1、几何模型：阿氏圆最值模型 【模型来源】 “阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B 两点，点P 满足 PA：PB=k（k1 ），则满足条 件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”. A B P O 【模型建立】 如图1 所示， O 的半径为R，点A、B 都在 O 外 ，P为 O 上一动点，已知R= 2 5 OB， 连接PA 、 PB，则当“ PA+2 5 PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 解决办法： 如图 2，在线段OB 上截取 OC 使 OC= 2 5 R，则可说明 BPO 与PCO 相似，则有 2 5 PB=PC。 故本题
2、求 “PA+ 2 5 PB” 的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值， 其中与 A 与 C 为定点， P 为动点， 故当A、 P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。 【技巧总结】 计算PAk PBg的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形 问题：在圆上找一点P 使得PA k PBg 的值最小，解决步骤具体如下： 1.如图，将系数不为1 的线段两端点与圆心相连即OP，OB 2.计算出这两条线段的长度比 OP k OB 3.在 OB 上取一点C，使得 OC k OP ，即构造 POM BOP，则 PC k PB ，PCk PBg 4.则=PAk PB PAPCACg，当 A、
3、P、C 三点共线时可得最小值 典题探究 启迪思维探究重点 例题 1. 如图，在 RtABC 中， C=90 ，AC=4 ，BC=3，以点 C 为圆心， 2 为半径作圆C，分别交 AC 、BC 于 D、E 两点，点P 是圆 C 上一个动点，则 1 2 PAPB 的最小值为 _ E A B C D P M P D C B A 【分析】这个问题最大的难点在于转化 1 2 PA ，此处 P 点轨迹是圆，注意到圆C 半径为 2， CA=4， 连接 CP，构造包含线段AP 的 CPA，在 CA 边上取点M 使得 CM=2 ， 连接 PM，可得 CPA CMP，故 PA：PM=2:1 ，即 PM= 1 2
4、PA 问题转化为PM+PB BM 最小值，故当B，P，M 三点共线时得最小值，直接连BM 即可得13 变式练习 1如图 1，在 RTABC中， ACB=90 ， CB=4，CA=6，圆 C 的半径为2，点 P为圆上一动点，连接AP ,BP， 求BPAP 2 1 ，BPAP2，BPAP 3 1 ，BPAP3的最小值 . 答案 ： =37 ， =237， = 3 372 ， =2 37. 例题 2. 如图， 点 C 坐标为 (2,5)， 点 A 的坐标为 (7,0)， C 的半径为10,点 B 在 C 上一动点，ABOB 5 5 的最小值为 _. 答案 ： 5. 变式练习 2如图，在平面直角坐标系
5、xoy 中， A(6,-1)，M(4,4) ，以 M 为圆心，22为半径画圆，O 为原点， P是 M 上一动点，则PO+2PA的最小值为 _. 答案 ： 10. 例题 3. 如图，半圆的半径为1， AB 为直径，AC、 BD 为切线，AC 1， BD 2， P 为上一动点， 求PC+PD 的最小值 【解答】解：如图当A、P、D 共线时，PC+PD 最小理由： 连接 PB、CO，AD 与 CO 交于点 M， ABBD4，BD 是切线， ABD 90 ，BAD D45 ， AB 是直径， APB90 ， PABPBA45 ，PAPB，POAB， ACPO2， ACPO，四边形 AOPC 是平行四边
6、形， OAOP，AOP90 ，四边形 AOPC 是正方形， PMPC，PC+PD PM+PD DM， DM CO，此时PC+DP 最小 ADAM2 变式练习 3如图，四边形ABCD 为边长为4 的正方形， B 的半径为2，P 是B 上一动点，则PD+PC 的最小值 为5；PD+4PC 的最小值为10 【解答】解：如图，连接PB、在 BC 上取一点E，使得 BE 1 PB24，BE? BC4，PB2BE?BC， PBECBE， PBE CBE，PD+PCPD+PE， PE+PD DE，在 Rt DCE 中， DE5， PD+PC 的最小值为5 连接 DB，PB，在 BD 上取一点E，使得 BE，
7、连接 EC，作 EFBC 于 F PB24，BE? BD 44，BP2BE?BD， ， PBEPBD ， PBE DBP， ，PEPD， PD+4PC4（PD+PC） 4（PE+PC）， PE+PC EC，在 RtEFC 中， EF，FC，EC， PD+4PC 的最小值为10故答案为5，10 例题 4. 如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆 B 的半径为3，点 P 是圆 B 上的一个动点，则 1 2 PDPC 的 最大值为 _ A BC D P 【分析】 当 P 点运动到BC 边上时， 此时 PC=3，根据题意要求构造 1 2 PC ，在 BC 上取 M 使得此时 PM= 3 2 ， 则在点
8、 P运动的任意时刻，均有 PM= 1 2 PC ，从而将问题转化为求PD-PM 的最大值 连接 PD，对于 PDM， PD-PM DM ，故当 D、 M、P 共线时， PD-PM=DM为最大值 15 2 A BC D P MM P D CB A A BC D P MM P D CB A 变式练习 4 （1）如图 1，已知正方形ABCD 的边长为 9，圆 B 的半径为6，点 P 是圆 B 上的一个动点， 那么 PD+ 的最小值为，PD的最大值为 （2）如图 2，已知菱形ABCD 的边长为4，B60 ，圆 B 的半径为2，点 P 是圆 B 上的一个动点，那么 PD+的最小值为， PD的最大值为 图
9、 1 图 2 【解答】解：（1）如图 3 中，在 BC 上取一点 G，使得 BG 4 ， ， PBG PBC， PBG CBP， ，PGPC， PD+PCDP+PG， DP+PG DG， 当 D、G、P 共线时， PD+PC 的值最小，最小值为DG PDPCPDPG DG， 当点 P 在 DG 的延长线上时，PDPC 的值最大，最大值为DG 故答案为， （2）如图 4 中，在 BC 上取一点G，使得 BG1，作 DFBC 于 F 2，2， ， PBG PBC， PBG CBP， ， PGPC， PD+PCDP+PG， DP+PG DG，当 D、G、P 共线时， PD+PC 的值最小，最小值为D
10、G， 在 RtCDF 中， DCF 60 ，CD4， DF CD?sin60 2，CF2， 在 RtGDF 中， DG PDPCPDPG DG， 当点 P 在 DG 的延长线上时，PDPC 的值最大（如图2 中），最大值为DG 故答案为， 例题 5. 如图，抛物线y=x2+bx+c 与直线 AB 交于 A（ 4， 4）， B（0，4）两点，直线 AC：y= 1 2 x6 交 y 轴于点 C点 E是直线 AB 上的动点，过点E作 EF x 轴交 AC于点 F，交抛物线于点G （1）求抛物线y=x2+bx+c 的表达式； （2）连接 GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G 的坐标； （
11、3）在 y 轴上存在一点H，连接 EH，HF，当点 E运动到什么位置时，以A，E，F，H 为顶点的四边形是 矩形？求出此时点E ， H 的坐标；在的前提下，以点E为圆心， EH长为半径作圆，点M 为 E上一动 点，求 1 2 AM+CM 它的最小值 【解答】解：（1）点 A（ 4， 4）， B（0，4）在抛物线y=x2+bx+c 上， ，抛物线的解析式为y=x22x+4； （2）设直线AB 的解析式为y=kx+n 过点 A， B， ，直线AB的解析式为y=2x+4， 设 E（ m， 2m+4）， G（m， m22m+4）， 四边形 GEOB是平行四边形，EG=OB=4 ， m 22m+42m
12、4=4， m=2， G（ 2，4）； （3）如图1， 由（ 2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，设 E（a，2a+4）， 直线 AC： y= 1 2 x6， F（a， 1 2 a6），设 H（0，p）， 以点 A，E ， F，H 为顶点的四边形是矩形， 直线 AB的解析式为y=2x+4，直线 AC：y= 1 2 x6， ABAC， EF为对角线， 1 2 （ 4+0）= 1 2 （a+a）， 1 2 （ 4+p） = 1 2 （2a+4 1 2 a6）， a=2，P=1， E （ 2，0） H（0， 1）； 如图 2， 由知， E （ 2， 0）， H（0， 1）， A（ 4， 4）， E
13、H=5，AE=25，设 AE交 E于 G，取 EG的中点 P， PE= 5 2 ， 连接 PC交 E于 M，连接 EM， EM=EH=， 5 2 5 PE ME = 1 2 ， 5 2 5 ME AE = 1 2 ， PEME MEAE = 1 2 ， PEM= MEA， PEM MEA， PEME MEAE = 1 2 ， PM= 1 2 AM， 1 2 AM+CM 的最小值 =PC ，设点 P（p，2p+4）， E（ 2，0）， PE 2=（p+2）2+（2p+4）2=5（ p+2）2， PE= 5 2 ， 5（p+2） 2= 5 4 ， p= 5 2 或 p= 3 2 （由于 E （ 2
14、，0），所以舍去），P（ 5 2 ， 1）， C（0， 6）， PC= 5 5 2 ，即： 1 2 AM+CM= 5 5 2 变式练习 5如图 1，抛物线yax2+（a+3）x+3（a0 ）与 x 轴交于点A（4，0），与 y 轴交于点 B，在 x 轴上有一 动点 E （m， 0） （0 m4） ，过点 E 作 x 轴的垂线交直线AB 于点 N， 交抛物线于点P， 过点 P 作 PMAB 于点 M （1）求 a 的值和直线AB 的函数表达式； （2）设 PMN 的周长为C1，AEN 的周长为 C2，若，求 m 的值； （3）如图 2，在（ 2）条件下，将线段OE 绕点 O 逆时针旋转得到OE，
15、旋转角为 （ 0 90 ），连 接 EA、EB，求 EA+E B 的最小值 【解答】解：（1）令 y0，则 ax2+（a+3）x+30， （x+1）（ ax+3） 0， x 1 或， 抛物线 yax2+（a+3） x+3（a0 ）与 x 轴交于点 A（4，0）， 4，aA（4，0）， B（0，3）， 设直线 AB 解析式为y kx+b，则，解得， 直线 AB 解析式为yx+3 （2）如图 1 中， PMAB，PE OA， PMNAEN， PNM ANE， PNM ANE， NE OB，AN（4m）， 抛物线解析式为yx2+ x+3， PNm2+ m+3（m+3）m2+3m， ，解得 m2 （3
16、）如图 2 中，在 y 轴上取一点 M使得 OM，连接 AM，在 AM 上取一点E 使得 OE OE OE2，OM?OB 34， OE 2OM? OB， ， BOEM OE， MOE EOB， ， MEBE ， AE+ BE AE+ EM AM ，此时 AE+ BE 最小 （两点间线段最短，A、M 、E 共线时）， 最小值 AM 达标检测 领悟提升强化落实 1. 如图，在 RTABC中， B=90，AB=CB=2 ，以点 B为圆心作圆与AC相切，圆 C 的半径为2，点 P为 圆 B 上的一动点，求PCAP 2 2 的最小值 . 答案 ：5. 2. 如图，边长为4 的正方形，内切圆记为O，P是
17、O 上一动点，则2PA+PB的最小值为 _. 答案 ：2 5. 3. 如图，等边 ABC的边长为6，内切圆记为O，P是O 上一动点，则2PB+PC的最小值为 _. 答案 ： 3 7 2 . 4. 如图，在 Rt ABC中，C=90，CA=3，CB=4，Ce的半径为 2，点 P是Ce上的一动点， 则 1 2 APPB 的最小值为？ 5. 如图，在平面直角坐标系中，2,0A，0,2B，4,0C，3,2D，P 是 AOB 外部第一象限内的 一动点，且 BPA=135，则 2PDPC的最小值是多少？ 答案 4 2 6. 如图， Rt ABC，ACB90 ，AC BC2，以 C 为顶点的正方形CDEF
18、（C、D、E、F 四个顶点按逆 时针方向排列）可以绕点C 自由转动，且CD，连接 AF，BD （1）求证： BDC AFC； （2）当正方形CDEF 有顶点在线段AB 上时，直接写出BD+AD 的值； （3）直接写出正方形CDEF 旋转过程中， BD+AD 的最小值 【解答】（ 1）证明：如图1 中， 四边形 CDEF 是正方形， CF CD，DCF ACB90 ， ACF DCB， AC CB， FCA DCB（SAS ） （2）解： 如图 2 中，当点 D，E 在 AB 边上时， AC BC2，ACB90 ， AB 2， CDAB， ADBD， BD+AD+1 如图 3 中，当点E，F 在
19、边 AB 上时 BD CF，AD， BD+AD+ （3）如图 4 中取 AC 的中点 M连接 DM ，BM CD， CM1，CA2， CD 2CM?CA， ， DCM ACD， DCM ACD， ， DMAD， BD+ADBD+DM ， 当 B，D，M 共线时， BD+AD 的值最小， 最小值 7. （1）如图 1，在ABC 中， ABAC，BD 是 AC 边上的中线，请用尺规作图做出AB 边上的中线CE，并 证明 BDCE： （2）如图 2，已知点P 是边长为6 的正方形ABCD 内部一动点，P A3，求 PC+PD 的最小值； （3）如图 3，在矩形ABCD 中， AB18，BC25，点
20、M 是矩形内部一动点，MA15，当 MC+MD 最小时，画出点M 的位置，并求出MC+MD 的最小值 【解答】解： （ 1）如图 1 中，作线段AB 的垂直平分线MN 交 AB 于点 E，连接 EC线段 EC 即为所求； AB AC，AEEC，ADCD，AEAD， AB AC，AA，ADAE， BAD CAE（ SAS ）， BDCE （2）如图 2 中，在 AD 上截取 AE，使得 AE PA29， AE? AD 69，PA2AE?AD， ， PAEDAP ， PAE DAP ，PEPD， PC+PD PC+PE， PC+PE EC，PC+PD 的最小值为EC 的长， 在 RtCDE 中， CDE90 ，CD 6，DE， EC，PC+PD 的最小值为 （3）如图 3 中，如图2 中，在 AD 上截取 AE，使得 AE9 MA 2225，AE?AD 9 25225，MA2AE? AE， ， MAE DAM， MAE DAM ， ，MEMD，MC+MDMC+ME， MC+ME EC，MC+MD 的最小值为EC 的长， 在 RtCDE 中， CDE90 ，CD 18，DE 16， EC2， MC+MD 的最小值为2
