=6 时，有最大值为 . 当 P 点坐标为（9,6）时，直线 OQ 的斜率的最大值为 . 21. (1), 当 a 时，0 恒成立，在 R 上单调递增。 当 a 时，=0，得出 x= 在()上为正 在（）上为负，在
12、处为 0 所以在区间()上单调递增 在区间（）上单调递减 综上，当 a 时，单调递增区间为（）， 当 a 时，单调递增区间为()， 单调递增区间为（）. (2)设切点（）,则+a k=()=3-2+a f(x)过原点 =3-2+a +a=+a 2 ()（2）=0 ，=a+1 即切点（1，a+1）,k=a+1,切线 y=(a+1) 解得：(x+1)=0 f(-1)=-1-a , f(1)=a+1 公共点（-1，-1-a）,(1,1+a) 22. (选修 4-4) (1).QC 中，C(2,1),r=1，设圆心角为 参数方程为，为参数 (2).在直角坐标系内,F(4,1)，C(2,1) CF 所在直线为 y=1.过 F 做 QC 的切线，倾斜角为 30o 或 150o，斜率 k=或， 切线方程为 y-1=（x-4） 在相应的极坐标系中，则, 化简得或 (选修 4-5) (1).f(x)=|x-a|+|x+3|,当 a=1 时，f(x)=|x-1|+|x+3|6 由,由图知 不等式的解集为( (2)若 f(x)-a f(x)=|x-a|+|x+3|x-a-x-3|=|a+3 当 x+3=0 且(x-a)(x+3)0 时 即 x=-3 时，取“=”成立，则 f(x)min=|a+3 ,恒有 f(x)-a 恒成立 所以|a+3|-a 即或,解得 a a 的取值范围是
