1、高考数学总复习高考数学总复习 从衡水走向清华北大从衡水走向清华北大全套全套PPTPPT 【精品课件精品课件】 第一模块 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合与集合的运算 回归课本 1.集合中的元素有三个明显的特征：(1)确定性；(2)互异性； (3)无序性 2元素与集合的关系有属于和不属于两种 3集合与集合之间有三种关系： (1)子集(包含与被包含)定义：AB如果任意xA，那么 xB； (2)真子集定义：ABAB，且B中至少有一元素xA(规 定：空集是任何一个非空集合的真子集)； (3)相等：ABAB且BA. 4集合的运算涉及交、并、补集 (1)交集定义：ABx|xA，且xB； (2)并集定义：A
2、Bx|xA，或xB； (3)补集定义：设U为全集，AU，由U中不属于A的所有元 素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记UA， 即UAx|xU，且xA； (4)基本性质：AAA；AAA；ABBA； ABBA；(AB)CA(BC)；(AB)C A(BC)；A；AA； U(UA)A； U(AB)(UA)(UB)； U(AB)(UA)(UB) 考点陪练 1.下列三个命题中，正确的个数为( ) R实数集，R全体实数集； 方程(x1)2(x2)0的解集为1,2,1； 方程(x3)2y1|z2|0的解集为3,1,2 A1个 C3个 B2个 D0个 解析：R实数集中“集”是多余的，R全体实数集 中“全体
3、”和“集”都是多余的；中解集不符合集合中 元素的互异性；中集合的形式错了，应写成(3,1,2)， 因为方程中只有一个解，而不是三个解 答案：D 2.集合M=(x,y)|x+y=4,xN,yN的非空真子集的个数是( ) A.6B.8 D.32C.30 解析:集合M=(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),集合M的非空真子 集个数为2 5-2=30个,故应选C. 答案:C 3.集合P=(x,y)|y=k,Q=(x,y)|y=a x+1,a0,a1. 已知 PQ只有一个子集,那么实数k的取值范围是( ) A.(-,1)B.(-,1 C.(1,+)D.(-,+) 解析:由数形结合可
4、知选B. 答案:B 4.已知集合A=y|y=2x,xR,B=y|y=x2,xR,则 ( ) A.AB=2,4B.AB=4,16 C.A=BD.A B 解析:A,B分别表示函数y=2x与y=x2的值域. 答案:D 5.(2010浙江)设P=x|x4,Q=x|x 24,则( ) A.P QB.Q P C.P 痧D.Q P RR 解析:集合Q x| 2 x 2 ,所以Q P. 答案:B 类型一元素与集合的关系 解题准备:集合中的元素具有确定性互异性和无序性.特别是 用互异性筛除不具备条件的解是解题过程中不可少的步骤 . 【典例1】当正整数集合A满足:“若xA,则10-xA”. (1)试写出只有一个元
5、素的集合A; (2)试写出只有两个元素的集合A; (3)这样的集合A至多有多少个元素? 解 (1)因为若1A,则10-1=9A;反过来,若9A,则10- 9=1A.所以1和9要么都在A中,要么都不在A中,即它们是 成对出现在A中的,同理2和8,3和7,4和6也成对出现在A中, 所以A=5. (2)A=1,9,或A=2,8,或A=3,7,或A=4,6. (3)A中至多有9个元素,即A=1,9,2,8,3,7,4,6,5. 类型二集合与集合之间的关系 解题准备:1.集合间的基本关系包括两集合相等子集真子集 等. 2.此类问题的求解离不开基本的运算变形,以达到化简集合 便于运算的目的,较好地体现了高
6、考对运算求解能力的考 查. 【典例2】 设集合A=x|x=a2+2a+4,B=y|y=b2-4b+7. (1)若aR,bR,试确定集合A与B的关系; (2)若aN,bR,试确定集合A与B的关系. 解 (1)若aR,bR. 则x=(a+1)2+33,y=(b-2)2+33, 此时集合AB都是大于或等于3的实数的集合, A=B. (2)若aN、bR,则对于任意的x A, 0 有x =(a +1)2+3, 00 其中a N. 0 令b =a +3,则b N, 000 且(a +1)2+3=(b -2)2+3B. 00 而当b =2时,y =3A,从而可知AB. 00 反思感悟 (1)判断两个集合之间
7、的子集真子集关系可以比 照两实数间的关系: ABAB,且AB,类比于abab,且ab; ABA B,或A=B,类比于abab,或a=b; A=BAB,且BA,类比于a=bab,且ab.也可以用韦 恩图直观地表示上述各种关系. 的区别与联系: (2)注意集合与空集 , 类型三集合的基本运算 解题准备:集合的基本运算性质: A B A B A; A B A A B;痧(A B) ( A)( B); UUU 痧(A B) ( A)( B).这些性质能简化集合的运算, UUU 应熟练掌握. 【典例3】 设全集是实数集R,A=x|2x2-7x+30,B=x|x2+a0. (1)当a=-4时,求AB和AB
8、; (2)若( AB=B,求实数a的取值范围. R 解 (1)A=x|x3, 当a=-4时,B=x|-2x2, AB=x|x2,AB=x|-2x3. 1 2 由 1 知 A x | x ,或x 3. R 2 当(痧A) B B时,B A,即A B . RR 当B ,即a 0时,满足B A; R 当B ,即a 0时,B x | a x a , 11 要使B A,需 a ,解得 a 0. R 24 1 综上可得,实数a的取值范围是a . 4 反思感悟 解决含参数问题的集合运算,首先要理清题目要 求,看清集合间存在的相互关系,注意分类讨论数形结合思 想的应用以及空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系
9、 ,在解题中漏掉它极易导致错解. 类型四集合概念与性质架构下的创新问题 解题准备:“信息迁移”问题最明显的特征就是题目中有一些 新信息如定义新概念新运算等,但是这些所谓“新信息” 肯定是在我们已经掌握的知识的基础上进行设计的,所以 不要有畏惧心理,通过耐心细致分析,就会慢慢发现它其实 就是“老问题”! 【典例4】 (2010福建厦门质检)如图所示的韦恩图中,AB 是非空集合,定义A*B表示阴影部分的集合.若x,yR, A x y | 2 B y y 3x x 0 则A B等于 2x x , | , , * A.x|0 x2 B.x|12 2x x , , y 2 0 2解 B y | y 3x
10、,x 0 (1,), 由韦恩图可知A*B (A B), U 其中U A B,又A B 0,),A B 1,2 , A*B 0,1(2,). 答案 D 反思感悟 有些集合问题是通过定义一个新概念或约定一种 新运算或给定一个新模型来创设新的问题情境,它要求我 们要在阅读理解的基础上,依据题中提供的信息,联系所学 的知识和方法,实现信息的迁移,从而顺利地解决问题. 类型五集合的应用 解题准备:集合问题多与函数曲线方程不等式有关,要善于 灵活运用集合的相关知识,解决问题并注意以下几点:重 视对参数的讨论,特别注意检验集合元素是否满足“三 性”,并提防“空集”这一隐形陷阱.善于运用Venn图和 数轴直观
11、形象解决问题,Venn图适用于有限集,数轴适用于 实数集,要特别注意边界的取舍. x 3 x 1 【典例5】 设函数f(x)= 2的定义域为 A,g(x)=lg(x-a-1)(2a-x)(a1)的定义域为B. (1)求集合A; (2)若BA,求实数a的取值范围. x 3 解 1 由2 0,得 0, x 1 x 1 x 1 x 1或x1,故A ,1 1, . 2 由 x a 1 2a x 0,得 x a 1 x 2a 0. a 1 2a ,B 2a, a 1 . 2a1,或a 11, 11 即a ,或a 2,而a 1, a 1,或a 2. 22 1 故a的取值范围是(,2 ,1 . 2 反思感悟
12、 用“数形结合思想”解题时,要特别注意“端点” 的取舍问题. 错源一忽视元素的互异性 【典例1】 设集合A=0,a,集合B=a2,-a3,a2-1且AB,则a的值是 ( ) A.1B.-1 D.2C.1 错解 由A=0,a及集合元素的互异性可知a0,所以a20,-a30,又 A B得a2-1=0,即a=1.故选A. 剖析 解出a=1后,忽视了检验这两个值是否都满足元素 的互异性. 正解 由A=0,a及集合元素的互异性可知a0, 所以a20,-a30,又A B,所以a2-1=0, 解得a=1. 当a=-1时,a2=-a3=1,这与集合元素互异性矛盾,舍去. 当a=1时,A=0,1,B=1,-1,
13、0,满足AB. 综上a=1,故应选C. 答案 C 错源二忽视空集 【典例2】 设A=x|2x6,B=x|2axa+3,若BA,则实数a 的取值范围是( ) A.1,3B.(3,+) D.(1,3)C.1,+) 2a 2 错解 , a 36 解得1a3,故选A. 剖析 空集是任何集合的子集,忽视这一点,会导致漏解,产 生错误结论.对于形如x|axb一类的集合,当ab时,它表示 空集,解题中要引起注意. 2a a 3 正解当B 时,则有2a2 , a 36 解之得1a3,当B 时,2a a 3,解之得a 3. 综合得a1. 故应选C. 答案 C 技法 利用补集思想解题 【典例】 (2011郑州模拟
14、)已知集合A=x|x2-4mx+2m+6=0, B=x|x2”是“方程x2-mx+m+3=0的两根都大于1”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.不充分不必要条件 解析:设方程有两根x ,x ,则 0且x x m,x x m 3. 12121 2 x 1, x x 2, m 2, 1 12 m 2; (1) x 1, x x 1,m 3 1, 2 1 2 又 即 解之得 或 0, : m 4m 12 0; m 6 m 2; 2 综上可知m6. (2)m2时,取m=3,此时方程为x2-3x+6=0无实根,即m2不能 推出x 1且x 1. 12 由(1)(2)知m2是
15、方程的两根都大于1的必要不充分条件. 答案:B 3.(2010陕西)对于数列a ,“a |a |(n=1,2,)”是 nn+1n “a 为递增数列”的( ) n A.必要不充分条件 C.充要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:因为a |a |a a a 为递增数列,但a 为递增 n+1nn+1nnn 数列a a 推不出a |a |,故“a |a |(n=1,2,)” n+1nn+1nn+1n 是“a 为递增数列”的充分不必要条件,选B. n 答案:B 4.(2010山东)设a 是等比数列,则“a a a ”是“数列 n123 a 是递增数列”的( ) n A.充分而不必要
16、条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 a a q 解析:由题可知,若a a 0时,解得q1,此时数列a 是递增数列,当a 0时,解得 1n1 0q1,此时数列a 是递增数列;反之,若数列a 是递增 nn 数列,则a a a 成立,所以“a a b,则a2b2”的逆否命题; (3)“若x-3,则x2+x-60”的否命题; (4)“若ab是无理数,则ab是无理数”的逆命题. 其中真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解 (1)逆命题为“若xy互为相反数,则x+y=0”是真命题. (2)原命题为假,其逆否命题为假. (3)否命题为“若x-3,则x2+
17、x-60”,假如x=4-3,但x2+x- 6=140,故为假. (4)逆命题“若ab是无理数,则ab也是无理数”,假如 a 2)( 2 ,b 2,则ab=2是有理数.故为假. 答案 B 反思感悟 判断一个命题为假命题,只需举出一个反例,无需 证明. 类型二四种命题及其关系 解题准备:互为逆否关系的命题是等价命题:原命题与逆否命 题同真同假,逆命题与否命题同真同假.所以:当判断一个 命题的真假有困难时,可以判断它的逆否命题的真假;原 命题逆命题否命题逆否命题这四个命题中真命题的个 数可能是0个2个4个. 【典例2】 分别写出下列命题的逆命题否命题逆否命题 命题的否定,并判断它们的真假: (1)若
18、q1,则方程x2+2x+q=0有实根; (2)若xy=0,则x=0或y=0; (3)若x2+y2=0,则x、y全为0. 解 (1)原命题是真命题; 逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q1,为真命题; 否命题:若q1,则方程x2+2x+q=0无实根,为真命题; 逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q1,为真命题; 命题的否定:若q1,则方程x2+2x+q=0无实根,为假命题. (2)原命题为真命题; 逆命题:若x=0或y=0,则xy=0,是真命题; 否命题:若xy0,则x0且y0,是真命题; 逆否命题:若x0且y0,则xy0,是真命题; 命题的否定:若xy=0,则x0且y0,是假
19、命题. (3)原命题为真命题. 逆命题:若x、y全为0,则x2+y2=0,为真命题; 否命题:若x2+y20,则x、y不全为0,为真命题; 逆否命题:若x、y不全为0,则x2+y20,为真命题; 命题的否定:若x2+y2=0,则x、y不全为0,是假命题. 反思感悟 (1)注意:“都是”的否定是“不都是”,而不是“都 不是”,因为“x、y不都是奇数”包含“x是奇数y不是奇数” “x不是奇数y是奇数”“x、y都不是奇数”三种情况; “x=0或y=0”的否定是“x0且y0”,而不是“x0或y0”, 因为“x=0或y=0”包含“x=0且y0”、“x0且y=0” “x=0且y=0”三种情况. (2)要注
20、意区别“否命题”与“命题的否定”:否命题要对命题的 条件和结论都否定,而命题的否定仅对命题的结论否定. 类型三充分必要条件的判定与证明 解题准备:判断一个命题是另一个命题的什么条件,关键是利 用定义:如果pq,则p叫做q的充分条件,原命题(或逆否命 题)成立,命题中的条件是充分的,也可称q是p的必要条件; 如果qp,则p叫做q的必要条件,逆命题(或否命题)成立,命 题中的条件为必要的,也可称q是p的充分条件;如果既有 pq,又有qp,记作pq,则p叫做q的充分必要条件,简称 充要条件,原命题和逆命题(或逆否命题和否命题)都成立, 命题中的条件是充要的. 【典例3】 求证方程ax2+2x+1=0
21、有且只有一个负实数根的 充要条件是a0或a=1. 思路点拨 首先应从充分性和必要性两个方面进行证明,其 次要注意对参数a的分类讨论. 证明 充分性: 当a=0时,方程变为2x+1=0,其根为x=-,方程只有一负根. 当a=1时,方程为x2+2x+1=0,其根为x=-1. 方程只有一负根. 1 0 当a0,方程有两个不相等的根,且 a ,方程有一正一负根. 必要性: 若方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根. 当a=0时,适合条件. 当a0时,方程ax2+2x+1=0有实根, 则=4-4a0,a1, 当a=1时,方程有一负根x=-1. a 1 则 , a 0. 若方程有且仅有一负根, 1 0 a
22、 综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负实数根的充要条件为a0或 a=1. 反思感悟 (1)这类证明问题需要证明充分性和必要性两个 方面,因此应分清条件和结论,由条件证明结论成立是充分 性,由结论证明条件成立是必要性,不能将二者混淆;(2)涉及 一元二次方程根的问题,主要利用根的判别式进行求解,同 时不能忘记对x2项系数的分类讨论. 探究 是否存在实数p,使“4x+p0”的充 分条件?如果存在,求出p的取值范围. 分析 “4x+p0”是结论,先解出这两 个不等式,再探求符合条件的p的范围. 2 解x x 2 0的解是x 2或x 1,由4x p 0得 pp x .要想使x 时x 2或x 1成立
23、,必须有 44 pp 1,即p4,所以当p4时, 1 x 1 44 2 2 x x 2 0,所以p4时“, 4x p 0”是“x x 2 0” 的充分条件. 反思感悟 本题用集合的包含关系去理解更容易解答,注意 结合数轴确定p的范围. 错源一判断充分必要条件时不注意设问方式 【典例1】 使不等式2x2-5x-30成立的一个充分不必要条件 是( ) A.x0B.x2 D.x-或x3C.x-1,3,5 错解 由2x2-5x-30得x3或x-,当x3或x - 时能推出B 选项, 但当B选项成立时,不一定能推出x3或x - ,所以选B. 剖析 本题错误在于没有弄清楚问题的设问方式,混淆了条 件和结论而
24、导致的.正确的理解是所选选项是2x2-5x-30 成立的充分不必要条件. 正解 依题意所选选项能使不等式2x2-5x-30成立,但当不 等式2x2-5x-30成立时,却不一定能推出所选选项.由于不 等式2x2-5x-30的解为:x3或x-,所以应选C. 答案 C 错源二四种命题的结构不明致误 【典例2】 写出命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的逆 命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假. 剖析 解本题易出现的错误有两个:一是对一个命题的逆命 题否命题逆否命题的结构认识模糊出错;二是在否定一 个结论时出错,如对“a,b都是偶数”的否定应该是“a,b 不都是偶数”,而不应该是“a,b都是奇
25、数”. 正解 逆命题:“若a+b是偶数,则a,b都是偶数.”它是假命 题; 否命题:“若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数.”它是假命题; 逆否命题:“若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数.”它是真命题. 评析四种命题的结构与等价关系 如果原命题是“若A,则B”,则这个命题的逆命题是“若B,则 A”,否命题是“若A,则B”,逆否命题是“若B,则A”. 这里面有两组等价的命题,即“原命题和它的逆否命题等 价,否命题与逆命题等价”.在解答由一个命题写出该命题 的其他形式的命题时,一定要明确四种命题的结构以及它 们之间的等价关系. 技法一等价命题转化法 【典例1】 若p:x+y3,q:x1或y2.则
26、p是q的什么条件? 解 直接判断原命题“若p,则q”的真假比较难,但它的逆否 命题即“若x=1且y=2,则x+y=3”显然为真,故原命题也为 真,即pq. 逆命题的真假较难判断,但它的等价命题否命题“若x+y=3, 则x=1且y=2”显然为假,故逆命题也为假,即qp.所以p是 q的充分不必要条件. 方法与技巧 当所给命题的充要条件不好判定时,可利用四 种命题的关系,对命题进行等价转换.常利用“原命题逆 否命题”,“否命题逆命题”.一些否定形式的命题常用 这种方法判定. 技法二快速解题(列表法) 【典例2】 有6名歌手进入决赛的电视歌曲大奖赛,组委会只 设一名特别奖.赛前观众A猜:不是1号就是2
27、号能获特别 奖;B猜:3号不可能获特别获:C猜:456号都不可能获特别 奖;D猜;能获特别奖的是456号中的一个,赛后结果表明, 四人中只有一人猜对了.问:谁猜对了?几号歌手获特别奖? 快解 将所猜能获奖的记为,不能获奖记为,由题意得下 表: 歌手 123456 观众 A B C D 从表中可以看出,所猜3号的结果只有一人猜对,是C猜对的,3 号歌手得了特别奖. 解题切入点 可由CD所猜入手.这两人所猜是对立的,但D 与B不能都对,因此,可以C猜对为前提进行推证. 分析思维过程 可以明显看出CD所猜是对立的.若C猜对了, 则BD都没猜对.再看A,A猜1号或2号,因为只有一个猜对, 就不可能是1
28、号或2号,只能是3号.如果是3号获特别奖,那么 ABD都没有猜对,只有C猜对了. 解 将ABCD四人猜的结果分别记为命题P P P P , ABCD 则P 与P 必一真一假.若P 为真,则P 也真,不合题意,则P CDDBC 应为真.由题意,则P 必为假.当P 假时,只有3号能获特别奖. AA 此时再看P P P P 四命题,只有P 是真的,符合题意.故 ABCDC C猜对了,3号获得特别奖. 得分主要步骤 本题主要是入手抓住CD所猜结果对立,必 有一人猜对.假设其中一人是对的,若推下去不合题意,则另 一人必对,于是思路清晰,结果渐趋明朗. 易丢分原因 如果切入点抓不准,则解答起来很乱,无头绪
29、,当 然花费时间也较多,也难以得分.比较以上两种解法,前者显 然比后者优越得多. 第三讲 简单的逻辑联结词全称 量词与存在量词 共 43 页1 回归课本 共 43 页2 1.逻辑联结词 命题中的或且非叫逻辑联结词. 共 43 页3 2.命题pq,pq,p的真假判断 pqpq 真 pq 真 p 假 假 真 真 真 真 假 假 真 假 真 假 假真 假真 假假 共 43 页4 注意:p与q全真时,pq为真,否则,pq为假. p与q全假时,pq为假,否则,pq为真. p与p必定是一真一假. 共 43 页5 3.全称量词存在量词 (1)全称量词 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词, 并
30、用符号表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题,全称 命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”,简记作xM,p(x). 共 43 页6 (2)存在量词 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量 词,并用符号表示.含有存在量词的命题,叫做特称命题,特 称命题“存在M中的元素x ,使p(x )成立”,简记作 00 x M,p(x ). 00 (3)两种命题的关系 全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题. 注意:同一个全称命题特称命题,由于自然语言的不同,可能 有不同的表述方法,在实际应用中可以灵活地选择. 共 43 页7 特称命题 “xA,p(x)” 存在xA,使 p(x)成
31、立 全称命题“xA,p(x)” 对所有的xA,p(x)成立 对一切xA,p(x)成立 命题 至少有一个 xA,使p(x)成立 表述 方法 对有些xA,使 p(x)成立 对每一个xA,p(x)成立 任选一个xA,p(x)成立 凡xA,都有p(x)成立 对某个xA,使 p(x)成立 有一个xA,使 p(x)成立 共 43 页8 考点陪练 1.(2010威海模拟题)已知命题p:xR,cosx1,则( ) A.p:x R,cosx 1 00 B.p:xR,cosx1 C.p:x R,cosx 1 00 D.p:xR,cosx1 共 43 页9 解析:全称量词的否定应为存在量词,所以命题 p:xR,co
32、sx1的否命题是x R,cosx 1. 00 答案:C 共 43 页10 2.(2010广州联考题)若函数f(x),g(x)的定义域和值域都是R, 则“f(x)g(x),xR”成立的充要条件是( ) A. x R,使得f(x )g(x ) 000 B.不存在任何实数x,使得f(x)g(x) C.xR,都有f(x)+g(x) D.存在无数多个实数x,使得f(x)g(x) 共 43 页11 解析:f(x)g(x),xR的含义即对任意的实数,都有f(x)0 C.xR,lgx0 D.xR,tanx=2 解析:对于选项B,当x=1时,结论不成立,故选B. 答案:B 共 43 页14 5.(2010辽宁)
33、已知a0,函数f(x)=ax2+bx+c.若x 满足关于x 0 的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是( ) A.xR,f(x)f(x )B.xR,f(x)f(x ) 00 C.xR,f(x)f(x )D.xR,f(x)f(x ) 00 共 43 页15 b 解析:由题知:x0为函数f(x)图象的对称轴方程,所 2a 以f(x )为函数的最小值,即对所有的实数x,都有f(x)f(x ),因 00 此xR,f(x)f(x )是错误的,选C. 0 答案:C 共 43 页16 类型一含有逻辑联结词的命题真假判定 解题准备:解决该类问题基本步骤为: 1.弄清构成它的命题pq的真假; 2.
34、弄清它的结构形式; 3.根据真值表判断构成新命题的真假. 共 43 页17 【典例1】 已知命题p:xR,使tanx=1,命题q:x2-3x+20 的解集是x|1x2,下列结论: 命题“pq”是真命题; 命题“pq”是假命题; 命题“pq”是真命题; 命题“pq”是假命题. 其中正确的是( ) A.B. C.D. 共 43 页18 解 先判断命题p和q的真假,再对各个用逻辑联结词联结的 命题进行真假判断. 命题p:xR,使tanx=1正确,命题q:x2-3x+20的解集是 x|1x0;(2)xN,x41;(3)xZ,x30,即x2+20. 所以命题“xR,x2+20”是真命题. (2)由于0N
35、,当x=0时,x41不成立.所以命题“xN,x41” 是假命题. (3)由于-1Z,当x=-1时,能使x31.所以命题“xZ,x30. 共 43 页27 否定 任意.再否定判断词. 分析 先否定量词:存在 解 (1)非p:存在一个有理数不是实数.为假命题,属特称命题. (2)非p:所有的三角形都不是直角三角形.为假命题,属全称命 题. (3)非p:有些二次函数的图象与y轴不相交.为真命题,属特称命 题. (4)非p:xR,x2-2x0.为真命题,属特称命题. 共 43 页28 反思感悟 只否定全称量词和存在量词,或只否定判断词,因 否定不全面或否定词不准确而致错. 从以上的符号语言和例子可以看
36、出,对全称命题的否定,在否 定判断词时,还要否定全称量词,变为特称命题.对特称命题 的否定,在否定判断词时,也要否定存在量词. 共 43 页29 类型四 与逻辑联结词全称量词存在量词有关的命题中参 数范围的确定 解题准备:1.由简单命题的真假可判断复合命题的真假,反之, 由复合命题的真假也能判断构成该复合命题的简单命题的 真假.利用简单命题的真假分别求出参数满足的条件,再取 二者的交集即可. 共 43 页30 2.此类题目经常与函数不等式等知识相联系,要注意分类讨 论思想的应用. 【典例4】 已知两个命题 r(x):sinx+cosxm,s(x):x2+mx+10.如果对 xR,r(x)s(x
37、)为假,r(x)s(x)为真,求实数m的取值范 围. 分析 由题意可知,r(x)与s(x)有且只有一个是真命题,所以可 先求出对xR时,r(x),s(x)都是真命题时m的范围,再由 要求分情况讨论出所求m的范围. 共 43 页31 解osx 2sinx 2, 4 当r x 是真命题时,m 2. R,s x 又 对 2 恒成立, 为真命题,即x mx 1 0 有 m 4 0, 2 m 2. r x 2 当 为真 为假时 ,s x, m 2 ,同时m 2或m2,即m 2,当r x 为假, s x 为真时,m 2且 2 m 2,即 2m 2. 综上,实数m的取值范围是m 2或 2m 2. 共 43
38、页32 反思感悟 解决这类问题时,应先根据题目条件,推出每一个 命题的真假(有时不一定只有一种情况),然后再求出每个命 题是真命题时参数的取值范围,最后根据每个命题的真假 情况,求出参数的取值范围. 共 43 页33 错源一错误理解命题的否定 【典例1】 已知命题p:函数f(x)=-(5-2m)x是减函数.若p为真 命题,求实数m的取值范围. 共 43 页34 错解 命题p:f(x)=-(5-2m)x是减函数, p:函数f(x)=-(5-2m)x为增函数, 5 ,05-2m1,21, m0 D.对任意的xR,x3-x2+1”,可能的 错误是“顾此失彼”,忽略了细节. 正解 题目中命题的意思是“
39、对任意的xR,x3-x2+10都成 立”,要否定它,只要能找到至少一个x,使得x3-x2+10即可, 故命题“对任意的xR,x3-x2+10”的否定是“存在 xR,x3-x2+10”,故选C. 答案 C 共 43 页39 评析含有量词的命题的否定方法: 对全称命题的否定,在否定判断词时,还要否定全称量词,变为 特称命题.特别要注意的是,由于有的命题的全称量词往往 可以省略不写,从而在进行命题否定时易将全称命题只否 定判断词,而不否定省略了的全称量词. 共 43 页40 技法 综合法 【典例】 (2010合肥第一次质检)下列命题: xR,不等式x2+2x4x-3均成立; 若log x+log 2
40、2,则x1; 2x c c “若ab0且c0,则 命题; ” 的逆否命题是真 a b 共 43 页41 若命题p:xR,x2+11,命题q:xR,x2-x-10,则命题 pq是真命题.其中真命题为( ) A. C. B. D. 共 43 页42 2 2 2 解由x 2x 4x 3推得x 2x 3 x 1 2 0恒成立, 故正确;根据基本不等式可知要使不等式log x log 22 2x 1 1 成立需要x 1,故正确;由a b 0得0 ,又c 0,可得 a b c c ,则可知其逆否命题为真命题,故正确;命题p是真命题, a b 命题q是真命题,所以p q为假命题.所以选A. 答案 A 共 4
41、3 页43 第二模块 函数 (必修1:第一章 函数概念;第二章 基本 初等函数();第三章 函数的应用) 第四讲 函数及其表示 回归课本 1.函数的概念 设集合A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使 对A中的任意一个数x,在集合B中,都有唯一确定的数f(x)和 它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数,记 作y=f(x),xA.其中x叫做自变量,自变量的取值范围叫做 这个函数的定义域.自变量取值a,则由法则f确定的值y称为 函数在a处的函数值,记作y=f(a).所有函数值构成的集合 y|y=f(x),xA叫做这个函数的值域. 2.构成函数的要素:定义域对应关系值域.
42、3.两个函数的相等 当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数 才是同一个函数. 4.常用的函数表示法 (1)解析法;(2)列表法;(3)图象法. 5.分段函数 在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的 对应法则,这样的函数通常叫做分段函数. 6.映射的概念 设AB是两个非空集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对 于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的 元素y与之对应,那么就称f为从集合A到集合B的一个映射, 记作“f:AB”. 考点陪练 1.下列函数中与函数y x x0 相等的是 x2 2 B.y A.y ( x) x 33 D.y x 2 C.y
43、x 解析:当两个函数的解析式和定义域完全相同时,这两个函数 相等.同时满足这两个条件的只有A,B中x0,C中xR,D中 xR. 答案:A 2.设集合M=x|0 x2,N=y|0y2,则在下面4个图形中,能 表示集合M到集合N的函数关系的有( ) A. C. B. D. 解析:由函数的定义易知成立,故选C. 答案:C 3.下列函数中是相等函数的为 A. f (x) x (x) x(x 1) 2 x 4 B. f (x) , g(x) x 2 x 2 2 C.f x x 2x 1, g t t 2t 1 2 D.f n 2n 1,g n 2n 1 解析:A中f(x)的定义域是x|x0, g(x)的
44、定义域是x|x0或x-1,f(x)与g(x)的定义域不同 ,f(x)与g(x)不是相等函数. 2 x 4 x 2 B中f(x)=的定义域为x|xR,且x2,g(x)的定义 域为R,f(x)与g(x)的定义域不同, f(x)与g(x)不是相等函数. C中f(x)、g(t)虽然自变量用不同的字母表示,但定义域对应 关系都相同,所以f(x)、g(t)表示相同函数. D中f(n)、g(n)的对应关系不同,所以不是相等函数. 所以应选C. 答案:C 评析:根据函数的三要素,从定义域值域对应关系等方面对 所给的函数进行分析判断. 判断两个函数是否相同,只需判断这两个函数的定义域与对 应关系是否相同.即使定
45、义域和值域都分别相同的两个函 数,它们也不一定是相等函数,因为定义域值域不能唯一地 确定函数的对应关系. 此外,两个函数是否相同与自变量用什么字母表示无关. 4.已知集合A=(x,y)|y=f(x),x-1,2,集合B=(x,y)|x=0,则 AB的子集的个数是( ) A.0 C.2 B.1 D.不确定 解析:函数f(x)定义在-1,2上,所以由函数定义知当x=0时有唯 一的y与之对应,即直线x=0与函数图象有唯一交点,故AB 中有一个元素,有2个子集.故选C. 答案:C 5.已知映射f:AB,其中集合B=-2,0,4,10,集合B中的元素都 是集合A中的元素在映射f下的对应元素,且对任意的a
46、A, 在B中和它对应的元素是(a+1)(a-2),那么集合A中元素的 个数最多可能是( ) A.4 C.8 B.6 D.10 解析:当(a+1)(a-2)=10时,得a=4,-3;当(a+1)(a-2)=4时,得a=3,- 2;当(a+1)(a-2)=0时,得a=2,-1;当(a+1)(a-2)=-2时,得a=0,1, 所以根据映射的定义知集合A中元素最多可能有4,-3,3,- 2,2,-1,0,1,一共8个,故选C. 答案:C 类型一函数的基本概念 解题准备:(1)函数是指两个非空数集AB之间的一种对应关 系,它要求集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一的数 f(x)与之对应;(2)两个函
47、数相等是指函数的三要素相同,由 于函数的值域是由定义域和对应关系唯一确定,因此只需 判定定义域与对应关系是否相同即可. 【典例1】 (1)函数y=f(x),xD与直线x=2交点个数为 _. x 1, x 1 1 x, x 1 2 已知命题p :f x x 1 与f x 是相等函数;命题q :f x x 1与f x x 1 是 相等函数,则命题p q是_ 命题 (填“真”或“假”). 解析 (1)当x=2D时,根据函数定义A中任何一个自变量在 B中都有唯一元素和它对应,即有且只有一个交点;当x=2 D时,无交点. (2)命题p中两函数的定义域不同,p是假命题,命题q中两函数 对应关系不同,q也是
48、假命题,所以pq是假命题. 反思感悟 两个函数的定义域值域和对应关系中有一个不 同,它们就不表示相等的函数. 答案 (1)0个或1个 (2)假 类型二求函数的解析式 解题准备:求函数解析式的常用方法有:(1)配凑法;(2)换元法 ;(3)待定系数法;(4)消元法等. 1 x 1 【典例 】 配凑法 已知 求2 1 () f x x 3, f x ; 3 x 2 x 2 (换元法)已知f 1 lgx,求f x ; 3 (待定系数法)已知f x 是一次函数,且满足 3f x 1 2f x 1 2x 17,求f x ; 1 x 4 (方程思想)已知f x 满足2 f (x) f 3x,求f x .
49、3 1 x 1 1 1 3 1 解x3 x3 x , x x x f x x 3x(x 2 x 2). 3 或 222 2 令 1 t(t 1),则x ,f t lg , xt 1 t 1 2 f (x) lg (x 1) . x 1 3 设f x ax b a 0 ,则3f x 1 2f x 1 3ax 3a 3b 2ax 2a 2b ax b 5a 2x 17, a 2, b 7,f x 2x 7. 1 1 4 2f x f 3x,把中的x换成 ,得 x x 1 33 2 f f (x) ,2 得3f x 6x , x xx 1 f x 2x (x 0). x 类型三分段函数 解题准备:(
50、1)对于分段函数,一定要明确自变量所属的范围,以 便于选择与之相应的对应关系; (2)分段函数体现了数学的分类思想,相应的问题处理应分段 解决. x 2, x 2 且f 2 1,则 【典例3】设f x 2 logt(x 1) , x2 f(f( 5 )的值为_ . 分析 先根据f(2)=1求出解析式中参数t的值,再进一步求 f ( f 5 ) 的值. 解析 由于当 时 2 且 x 2 f x log x 1 , f 2 1, t 2 所以log 2 1 1, log 3 1,解得t 3.这时f x tt x 2,2 于是f ( 5) log ( 5) 1 log 4, 2 33 2 log (
