1、4.4三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 考试要求1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助 图象理解正弦函数、余弦函数在0,2上、正切函数在 2， 2 上的性质 1用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数 ysin x， x0,2的图象中， 五个关键点是： (0,0)， 2，1， (， 0)， 3 2 ，1 ， (2，0) (2)在余弦函数 ycos x， x0,2的图象中， 五个关键点是： (0,1)， 2，0， (， 1)， 3 2 ，0 ， (2，1) 2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 kZ) 函数ysin xyc
2、os xytan x 图象 定义域RR x|xk 2 值域1,11,1R 周期性22 奇偶性奇函数偶函数奇函数 递增区间2k 2，2k 2 2k，2kk 2，k 2 递减区间2k 2，2k 3 2 2k，2k 对称中心(k，0)k 2，0 k 2 ，0 对称轴方程xk 2 xk 微思考 1正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？ 提示正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为 半个周期 2函数 f(x)Asin(x)(A0，0)是奇函数，偶函数的充要条件分别是什么？ 提示(1)f(x)为偶函数的充要条件是 2k(kZ)； (2)
3、f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ) 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)正切函数 ytan x 在定义域内是增函数() (2)已知 yksin x1，xR，则 y 的最大值为 k1.() (3)ysin|x|是偶函数() (4)由 sin 6 2 3 sin 6知， 2 3 是正弦函数 ysin x(xR)的一个周期() 题组二教材改编 2函数 f(x)2tan 2x 6 的定义域是() A. xR|x 6 B. xR|x 12 C. xR|xk 6kZ D. xR|x k 2 6kZ 答案D 解析由 2x 6k 2，kZ， 得 xk 2 6，kZ. 3
4、下列函数中，是奇函数的是() Ay|cos x1|By1sin x Cy3sin(2x)Dy1tan x 答案C 解析选项 A 中的函数是偶函数，选项 B，D 中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；因为 y3sin(2x)3sin 2x，所以是奇函数，选 C. 4函数 f(x)cos 2x 4 的最小正周期是_ 答案 题组三易错自纠 5(多选)已知函数 f(x)sin x 2 (xR)，下列结论正确的是() A函数 f(x)的最小正周期为 2 B函数 f(x)在区间 0， 2 上单调递增 C函数 f(x)的图象关于直线 x0 对称 D函数 f(x)是奇函数 答案ABC 解析由题意，可得 f(x)
5、cos x， 对于选项 A，T2 1 2，所以选项 A 正确； 对于选项 B，ycos x 在 0， 2 上单调递减，所以函数 f(x)在区间 0， 2 上单调递增，所以选 项 B 正确； 对于选项 C，f(x)cos(x)cos xf(x)，所以函数是偶函数，所以其图象关于直线 x 0 对称，所以选项 C 正确；选项 D 错误故选 ABC. 6函数 ytan x 4 的图象的对称中心是_ 答案 k 2 4，0，kZ 解析由 x 4 k 2 ，kZ， 得 xk 2 4，kZ， 对称中心是 k 2 4，0，kZ. 题型一 三角函数的定义域和值域 例 1 (1)函数 y sin xcos x的定义
6、域为_ 答案 2k 4，2k 5 4 (kZ) 解析要使函数有意义，必须使 sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0,2上 y sin x 和 ycos x 的图象，如图所示 在0,2内，满足 sin xcos x 的 x 为 4， 5 4 ，再结合正弦、余弦函数的周期是 2，所以原函数 的定义域为 x|2k 4x2k 5 4 ，kZ . (2)当 x 6， 7 6 时，函数 y3sin x2cos2x 的值域为_ 答案 7 8，2 解析因为 x 6， 7 6 ，所以 sin x 1 2，1. 又 y3sin x2cos2x3sin x2(1sin2x) 2 sin x1 4 2
7、7 8， 所以当 sin x1 4时，y min7 8，当 sin x 1 2或 sin x1 时，ymax2.即函数的值域为 7 8，2. 思维升华 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型 (1)形如 yasin xbcos xc 的三角函数化为 yAsin(x)c 的形式，再求值域(最值) (2)形如 yasin2xbsin xc 的三角函数，可先设 sin xt，化为关于 t 的二次函数求值域(最值) (3)形如 yasin xcos xb(sin xcos x)c 的三角函数，可先设 tsin xcos x，化为关于 t 的二 次函数求值域(最值) 跟踪训练 1 (1)函数 f(
8、x)ln(cos x)的定义域为() A. k 2，k 2 ，kZ B(k，k)，kZ C. 2k 2，2k 2 ，kZ D(2k，2k)，kZ 答案C 解析由题意知，cos x0， 2k 2x2k 2，kZ， 函数 f(x)的定义域为 2k 2，2k 2 ，kZ. (2)函数 ysin xcos xsin xcos x 的值域为_ 答案 12 2 2 ，1 解析设 tsin xcos x， 则 t2sin2xcos2x2sin xcos x， sin xcos x1t 2 2 ， 且 2t 2. yt 2 2t 1 2 1 2(t1) 21，t 2， 2 当 t1 时，ymax1；当 t 2
9、时，ymin12 2 2 . 函数的值域为 12 2 2 ，1 . 题型二 三角函数的周期性与对称性 1下列函数中，是周期函数的为() Aysin|x|Bycos|x| Cytan|x|Dy(x1)0 答案B 解析cos|x|cos x，ycos|x|是周期函数其余函数均不是周期函数 2函数 ysin x 4 的对称轴为_，对称中心为_ 答案x3 4 k，kZ 4k，0，kZ 解析由 x 4 2k，kZ，得 x 3 4 k，kZ，由 x 4k，kZ，得 x 4k，kZ. 故函数 ysin x 4 的对称轴为 x3 4 k，kZ；对称中心为 4k，0，kZ. 3若函数 f(x)2tan kx 3
10、 的最小正周期 T 满足 1T2，则自然数 k 的值为_ 答案2 或 3 解析由题意得 1 k2，kN， 2k，kN，k2 或 3. 4若函数 f(x)(f(x)的值不恒为常数)满足以下两个条件：f(x)为偶函数；对于任意的 xR， 都有 f 3xf 3x.则其解析式可以是 f(x)_.(写出一个满足条件的解析式即可) 答案cos 3x(答案不唯一) 解析因为对于任意的 xR，都有 f 3xf 3x， 所以函数的图象关于直线 x 3对称 又由于函数为偶函数， 所以函数的解析式可以为 f(x)cos 3x. 因为 f(x)cos(3x)cos 3xf(x)， 所以函数 f(x)是偶函数 令 3x
11、k，kZ，xk 3 ，kZ， 所以函数 f(x)的图象关于直线 x 3对称 思维升华 (1)三角函数周期的一般求法 公式法； 不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期 (2)对于可化为 f(x)Asin(x)(或 f(x)Acos(x)形式的函数，如果求 f(x)的对称轴，只 需令x 2k(kZ)(或令xk(kZ)，求 x 即可；如果求 f(x)的对称中心的横坐 标，只需令xk(kZ)(或令x 2k(kZ)，求 x 即可 (3)对于可化为 f(x)Atan(x)形式的函数，如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令x k 2 (kZ)，求 x 即可 题型三 三角函数的单调性 命题
12、点 1求三角函数的单调区间 例 2 (1)(2019全国)下列函数中，以 2为周期且在区间 4， 2 上单调递增的是() Af(x)|cos 2x|Bf(x)|sin 2x| Cf(x)cos|x|Df(x)sin|x| 答案A 解析A 中，函数 f(x)|cos 2x|的周期为 2，当 x 4， 2 时，2x 2，函数 f(x)单调递增， 故 A 正确；B 中，函数 f(x)|sin 2x|的周期为 2，当 x 4， 2 时，2x 2，函数 f(x)单调 递减，故 B 不正确；C 中，函数 f(x)cos|x|cos x 的周期为 2，故 C 不正确；D 中，f(x) sin|x| sin
13、x，x0， sin x，x0， 由正弦函数图象知，在 x0 和 x0)的单调区间时，要视“x”为一个整 体，通过解不等式求解但如果0，可借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错 (2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解 跟踪训练 2 (1)(2021广东省七校联考)函数 f(x)tan x 2 6 的单调递增区间是() A. 2k2 3 ，2k4 3 ，kZ B. 2k2 3 ，2k4 3 ，kZ C. 4k2 3 ，4k4 3 ，kZ D. 4k2 3 ，4k4 3 ，kZ 答案B 解析由 2k x 2 6 2k，kZ， 得 2k2 3 x2k4 3
14、，kZ， 所以函数 f(x)tan x 2 6 的单调递增区间是 2k2 3 ，2k4 3 ，kZ，故选 B. (2)(2020河北省中原名校联盟联考)若函数 f(x)3sin x 10 2 在区间 2，a上单调， 则实数 a 的最大值是_ 答案 7 5 解析方法一令 2k 2x 102k 3 2 ，kZ，即 2k2 5 x2k7 5 ，kZ，所以 函数 f(x)在区间 2 5 ，7 5 上单调递减，所以 a 的最大值为7 5 . 方法二因为 2xa，所以 2 10 x 10a 10， 又 f(x)在 2，a上单调， 2 10a 10 3 2 ，即 2a 7 5 ，所以 a 的最大值为7 5
15、. 课时精练课时精练 1函数 y 3sin 2xcos 2x 的最小正周期为() A. 2 B.2 3 CD2 答案C 解析y2 3 2 sin 2x1 2cos 2x2sin 2x 6 ，T2 2 . 2函数 ytan 4x的定义域是() A. x|x 4 B. x|x 4 C. x|xk 4kZ D. x|xk 3 4 kZ 答案D 解析ytan 4xtan x 4 ，由 x 4 2k(kZ)，得 xk 3 4 (kZ)故选 D. 3函数 f(x)sin 2x 4 在区间 0， 2 上的最小值为() A1B 2 2 C. 2 2 D0 答案B 解析由已知 x 0， 2 ，得 2x 4 4，
16、 3 4 ， 所以 sin 2x 4 2 2 ，1 ， 故函数 f(x)sin 2x 4 在区间 0， 2 上的最小值为 2 2 .故选 B. 4函数 f(x)sin xcos x 的单调递减区间是() A. k3 4 ，k (kZ) B. k 4，k 3 4 (kZ) C. 2k 4，2k 2 (kZ) D. k 4，k 2 (kZ) 答案B 解析f(x)sin xcos x1 2sin 2x， 由 22k2x2k 3 2 ，kZ， 得 4kxk 3 4 ，kZ， 函数 f(x)sin xcos x 的单调递减区间是 k 4，k 3 4 (kZ) 5(多选)已知函数 f(x)sin 2x2s
17、in2x1 在0，m上单调递增，则 m 的可能值是() A. 4 B. 2 C.3 8 D 答案AC 解析由题意，得 f(x)sin 2xcos 2x 2sin 2x 4 ，由 22k2x 4 22k(kZ)， 解得 8kx 3 8 k(kZ)，当 k0 时， 8x 3 8 ，即函数 f(x)在 8， 3 8 上单调递 增因为函数 f(x)在0，m上单调递增，所以 0 解析因为 ysin x 在 2，0上单调递增且 18 10 2，故 sin 18 sin 10 . 8(2019全国)函数 f(x)sin 2x3 2 3cos x 的最小值为_ 答案4 解析f(x)sin 2x3 2 3cos
18、 x cos 2x3cos x2cos2x3cos x1， 令 tcos x，则 t1,1，f(t)2t23t1. 又函数 f(t)图象的对称轴 t3 41,1，且开口向下， 当 t1 时，f(t)有最小值4. 综上，f(x)的最小值为4. 9(2018北京)设函数 f(x)cos x 6 (0)若 f(x)f 4 对任意的实数 x 都成立，则的最 小值为_ 答案 2 3 解析f(x)f 4 对任意的实数 x 都成立， 当 x 4时，f(x)取得最大值， 即 f 4 cos 4 6 1， 4 62k，kZ， 8k2 3，kZ. 0，当 k0 时，取得最小值2 3. 10(2021合肥调研)已知
19、函数 f(x)|tan 1 2x 6 |，则下列说法正确的是_(填序号) f(x)的周期是 2； f(x)的值域是y|yR，且 y0； 直线 x5 3 是函数 f(x)图象的一条对称轴； f(x)的单调递减区间是 2k2 3 ，2k 3 ，kZ. 答案 解析函数 f(x)的周期为 2， 错； f(x)的值域为0， )， 错； 当 x5 3 时， 1 2x 6 2 3 k 2 ， kZ， x5 3 不是 f(x)的对称轴， 错； 令 k 2 1 2x 6k， kZ， 可得 2k 2 3 x2k 3， kZ， f(x)的单调递减区间是 2k2 3 ，2k 3 ，kZ，正确 11已知函数 f(x)s
20、in(2x)sin 3 2 x 3cos2x 3. (1)求 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程； (2)当 x 0，7 12 时，求 f(x)的最小值和最大值 解(1)由题意， 得 f(x)(sin x)(cos x) 3cos2x 3 sin xcos x 3cos2x 3 1 2sin 2x 3 2 (cos 2x1) 3 1 2sin 2x 3 2 cos 2x 3 2 sin 2x 3 3 2 ， 所以 f(x)的最小正周期 T2 2 ； 令 2x 3k 2(kZ)， 得 xk 2 5 12(kZ)， 故所求图象的对称轴方程为 xk 2 5 12(kZ) (2)当 0 x7 12
21、时， 32x 3 5 6 ， 由函数图象(图略)可知， 3 2 sin 2x 3 1. 即 0sin 2x 3 3 2 2 3 2 . 故 f(x)的最小值为 0，最大值为2 3 2 . 12已知函数 f(x)4tan xsin 2xcos x 3 3. (1)求 f(x)的定义域与最小正周期； (2)讨论 f(x)在区间 4， 4 上的单调性 解(1)f(x)的定义域为 x|x 2k，kZ. f(x)4tan xcos xcos x 3 3 4sin xcos x 3 3 4sin x 1 2cos x 3 2 sin x 3 2sin xcos x2 3sin2x 3 sin 2x 3(1
22、cos 2x) 3 sin 2x 3cos 2x2sin 2x 3 . 所以 f(x)的最小正周期 T2 2 . (2)令 z2x 3， 函数 y2sin z 在 z 22k， 22k，kZ 上单调递增 由 22k 2x 3 22k，kZ， 得 12kx 5 12k，kZ. 设 A 4， 4 ， B x| 12kx 5 12k，kZ， 易知 AB 12， 4 . 所以当 x 4， 4 时，f(x)在区间 12， 4 上单调递增，在区间 4， 12 上单调递减 13(2019全国)关于函数 f(x)sin|x|sin x|有下述四个结论： f(x)是偶函数； f(x)在区间 2，上单调递增； f
23、(x)在，上有 4 个零点； f(x)的最大值为 2. 其中所有正确结论的编号是() ABCD 答案C 解析f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x)，f(x)为偶函数，故正确；当 2x0)的一个最大值点和一个最小值点，则 m 的取值范围是_ 答案 8 15 15 ， 解析化简 f(x)2sin2 mx 5 12 3cos 2 m x 3 得 f(x)2sin 2x m 1， 所以， 函数 f(x)的图象 靠近圆心(0,1)的最大值点为 m 4，3，最小值点为 m 4 ，1 . 所以只需 m 4 2312m2， m 4 2112m2， 解得 m8 15 15 . 16(
24、2018北京)已知函数 f(x)sin2x 3sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)若 f(x)在区间 3，m上的最大值为3 2，求 m 的最小值 解(1)f(x)sin2x 3sin xcos x 1 2 1 2cos 2x 3 2 sin 2x sin 2x 6 1 2， 所以 f(x)的最小正周期为 T2 2 . (2)由(1)知，f(x)sin 2x 6 1 2. 由题意知 3xm，所以 5 6 2x 62m 6. 要使得 f(x)在区间 3，m上的最大值为3 2， 即 sin 2x 6 在区间 3，m上的最大值为 1， 所以 2m 6 2，即 m 3. 所以 m 的最小值为 3.
