1、第三模块导数及其应用 第十四讲导数的概念及其运算 回归课本 1.导数的概念 (1)f(x)在x=x 处的导数 0 函数y=f(x)在x=x 处的瞬时变化率是 0 f (x x) f (x ) x y lim 00 lim , x x0 x0 称其为函数y=f(x)在x=x 处的导数,记作f(x )或y| , 00 x=x0 即f(x ) 0 f (x x) f (x ) lim 00 x x0 (2)导函数 当x变化时,f(x)称为f(x)的导函数,则f(x)=y = f (x x) f (x) lim. x x0 注意:导数是研究在x=x 处及其附近函数的改变量y与自变 0 量的改变量x之比
2、的极限,它是一个局部性的概念. y 若 lim 存在 x x0 则函数y=f(x)在x=x 处就有导数,否则就没有导数. 0 2.导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x 处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点 0 P(x ,y )处的切线的斜率,过点P的切线方程为:y- 0 0 y =f(x )(x-x ). 000 3.几种常用函数的导数 (1)c=0(c为常数); (2)(xn)=nxn-1(nN); (3)(sinx)=cosx; (4)(cosx)=-sinx; (5)(ex)=ex; (6)(ax)=axlna; 1 7 (lnx) ; x 1 8 (logax) . xln
3、a 4.导数运算法则 (1)f(x)g(x)=f(x)g(x); (2)f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x); f (x) f (x)g(x) f (x)g (x) (3)(g(x) 0). g(x) g(x)2 注意:关于导数的加减法则,可推广到有限多个情况,如 f(x)+g(x)+h(x)=f(x)+g(x)+h(x)等. 5.复合函数的导数 设函数u=(x)在点x处有导数u=(x),函数y=f(u)在点x的对 应点u处有导数y=f(u),则复合函数y=f(x)在点x处也有 导数,且y =y u 或写作f (x)=f(u)(x). xuxx 考点陪练 1.在平均变化率的定义
4、中,自变量的增量x满足() A.x0 C.x0 B.x0时,是从右端趋近,x4(c-1),求证:方程f(x)=0有两个不等的实数根. 错解f(x)=(x2+bx+c)e-x+(x2+bx+c)(e-x) =(2x+b)e-x+(x2+bx+c)e-x =e-xx2+(b+2)x+b+c. 由f(x)=0 即e-xx2+(b+2)x+b+c=0, 得x2+(b+2)x+b+c=0. =(b+2)2-4(b+c)=b2-4c+4. 由于b24(c-1),所以0. 故方程f(x)=0有两个不等的实数根. 剖析本错解“歪打正着”,虽然未注意到复合函数的求导,但 结论居然也被“证”出来了,显然是一种巧合
5、,也说明了这 种错误的隐蔽性很好. 正解f(x)=(x2+bx+c)e-x+(x2+bx+c)(e-x) =(2x+b)e-x-(x2+bx+c)e-x =e-x-x2+(-b+2)x+b-c. 由f(x)=0, 即 e-x-x2+(-b+2)x+b-c=0, 得x2+(b-2)x-b+c=0. =(b-2)2-4(-b+c)=b2-4c+4. 由于b24(c-1),所以0. 故方程f(x)=0有两个不等的实数根. 技法一活用导数定义 【典例1】设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-2006),则 f(0)=_. 解析 f x f 0 f x f(0) lim lim x 0 x x0 x0
6、 06 lim x 1 x 2 x0 =1232006. 答案1232006 技法二先化简再求导,优化解题过程 【典例2】求函数y=cotx的导数. 解题切入点对此题,由于课本没有给出y=cotx的直接求导公 式,一些同学不知怎么办了.其实,将原式化为用sinx与cosx 来表示的式子,然后再按照商的求导法则来求导即可求解. cosx 解因为y cotx , sinx (cosx)sinx cosx(sinx) 所以y 2 sin x sin x cos x 2 2 1 . 22 sin xsin x 方法与技巧一些常用求导的策略: (1)多项式相乘型的函数求导,往往把多项式展开后再利用公 式求导. (2)以根式或分式形式出现的函数求导问题,先化成指数的形 式再利用公式求导. (3)比较复杂的函数,往往需要先化简再求导. (4)对于某些没有给出求导公式的函数,可以先化为有求导公 式的函数表示再求导.
