1、第五模块平面向量 第二十三讲 平面向量的概念及线性运算 回归课本 1.向量的概念 (1)把既有大小又有方向的量叫做向量. (2)把只有大小,没有方向的量(如年龄 身高 长度 面积 体积 质量等),称为数量. (3)向量的大小叫做向量的长度(或模).长度为零的向量叫零向 量,记作0,零向量的方向任意,规定零向量与任意向量平行( 共线). (4)相等向量是指大小相等,方向相同的向量;相反向量是指大 小相等,方向相反的向量,规定零向量的相等向量是0,零向 量的相反向量是0. (5)方向相同或相反的向量叫平行向量,也叫共线向量.长度为 1的向量叫做单位向量. 2.向量的线性运算 (1)向量加法的定义
2、已知向量a b,如图,平面内任取一点A,作 AC,则 A叫C 做a与b的和,记作a+b. AB a,BC b,再作 即 求两个向量和的运算叫做向量的a b AB BC AC. 加法. (2)向量求和的三角形法则 利用向量加法的定义求两个向量和的作图法则,叫做向量求 和的三角形法则.在运用此法则时,要注意“首尾相接”,即 两个向量的和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量 终点的向量. (3)向量求和的平行四边形法则 已知两个不共线向量a b,作AB a, AD b,对A B D三点 不共线,以AB AD为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上 的向量是 AC=a+b,这个法则叫做两向量求和的平行
3、四 边形法则. (4)向量的减法 向量a加上向量b的相反向量叫做a与b的差,记作a-b,若 则 OA a,OB b,a b BA. (5)实数与向量积的定义: 实数与向量a的积是一个向量,记作a,|a|=|a|,当0时 ,a与a方向相同;0时,a的方向与a的方向相同; 当0时,a的方向与a的方向相反;当=0时,a=0.由此可 见,总有a与a平行;(2)运算律 :(ua)=(u)a,(+u)a=a+ua,(a+b)=a+b. 4.线段中点的向量表示:若M是线段AB的中点, O是平面 1 内任一点,则OM (OAOB). 2 【典例2】如图所示, D、E分别是中AB、AC边的中点, M、N分别是D
4、E、BC的中点,已知BC a, BD b,试用a、b 分别表示D E、 CE和MN. 1 解由三角形中位线定理知DE BC. 2 11 故DE BC,即DE a.CE CB BD DE 22 11 a b a a b. 22 11 MN MD DB BN ED DB BC 22 11 1 a b a a b. 2 44 反思感悟在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形 中,选用从同一顶点发现的基本向量或首尾相连的向量,运 用向量加、减法运算及数乘运算来求解,即充分利用相等 向量、相反向量和线段的比例关系,运用三角形、平行四 边形法则,充分利用三角形中的中位线,相似三角形对应边 成比例的平面几
5、何的性质,把未知向量转化为与已知向量 有直接关系的向量来求解. 类型三数乘向量与共线向量定理的应用 解题准备:(1)向量共线是指存在实数使两向量互相表示. (2)向量共线的充要条件中,通常只有非零向量才能表示与之 共线的其他向量,要注意待定系数法的运用和方程思想. (3)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共 线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时, 才能得出三点共线. 【典例3】设两个非零向量a与b不共线, 1 若AB a b, BC 2a 8b,CD 3(a b). 求证: A B D三点共线. 2 试确定实数k,使ka b和a kb共 线. 解 1 b, BC
6、2a 8b,CD 3(a b), BD BC CD 2a 8b 3(a b) 2a 8b 3a 3b 5(a b) 5AB. AB、 B D共 线,又 它们有公共点B,A、B、D三点共线. (2)ka+b与a+kb共线, 存在实数,使ka+b=(a+kb), 即ka+b=a+kb. (k-)a=(k-1)b. a、b是不共线的两个非零向量. k-=k-1=0,k2-1=0. k=1. 反思感悟(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时 ,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意 待定系数法的运用和方程思想. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共 线与三点共线
7、的区别与联系,当两向量共线且有公共点时, 才能得到三点共线. 错源一忽视零向量性质致误 【典例1】下列叙述错误的是_. 若ab,bc,则ac; 若非零向量a与b方向相同或相反,则a+b与a、b之一的方 向相同; |a|+|b|=|a+b| a与b方向相同; 向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数,使得 b=a; AB BA 0; 若a=b,则a=b. 剖析忽视零向量的特殊性是本题出错的主要原因,本题前四 个结论都与此有关;另外两个相反向量的和是一个零向量, 不是实数零;最后一个结论可能忽视了=0的情况. 正解这六个命题都是错误的,因为对于,当b=0,a不一定与 c平行; 对于,当a+b
8、=0时,其方向任意,它与a、b的方向都不相同; 对于,当a、b之一为零向量时结论不成立; 对于,当a=0,且b=0,有无数个值;当a=0但b0,不存在. 对于,由于两个向量之和得到的仍是一个向量,所以 对于A B,当BA=00时. ,不管a与b的大小与方向如何,都有a=b,此 时不一定有a=b. 答案 评析零向量的特殊性 零向量是向量中最特殊的向量,规定零向量的长度为0,其方向 是任意的,零向量与任意向量都共线.它在向量中的位置正 如实数中0的位置一样,但有了它容易引起一些混淆,稍微考 虑不到就会出错,考生应给予足够的重视. 错源二错用实数运算律或运算法则 【典例2】如图,已知矩形ABCD,
9、| AB |1,| AD | 2,设AB a, BC b,BD c,则 a b c _ . 错解|a+b+c|=|a|+|b|+|c|= 3 5. 剖析上述解法受实数运算律和运算法则的影响致错. 正解由向量的三角形法则有| a b c | AB BC BD | | AB BD AD | AD AD | 2 | AD | 4. 答案4 技法一数形结合思想 【典例1】已知任意四边形ABCD,O为其内部一点,且满足 OAOB OC OD 0,试确定该点的位置. 解题切入点条件中涉及四个向量的和的问题,为了利用向量 的加法法则,我们可把四个向量之和的问题,转化为向量两 两相加的情形来解决. 解点O是四
10、边形ABCD对边中点连线的交点,证明如下: 如图,以OA、ODAODE,设OE与AD交于I;以OB、 OCBOCF,设OF与BC交于J,于是I、J分别是 AD与BC的中点. 由于OAOB OC OD 0,又OAOD OE,OB OC OF, 故OE OF 0,即O E与OF长度相同,方向相反,故I、O、J三点 共线,即O在AD、BC的中点连线上.同理可证O也在AB、DC 的中点连线上,从而点O是四边形对边中点连线的交点. 技法二分类讨论思想 【典例2】已知向量a、b,求作向量c,使a+b+c=0,表示a、b、 c的有向线段能构成三角形吗? 解题切入点本题需对两已知向量a和b的情形加以分类讨论. 解当a和b中至少有一个是零向量时,作图较简单,而且显然它 们不构成三角形.以下假定a和b都为非零向量: 若ab,则分同向和异向作图(略),它们都不能构成三角形. 若a与b不平行,则作有向线段AB a,BC b,于是AC a b, 所以有向线段CA (a b) c,如图.由以上作图可知,表示 向量a, b和c的有向线段AB、 BC和C A能构成三角形.
