1、2020-2021 学年度下期期中考试 高二数学(文)试卷 注意事项： 1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分； 2.本堂考试 120 分钟，满分 150 分； 3.答题前，考生务必先将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并使用 2B 铅笔填涂。 第卷(选择题，共 60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1. 已知集合312Axx ， 2 1Bx x，则AB （） A.( 2, 1)(1,3)B.2, 11,3)C. 1,1D.1,3) 2. 已知复数 4 1 i z i ，则|zi（） A.
2、13 B.2 3C. 15 D. 26 3某班 60 名同学中选出 4 人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将 60 名同学按 01，02， 60 进行编号，然后从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第 4 个同学的编号为（） 0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297 7424 6292 4281 1457 2042 5332 3732 1676 （注：表中的数据为随机数表的第一行和第二行） A24B36C46D47 4命题“若 2 230 xx ，则3x 或1x ”的否定是（） A若 2 230 x
3、x ，则3x 或1x B若 2 230 xx ，则3x 且1x C若 2 230 xx ，则3x 或1x D若 2 230 xx ，则3x 且1x 5设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，/n， 则mn；若/ ，/ ，m，则m；若/m，/n，则/m n其中正确命题的序号 是（） A和B和C和D 6.干支历法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历，是一部深奥的历法。它是用 60 组各不相同的天干 地支标记年月日时的历法。具体的算法如下：先用年份的尾数查出天干，如 2013 年 3 为癸；再用 2013 年 除以 12 余数为 9，9 为巳。那么 2013 年就是癸巳
4、年了。 高二学生李东是甲申年 5 月出生，李东的父亲也是 5 月出生，刚好比他大 27 岁，问李东的父亲是哪一年 出生() A.甲子B.乙丑C.丁巳D.丙卯 7.曲线C的方程为 22 341xy，曲线C经过伸缩变换 3 4 xx yy ，得到新曲线的方程为（） A 22 27641xyB 22 64271xyC 22 1 916 xy D 22 1 34 xy 8.已知函数 322 ( )3f xxmxnxm在1x 处取得极值 0，则mn（） A4B4 或 11C 11D3 或 9 9. 给出如图所示的算法框图，若输出的6n 时，a的取值范围是（） A.(65,665)B.65,665)C.6
5、5,211)D.65,665 10已知 2cosf xxx，xR，若11 20ftft成立， 则实数t的取值范围是() A 2 0, 3 B 2 0, 3 C 2 ,0, 3 D 2 ,00 3 ，U 11 过双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点 2 F的直线在第一、 第四象限交两渐近线分别于,P Q两点， 且90oOPQ，O为坐标原点，若OPQ内切圆的半径为 3 a ，则该双曲线的离心率为（） A 2 B 5 2 C 10 D 10 2 12.已知M为圆上任意一点，若存在不同于点的点，使为不等 于 1 的常数，则点F的坐标为() A.B.C.D. 第卷(非选择题，共
6、90 分) 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡上。 13.已知函数 3 ( )2f xx，则 (2) f 14.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是. 15.某公司招聘员工，甲、乙、丙、丁四人去应聘，最后只有一人被录用关于应聘结果四人说法如下：甲 说“我没有被录用”；乙说“丙被录用”；丙说“丁被录用”；丁说“我没有被录用”，现知道他们只有一人说的 是真话根据以上条件，可以判断被录用的人是. 16.若对任意(1,)x，不等式 1 (ln1)ln x x axex a 恒成立，则a的范围 三、解答题：三、解答题：
7、本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) (1)已知直线l的极坐标方程为2 sin2 4 ，点A的极坐标为 7 2 2, 4 A ，求点A到直线l 的距离 (2)把曲线 22 1: 810160Cxyxy化为极坐标方程 18.(本小题满分 12 分) 已知函数 2 ( )lnf xaxbx，, a bR，函数 ( )f x在 1x 处与直线 1 2 y = -相切 (1)求实数, a b的值；(2)判断函数( )f x在 1 ,e e 上的单调性 19(本小题满分 12 分) 某校 2011 年到 2019 年参加“北约”“华约
8、”考试而获得加分的学生人数（每位学生只能参加“北约”“华约”中 的一种考试）可以通过以下表格反映出来 （为了方便计算，将 2011 年编号为 1，2012 年编号为 2，依此 类推） 年份x123456789 人数y23545781010 (1)求这九年来，该校参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数的平均数和方差； (2)根据最近五年的数据，利用最小二乘法求出y与x的线性回归方程，并依此预测该校 2020 年参加“北 约”“华约”考试而获得加分的学生人数 （最终结果精确至个位） 参考数据：回归直线的方程是y bxa $ ，其中 1 2 2 1 1 2 1 n ii i nn i n i
9、i i i i i x ynxy b n xx xx y xx y ， aybx 9 5 293 ii i x y ， 9 2 5 255 i i x 20.(本小题满分 12 分) 如图，在三棱柱 111 ABCABC中，四边形 11 B BCC是菱形， 1 60B BC ，ABBC， 1 ABBB，D 为棱BC的中点. (1)求证：平面 1 AB D 平面ABC； (2)若2ABBC，求点C到平面 1 AB D的距离. 21.(本小题满分 12 分) 已知直线 12 ,l l分别于抛物线 2 yx相切于,A B两点 (1)若点A的坐标为(1, 1)，求直线 1 l的方程； (2)若直线 1
10、 l与 2 l的交点为P，且点P在圆 22 (2)1xy上，设直线 12 ,l l与y轴分别交于点,M N，求 | | MN AB 的取值范围 22.(本小题满分 12 分) 已知函数. (1)讨论函数极值点的个数；(2)若有两个零点，证明：. 2020-2021 学年度下期期中考试 高二数学(文)参考答案 一、选择题： 1-12：BACDACDCBBBA 二、填空题： 13.1214. 1 9 15.甲16.1, 三、解答题 17.(1) 5 2 2 ；(2)28cos10sin160 18.(1) 1 1, 2 ab;(2)增区间 1 ,1 e ，减区间1, e 19 【详解】 （1）由表
11、格中的数据，利用平均数的计算公式，可得 23 54578 10 10 6 9 由方差的公式，可得 222 2 168 263 6106 99 s （2）由表中近五年的数据知， 7x ，8y ， 9 5 293 ii i x y ， 9 2 5 255 i i x ， 9 5 9 2 2 5 5 2935 7 8 1.3 2555 49 5 ii i i i x yxy b xx ， 又aybx，所以 8 1.3 71.1a ， 故 y 与 x 的线性回归方程为 1.31.1yx ，当10 x 时，1.3 10 1.1 11.912y ， 故估计该校 2020 年参加“北约”“华约”考试而获得加
12、分的学生有 12 人 20 【详解】 （1）证明：设2BCa. 四边形 11 B BCC是菱形，D为棱BC的中点， 1 2BCBBa， 1 2 BDBCa. 在 1 BB D中， 11 60B BDB BC ， 由余弦定理得 222 1111 2cosB DBDBBBD BBB BD，解得 1 3B Da. 222 11 BDB DBB， 1 90BDB ，即 1 B DBC. ABBC， 1 ABBB，且 1 BCBBB， AB平面 1 BDB. 1 B D 平面 1 BDB， 1 ABB D. 1 ABB D， 1 B DBC，且AB BCB， 1 B D平面ABC. 1 B D 平面 1
13、 AB D，平面 1 AB D 平面ABC； （2）由2ABBC和（1）知 1 3B D ， 1 B D 平面ABC， 1 B D是点 1 B到平面ABC的距离. AD Q平面ABC， 1 B DAD，则 1 AB D是以 1 AB为斜边的直角三角形， ABBC，2ABBC，点D为棱BC的中点， 22 5ADBDAB ， ACD的面积1 2 ACD CDAB S ， 1 AB D的面积 1 1 15 22 AB D ADDB S . 设点C到平面 1 AB D的距离为h，则 11 CAB DBACD VV . 1 1 11 33 AB DACD ShSB D ，解得 2 5 5 h .点C到平
14、面 1 AB D的距离为 2 5 5 . 21. 【详解】 （1）由题意知直线 l1，l2的斜率一定存在，设直线 l1：y+1k（x1） ，与抛物线方程联立， 得 ky2yk10由1+4k（k+1）0，得 1 2 k ，则 l1的方程为 11 22 yx （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，设直线 l1： 11 yyk xx ，与抛物线方程 y2x 联立，得 22 11 +0kyy yy k 由 2 11 140k yy k ，解得 1 1 2 k y ，所以直线 1 11 : 2 xx ly y ，同理得直线 2 22 : 2 xx ly y ， 则 1 (0,) 2 y M，
15、 2 (0,) 2 y N 设点 P（x0，y0） ，代入可得 01 10 02 20 2 2 xx y y xx y y ，则直线 AB 方程为 0 0 2 xx y y 与抛物线方程联立，得 y22y0y+x00，则有 y1+y22y0，y1y2x0 则 12 1 | 2 MNyy， 2 012 |41|AByyy，所以 2 0 |1 | 2 41 MN AB y 又点 P 在圆（x+2）2+y21 上，所以 0 11y ，即 2 0 01y，所以 2 0 |15 1 , |10 2 2 41 MN AB y . 所以 | | MN AB 的取值范围为 5 1 , 102 . 22【详解】 （1）由，得， 当时，函数在 R 上单调递增，没有极值点； 当时，令，即，解得， 当时，函数在上单调递减， 当时，函数在上单调递增， 所以当时，函数有且只有一个极小值点. 综上所述，当时，函数没有极值点， 当时，有一个极值点. (2)证明：由(1)可知，当时，有一个极小值点， 且极小值为 当时，函数没有零点； 当时，函数只有一个零点； 当时， 又因为， 所以存在，使； 又， 所以存在，使， 所以当时，有两个零点. 记， 则， 记， 则， 因为，所以，所以， 所以在单调递增， 从而， 即恒成立，故原不等式得证.
