1、数列数列 1、数列中 n a与 n S之间的关系： 1 1 , (1) ,(2). n nn Sn a SSn 注意通项能否合并。 2、等差数列： 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即 n a 1n a=d ， （n2，nN ） ， 那么这个数列就叫做等差数列。 等差中项：若三数aAb、 、成等差数列 2 ab A 通项公式： 1 (1)() nm aandanm d 或( n apnq pq、 是常数）. 前n项和公式： 1 1 1 22 n n n nn aa Snad 常用性质： 若 Nqpnmqpnm,，则 qpnm aaaa； 下标为等差数列的项
2、, 2mkmkk aaa ，仍组成等差数列； 数列ban（b,为常数）仍为等差数列； 若 n a、 n b是等差数列，则 n ka、 nn kapb(k、p是非零常数)、 * ( ,) p nq ap qN 、 ，也成等差数列。 单调性： n a的公差为d，则： ） 0d n a为递增数列； ） 0d n a为递减数列； ） 0d n a为常数列； 数列 n a为等差数列 n apnq（p,q 是常数） 若等差数列 n a的前n项和 n S，则 k S、 kk SS 2 、 kk SS 23 是等差数列。 3、等比数列 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那
3、么这个数 列就叫做等比数列。 等比中项：若三数ab、 G、成等比数列 2 ,Gab（ab同号） 。反之不一定成立。反之不一定成立。 通项公式： 1 1 nn m nm aa qa q 前n项和公式： 1 1 1 11 n n n aq aa q S qq 常用性质 若 Nqpnmqpnm,，则 mnpq aaaa； , 2mkmkk aaa 为等比数列，公比为 k q(下标成等差数列,则对应的项成等比数列) 数列 n a（为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；正项等比数列 n a；则 lg n a是公差为lgq的等差等差数列； 若 n a是等比数列，则 2 nn caa， 1 n a ，
4、( ) r n arZ是等比数列，公比依次是 2 1 . r qqq q ， 单调性： 11 0,10,01aqaq或 n a为递增数列； 11 0,010,1 n aqaqa 或 为递减数列； 1 n qa 为常数列； 0 n qa为摆动数列； 既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。 若等比数列 n a的前n项和 n S，则 k S、 kk SS 2 、 kk SS 23 是等比数列. 4、非等差、等比数列通项公式的求法非等差、等比数列通项公式的求法 类型类型观察法观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析， 寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。 类型类型公
5、式法：公式法：若已知数列的前n项和 n S与 n a的关系，求数列 n a的通项 n a可用 公式 1 1 , (1) ,(2) n nn Sn a SSn 构造两式作差求解。 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二” ，即分段式；另一种是“合二 为一” ，即 1 a和 n a合为一个表达， （要先分1n 和2n两种情况分别进行运算，然后验证 能否统一） 。 类型类型累加法：累加法： 形如形如)( 1 nfaa nn 型的递推数列型的递推数列（其中)(nf是关于n的函数）可构造： 1 12 21 (1) (2) . (1 . ) nn nn aaf n aaf n aaf 将上述1n
6、个式子两边分别相加，可得： 1 (1)(2). (2)(1),(2) n af nf nffan 若( )f n是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; 若( )f n是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; 若( )f n是关于n的二次函数，累加后可分组求和; 若( )f n是关于n的分式函数，累加后可裂项求和. 类型类型累乘法：累乘法： 形如形如 1 ( ) nn aaf n 1 ( ) n n a f n a 型的递推数列型的递推数列（其中)(nf是关于n的函数）可构造： 1 1 2 2 1 (1) ( . 2) (1 . ) n n n n a f n a a f n
7、a a f a 将上述1n个式子两边分别相乘，可得： 1 (1)(2) .(2) (1),(2) n af nf nffan 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 类型类型构造数列法：构造数列法： 形如形如qpaa nn 1 （其中（其中, p q均为常数且均为常数且0p ）型的递推式：型的递推式： （1）若1p 时，数列 n a为等差数列; （2）若0q 时，数列 n a为等比数列; （3 3）若若1p 且且0q时时，数列数列 n a 为线性递推数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法其通项可通过待定系数法构造等比构造等比 数列数列来求来求. .方法有如下两种： 法一：
8、法一：设 1 () nn ap a ,展开移项整理得 1 (1) nn apap ,与题设 1nn apaq 比较系数（待定系数法）得 1 ,(0)() 111 nn qqq pap a ppp 1 () 11 nn qq ap a pp ,即 1 n q a p 构成以 1 1 q a p 为首项， 以p为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式 求出 1 n q a p 的通项整理可得. n a 法二：法二：由qpaa nn 1 得 1 (2) nn apaq n 两式相减并整理得 1 1 , nn nn aa p aa 即 1nn aa 构成以 21 aa为首项，以p为公比的等比数列.求
9、出 1nn aa 的通项再转化为 类型类型（累加法）（累加法）便可求出. n a 形如形如 1 ( ) nn apaf n (1)p 型的递推式型的递推式： 当当( )f n为一次函数类型（即为一次函数类型（即等差数列）时：等差数列）时： 法一法一：设 1 (1) nn aAnBp aA nB ，通过待定系数法确定A B、的值，转化 成以 1 aAB为首项，以p为公比的等比数列 n aAnB，再利用等比数列的通项公 式求出 n aAnB的通项整理可得. n a 法二法二：当( )f n的公差为d时，由递推式得： 1 ( ) nn apaf n ， 1 (1) nn apaf n 两式相减得：
10、11 () nnnn aap aad ，令 1nnn baa 得： 1nn bpbd 转化为类型类型 求出 n b，再用类型类型（累加法）（累加法）便可求出. n a 当当( )f n为指数函数类型（即为指数函数类型（即等比数列）时：等比数列）时： 法一：法一：设 1 ( )(1) nn af np af n ，通过待定系数法确定的值，转化成以 1 (1)af为首项，以p为公比的等比数列( ) n af n，再利用等比数列的通项公式求 出( ) n af n的通项整理可得. n a 法二：法二：当( )f n的公比为q时，由递推式得： 1 ( ) nn apaf n ， 1 (1) nn ap
11、af n ，两边同时乘以q得 1 (1) nn a qpqaqf n ，由两式相 减得 11 () nnnn aa qp aqa ，即 1 1 nn nn aqa p aqa ，在转化为类型类型便可求出. n a 法三法三：递推公式为 n nn qpaa 1 （其中 p，q 均为常数）或 1 n nn aparq （其中 p， q,r 均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以 1n q，得： qq a q p q a n n n n 1 1 1 ，引入引入 辅助数列辅助数列 n b（其中 n n n q a b ） ，得： q b q p b nn 1 1 再应用类型类型的方法解决。 当当(
12、 )f n为任意为任意数列时，可用数列时，可用通法通法： 在 1 ( ) nn apaf n 两边同时除以 1n p 可得到 1 11 ( ) nn nnn aaf n ppp ，令 n n n a b p ，则 1 1 ( ) nn n f n bb p ，在转化为类型类型（累加法（累加法） ，求出 n b之后得 n nn ap b. 类型类型对数变换法：对数变换法： 形如形如 1 (0,0) q nn apapa 型的递推式：型的递推式： 在原递推式 1 q n apa 两边取对数得 1 lglglg nn aqap ，令lg nn ba得： 1 lg nn bqbp ，化归为qpaa n
13、n 1 型，求出 n b之后得10 . n b n a （注意：底数不一定 要取 10，可根据题意选择） 。 类型类型倒数变换法：倒数变换法： 形如形如 11nnnn aapaa （p为常数且0p ）的递推式：的递推式：两边同除于 1nn aa ，转化为 1 11 nn p aa 形式，化归为qpaa nn 1 型求出 1 n a 的表达式，再求 n a； 还有形如还有形如 1 n n n ma a paq 的递推式的递推式，也可采用取倒数方法转化成 1 11 nn mm aq ap 形式，化归为 qpaa nn 1 型求出 1 n a 的表达式，再求 n a. 类型类型形如形如 nnn qa
14、paa 12 型的递推式：型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列 1 nn aa的形式求解。方法为：设 )( 112nnnn kaahkaa ，比较系数得qhkpkh,，可解得h k、，于是 1 nn aka 是公比为h的等比数列，这样就化归为qpaa nn 1 型。 总之， 求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解， 对不能转化为以上方法 求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式. n a 5、非等差、等比数列前非等差、等比数列前n项和公式的求法项和公式的求法 错位相减法错位相减法 若数列 n a为等差数列，数列 n b为等比数列，则数列 nn ab的求和就要采用此法.
15、 将数列 nn ab的每一项分别乘以 n b的公比，然后在错位相减，进而可得到数列 nn ab的前n项和. 此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法. 裂项相消法裂项相消法 一般地，当数列的通项 12 ()() n c a anbanb 12 ( ,a b b c为常数）时，往往可将 n a 变成两项的差，采用裂项相消法求和. 可用待定系数法进行裂项： 设 12 n a anbanb ，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得 21 c bb ，从而可得 122112 11 =(). ()()() cc anbanbbbanbanb 常见的拆项公式有： 111 (1)1n nnn ；
16、 1111 (); (21)(21)2 2121nnnn 11 ();ab abab 1 1 ; mmm nnn CCC !(1)!.n nnn 分组法求和分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个 等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：找通向项公式 由通项公式确定如何分组. 倒序相加法倒序相加法 如果一个数列 n a，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒 着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征： 121 . nn aaaa 记住常见数列的前n项和： (1) 1 23 .; 2 n n n 2 1 35.(21);nn 2222 1 123.(1)(21). 6 nn nn
