1、第三十八讲 两直线的位置关系 回归课本 1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l ,l ,其斜率分别为k ,k ,则有 1 2 1 2 l l k =k .特别地,当直线l 、l 的斜率都不存在时,l 1 2 1 21 21 与l 的关系为平行. 2 (2)两条直线垂直 如果两条直线l ,l 的斜率存在,分别设为k ,k ,则 1 2 1 2 l l k k =-1. 1 2 1 2 一般地: 若直线l :A x+B y+C =0(A ,B 不全为0), 1 1 1 11 1 直线l :A x+B y+C =0(A ,B 不全为0), 2 2 2 2 2 2 则
2、l l A B -A B =0且A C -A C 0(或B C -B C 0). 1 2 1 2 2 11 2 2 11 2 2 1 l l A A +B B =0, 1 2 1 2 1 2 l 与l 重合A B -A B =0且A C -A C =0(或B C -B C =0). 1 21 2 2 11 2 2 11 2 2 1 2.三种距离 (1)两点间的距离 平面上的两点P (x ,y ),P (x ,y )间的距离公式 1 1 1 2 2 2 | PP | (x x )2(y y ) . 2 1 21212 | OP | x2 y . 2 特别地,原点(0,0)与任一点P(x,y)的距
3、离 (2)点到直线的距离 | Ax By C | d . 00 点P (x ,y )到直线l:Ax+By+C=0的距离 0 0 0 2 2 A B (3)两条平行线的距离 两条平行线Ax+By+C =0与Ax+By+C =0间的距离 2 1 |C C | d . 12 2 2 A B 考点陪练 1.已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a等于 ( ) A.2 C.0 B.1 D.-1 解析:由a(a+2)=-1,解得a=-1. 答案:D 2.已知两直线l :x+ysin -1=0,l :2xsin +y+1=0,若 12 l l ,则 =_. 1 2 解析:当sin =0时
4、,不合题意. 12 当sin 0时, =2sin ,sin = . sin 2 =k ,kZ. 4 答案:k ,kZ 4 3.过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( ) A.x+2y-5=0 B.3x+y-4=0 C.x+3y-7=0 D.3x+y-5=0 解析:所求直线过点A且与OA垂直时满足条件,此时k =2,故所 OA 1 , 所以直线方程为 即x+2y-5=0. 求直线的斜率为 12 y 2 (x 1) , 2 答案:A 4.已知P (x ,y )是直线l:f(x,y)=0上的一点,P (x ,y )是直 1 1 1 2 2 2 线l外一点,由方程f(x,y)+f(x ,y )
5、+f(x ,y )=0表示的直 1 1 2 2 线与直线l的位置关系是( ) A.互相重合 B.互相平行 C.互相垂直 D.互相斜交 答案:B 5.将直线l:x+2y-1=0向左平移3个单位,再向上平移2个单位 后得到直线l,则直线l与l的距离为( ) 7 5 5 5C. 1 D. 7 A.B. 555 答案:B 类型一 两条直线位置关系的判定和应用 解题准备:判断两条直线平行或垂直时,往往从两条直线斜率 间的关系入手加以判断,当直线方程中含有字母系数时,要 考虑斜率不存在的特殊情况.判断两直线垂直时,若用 l l A A +B B =0可不用分类讨论,但在两直线平行的判 1 2 1 2 1
6、2 断中,既要看斜率,又要看截距. 【典例1】已知直线l :ax+2y+6=0和直线l :x+(a-1)y+a2- 12 1=0. (1)试判断l 与l 是否平行; 1 2 (2)当l l 时,求a的值. 1 2 分析可以把直线化成斜截式,运用斜率或截距的数量关系 来判断求解,但由于直线的斜率可能不存在,就必须进行分 类讨论;也可以运用一般式方程中的关系来判断或求解,这 样可以避免讨论. 解 1 解法一:当a 1时,l ：x 2y 6 0, 1 l ：x 0, l 不平行于l ; 212 当a 0时,l：y 3, l ：x y 1 0, 12 l 不平行于l ; 12 当a 1且a 0时,两直
7、线可化为 a1 1 a l：y x 3,l ：y x (a 1), 12 2 a 1 , l /l 解得a 1, 2 1 a 12 3 (a 1), 综上可知,当a 1时,l /l ,否则l 与l 不平行. 1212 解法二:由A B A B 0,得a a 1 12 0, 1 22 1 得 A C A C 0, a a 1 1 6 0, 2 由 1 22 1 a(a 1) 1 2 0 2 a a 2 0 l /l 12 a(a 1) 1 6 0 2 a(a 1) 6 2 a 1, 故当a 1时,l /l ,否则l 与l 不平行. 1212 2 解法一:当a 1时,l : x 2y 6 0,l
8、: x 0, 12 l 与l 不垂直,故a 1不成立. 12 a1 1 a 当a 1时,l：y x 3,l ：y x (a 1) , 12 2 a 1 2 1 a 2 由 1 a . 3 解法二:由A A B B 0,得 121 2 2 a 2(a 1) 0 a . 3 反思感悟(1)直线l :y=k x+b ,直线 1 1 1 l :y=k x+b ,“l l k =k 且b b ”的前提条件是 22 21 2 1 2 1 2 l ,l 的斜率都存在,若不能确定斜率的存在性,应对其进 1 2 行分类讨论:当l ,l 中有一条存在斜率,而另一条不存在 1 2 斜率时,l 与l 不平行;当l ,
9、l 的斜率都不存在(l 与l 不重 1 21 21 2 合)时,l l ;当l ,l 均有斜率且k =k ,b b 时,有 1 2 1 2 1 21 2 l l .为避免分类的讨论,可采用直线方程的一般式,利 1 2 用一般式方程中的“系数关系”的形式来判断两直线是否 平行,如本例解法二. (2)当l l 时,可分斜率不存在与斜率存在,且k k =-1解 1 2 1 2 决问题,如果利用A A +B B =0可避免分类讨论. 1 2 1 2 类型二 距离问题 解题准备: 1.点到直线的距离:已知点P x , y ,那么点P 0000 Ax By C Ax By C 0 到直线 的距离 d 00
10、 . 2 2 A B 2.两条平行线间的距离:一般地,两平行线Ax By C 0、 1 C C 间的距离 Ax By C 0 d 12 . 2 2 2 A B 3.点到几种特殊直线的距离: (1)点P(x ,y )到x轴的距离d=|y |. 0 0 0 (2)点P(x ,y )到y轴的距离d=|x |. 0 0 0 (3)点P(x ,y )到与x轴平行的直线y=a的距离d=|y -a|. 0 0 0 (4)点P(x ,y )到与y轴平行的直线x=b的距离d=|x -b|. 0 0 0 【典例2】两条互相平行的直线分别过点A(6,2),B(-3,-1), 并且各自绕着A,B旋转,如果两条平行直线
11、间的距离为d. 求:(1)d的变化范围; (2)当d取最大值时,两条直线的方程. 解(1)解法一:当两条直线的斜率都不存在时,即两直线 分别为x=6和x=-3,则它们之间的距离为9. 当两条直线的斜率存在时, 设这两条直线方程为 l :y-2=k(x-6),l :y+1=k(x+3), 12 即l :kx-y-6k+2=0,l :kx-y+3k-1=0. 2 1 | 3k 1 6k 2| 3| 3k 1| d, k 2 1 k 1 2 即(81-d2)k2-54k+9-d2=0. kR,且d9,d0, =542-4(81-d2)(9-d2)0, 即0d 且d9. 3 10 综合可知,所求的d的
12、变化范围为 (0, 3 10 . 解法二:如图所示,显然有0d|AB|. 而 | AB | (6 3) (2 1) 3 10. 2 2 故所求的d的变化范围为(0, 3 10 . 解法三:且 与l 不重合,设l 与AB夹角为, 12122 则l 与AB夹角也为,则l l 的距离d AB sin, 112 而 0, , 2 sin 0,1 , | AB | (6 3) (2 1) 3 10 ,又 2 2 d(0, 3 10 . (2)由图可知,当d取最大值时,两直线垂直于AB. 2 (1) 1 6 ( 3) 3 则 , kAB 所求的直线的斜率为-3. 故所求的直线方程分别为 y-2=-3(x-
13、6)和y+1=-3(x+3), 即3x+y-20=0和3x+y+10=0. 类型三交点及直线系问题 解题准备:符合特定条件的某些直线构成一个直线系,常见的 直线系方程有如下几种: (1)过定点M(x ,y )的直线系方程为y-y =k(x-x )(这个直线 0 0 00 系方程中未包括直线x=x ). 0 (2)和直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为 Ax+By+C=0(CC). (3)和直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+C=0. (4)经过两相交直线A x+B y+C =0和A x+B y+C =0的交点的直 1 1 12 2 2 线系方程为A x+B y+C + (A
14、 x+B y+C )=0(这个直线系方程 1 1 12 2 2 中不包括直线A x+B y+C =0). 2 2 2 【典例3】求经过直线l :3x+2y-1=0和l :5x+2y+1=0的交点, 2 1 且垂直于直线l :3x-5y+6=0的直线l的方程. 3 分析本题可先求出交点坐标,然后由直线间的位置关系求 得;也可由直线系方程,根据直线间位置关系求得. 解解法一 :先解方程组 3x 2y 1 0,得 5x 2y 1 0 l 、l 的交点 1,2 , 12 35 再由l 的斜率 求出l的斜率为 , 3 53 于是由直线的点斜式方程求出l : 5 y 2 (x 1),即5x 3y 1 0.
15、 3 解法二:ll ,故l是直线系5x+3y+C=0中的一条,而l过l 、 1 3 l 的交点(-1,2), 2 故5(-1)+32+C=0.由此求出C=-1, 故l的方程为5x+3y-1=0. 解法三:l过l 、l 的交点,故l是 1 2 直线系3x+2y-1+ (5x+2y+1)=0中的一条, 将其整理,得 (3+5 )x+(2+2 )y+(-1+ )=0. 3 5 5 2 2 3 方程为5x+3y-1=0. 1 ,解得 = 代入直线系方程即得l的 , 其斜率 5 反思感悟对直线系方程的形式不熟悉或不能正确运用直线 系方程,是出错的原因之一. 运用直线系方程,有时会给解题带来方便,常见的直
16、线系方程 有: (1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是: Ax+By+m=0(mR且mC) (2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(mR) (3)过直线l :A x+B y+C =0与l :A x+B y+C =0的交点的直线系 1 1 1 12 2 2 2 方程为A x+B y+C + (A x+B y+C )=0( R),但不包括l . 1 1 12 2 22 类型四对称问题 解题准备:(1)对称问题主要包括中心对称和轴对称. 中心对称:点P(x,y)关于O(a,b)的对称点P(x,y)满 x 2a x,足 y 2b y; 直线关于点的对称可转化为点关
17、于点的对称问题来解决. 轴对称:点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0(B0)的对称点 n b A A(m,n),则有 1, m a B a m b n A0; 直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解 22 决. (2)在对称问题中,点关于点的对称是中心对称中最基本的 ,处理这类问题主要抓住:已知点与对称点连成线段的中点 为对称中心;点关于直线对称是轴对称中最基本的,处理这 类问题要抓住两点:一是已知点与对称点的连线与对称轴 垂直;二是已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴 上. 【典例4】求直线a:2x+y-4=0关于直线l:3x+4y-1=0对称的直 线b的方程. 分析本题
18、的思路较多,可以根据点斜式或两点式写出直线b 的方程,也可以利用轨迹或对称观点求出直线b的方程. 2x y 4 0, 解由 3x 4y 1 0, 解得a与l的交点E 3,2 ,E点也在 b上. 解法一:设直线b的斜率为k,又知直线a的斜率为 2,直线 3 l的斜率为 . 4 3 4 3 k (2) 2 4 则.解得k . 3 3 11 1 (2) 1 k 4 4 代入点斜式得直线b的方程为 2 y (2) (x 3),即2x 11y 16 0. 11 解法二：在直线a： 2x y 4 0上找一点A 2,0 ,设点A关 于直线l的对称点B的坐标为 x , y . 00 y 0 4 , 0 x 2
19、 3 4 8 5 5 由 0 解得 B , . 2 x 0 y 3 00 0 22 y (2) x 3 由两点式得直线b的方程为 即2x 11y 16 0. , 84 (2) 3 55 解法三:设直线b上的动点P x, y 关于l:3x 4y 1 0的 对称点为Q x , y . 00 y y 4 , 0 x x 3 则有 0 x x 0y y 3 0. 22 7x 24y 6 , y 24x 7y 8 . 解得x 00 2525 Q x , y 在直线a : 2x y 4 0上,则 00 7x 24y 6 24x 7y 8 2 4 0, 2525 化简得2x 11y 16 0是所求直线b的方
20、程. 0 解法四:设直线b上的动点P x, y ,直线a上的Q x ,4 2x , 0 且P、Q两点关于直线l:3x 4y 1 0对称,则有 y (4 2x ) 4 , 0 x x03 | 3x 4y 1| | 3x 4(4 2x ) 1| . 00 55 消去x ,得2x 11y 16 0或2x y 4 0(舍去). 0 反思感悟求点M a,b 关于直线Ax By C 0 AB 0 的对称点N的方法: 设N x, y , y b A 1(垂直关系) x a B 由 a x b y A0(重点在直线上) 22 求出x, y,即得点N的坐标. 错源一 缺乏分类意识 【典例1】求过直线4x-2y-
21、1=0与直线x-2y+5=0的交点且与两 点A(0,8),B(4,0)距离相等的直线l的方程. 错解由已知可求得两直线4x 2y 1 0与x 2y 5 0的 7 交点为 2, . 2 因为直线l到A 0,8 ,B 4, 0 的距离相等,所以l/AB,而AB 的斜率k 2. 7 所以直线l的方程为y 2 2 即4x 2y 15 0. 剖析错解缺乏分类讨论的意识,对直线的位置关系考虑 不全,事实上当直线l经过AB的中点时也满足条件. 7 2, .正解由已知可求得两直线的交点为 (1)若点A,B 2 在直线l的同侧,则lAB,AB的斜率k=-2.所以直线l的方程 7 为 y 2 即4x+2y-15=
22、0.(2)若点A,B在直线l的 2 两侧,则直线l经过线段AB的中点(2,4),可求出直线方程为 x=2.综上可得,直线l的方程为4x+2y-15=0或x=2. 错源二忽视隐含条件 【典例2】如果直线(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2与y轴平行,求m 的值. 错解因为直线(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2与y轴平行,所以 m2+3m+2=0. 解得m=-1或m=-2.所以当m=-1或m=-2时直线与y轴平行. 剖析方程Ax+By+C=0表示直线,其中隐含着AB0这一条 件.当m=-2时,直线方程(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2为 0 x+0y=0,它不表示直线,所以出
23、现错误. 正解因为直线(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2与y轴平行,所以 m2+3m+2=0,且m+20,解得m=-1,所以当m=-1时直线与y轴 平行. 技法一 数形结合 【典例1】已知ABC中,A点坐标为(1,3),AB、AC边上的中线 所在直线方程分别为x-2y+1=0和y-1=0,求ABC各边所在 直线的方程. 解题切入点画出草图帮助思考,欲求各边所在直线的方程, 只需求出三角形顶点B、C的坐标.B点应满足的两个条件是 : B在直线y-1=0上; BA的中点D在直线x-2y+1=0上. 由可设点B的坐标为(x ,1),进而再由确定x ,依照同样的 B B 方法可以确定顶点C的坐
24、标,故ABC各边所在的直线方程 可求. 解设AB、AC边上的中线分别为CD BE,其中D E为中点. B在中线y-1=0上, 设B点的坐标为(x ,1). B 又D为AB的中点,A(1,3), x 1 D的坐标为 B ,2 . 2 注意到D点在中线CD：x 2y 1 0上, x 1 2 2 1 0 x 5, B 2 B 即B点的坐标是 5, 1 .同样地, 点 在直线x 2y 1 0上, 设C点的坐标是 2t 1,t , t 3 2 AC的中点E的坐标为 t,. 又 点在直线y 1 0上, t 3 1,即t 1, 2 点C的坐标是 3,1 ,故可求得ABC三边所在直线 的方程为 AB：x 2y
25、 7 0；BC：x 4y 1 0；AC：x y 2 0. 方法与技巧依据已知条件求平面图形中某些直线的方程 ,必须“数形结合”.通过数形结合,特别是借助平面图形 分析出隐含条件,这样可以达到化难为易 化繁为简的目的 ,以形助数也是平面解析几何中常用的方法. 技法二 对称问题的解法 (1)点关于直线对称 【典例2】已知直线l:3x-y+3=0,求点P(4,5)关于直线l的对 称点. 解题切入点利用对称性质列有关对称点坐标的方程组进而 求解. 解解法一:设点P 4,5 关于直线l的对称点为P(x, y),则 PP l且PP的中点在直线l上. x 4 y 5 3 3 0, x 2, 22 解得 y
26、5 1y 7. . x 4 3 故P 2, 7 为所求的点. 解法二:设点P 4, 5 关于直线l的对称点为P x, y ,则PP l. 故可设直线PP: x 3y C 0. 又点P 4,5 在直线PP上,4 35 C 0. 解得C 1 9. x 3y 19 0, 得交点Q 1,6 . 由 3x y 3 0 而Q为PP的中点,P 2,7 . 方法与技巧解法一的应用最为广泛,其关键是利用“垂直” “平分”. 点P(a,b)关于特殊直线的对称点列表如下: (2)直线关于点对称 【典例3】求直线l :2x-y+1=0关于点P(2,1)的对称直线l 的 2 1 方程. 解题切入点利用好中心对称的性质是
27、解对称问题的关键. 解解法一:因为l 与l 关于点(2,1)对称, 1 2 所以l l . 1 2 设l :2x-y+C=0. 2 由点P(2,1)到两直线的距离相等,有: | 2211| | 2 . 55 解得C=-7或C=1(舍去). 故所求的方程为2x-y-7=0. 解法二:设直线l 上任意一点Q(x,y),则它关于P(2,1)的对称 2 点为Q(4-x,2-y). 由Q在直线2x-y+1=0上可得 2(4-x)-(2-y)+1=0. 化简可得:2x-y-7=0. 方法与技巧解法一是利用线线平行及点到两直线距离相等 来解;解法二是设动点,运用“代入法”求解,这也是求曲 线方程的一般方法.
28、 一般地,直线Ax+By+C=0关于点(a,b)对称的直线方程为A(2a- x)+B(2b-y)+C=0. (3)直线关于直线对称 【典例4】求直线a:x-y-2=0关于直线l:x+2y+1=0对称的直线 b的方程. 解题切入点直线关于直线对称的关键仍是点关于直线对称 . 解解法一:在直线a上取一点P 2, 0 ,运用典例2的方法, 4 12 5 5 可求得点P 2,0 关于l的对称点P , . x y 2 0, 由方程组 x 2y 1 0 可解得直线a与l的交点Q 1,1 . 直线b过点P与Q,由两点式并化简可得直线b的方程为 7x y 8 0. 解法二:设直线b上的动点P x, y 关于直
29、线l的对称点为 P x, y . x x y y 1 2 0,x (3x 4y 2), 225 1 则解得 y y 2. y ( 4x 3y 4). x x5 点 , y 在直线a上, 11 (3x 4y 2) (4x 3y 4) 2 0. 55 化简得直线b : 7x y 8 0. 解法三:先求出直线a与l的交点Q 1,1 ,再设直线b的方 程为y 1 k x 1 ,即kx y k 1 0. 由对称关系可知直线l上的点到两直线a与b的距离相等. 取l上一点M 1,0 , | 1 2 | | k k 1| 则有:. 2 2 k 1 解得k 7或k 1(舍去). 直线b :7x y 8 0. 方法与技巧(1)三种方法都是常用方法,都用到了几何性质 .解法一利用转化求解(线关于线对称转化为点关于线对称 );解法二抓住了P与P是一对“相关点”,利用“相关点” 的性质求出动点的轨迹,这是求曲线关于直线对称方程的 常用方法;解法三利用点到直线的距离解题,方法非常简捷 ,充分体现了利用几何性质的优越性. (2)特别地,设直线l:Ax+By+C=0,则有: 直线l关于x轴对称的直线方程为:Ax-By+C=0; 直线l关于y轴对称的直线方程为:-Ax+By+C=0; 直线l关于y=x对称的直线方程为:Bx+Ay-C=0; 直线l关于y=-x对称的直线方程为:-Bx-Ay+C=0.
