1、2.6函数的图象函数的图象 考试要求1.在实际情境中， 会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、 列表法、 解析法) 表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不 等式解的问题 1利用描点法作函数图象的方法步骤 2利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)伸缩变换 yf(x) a1，横坐标缩短为原来的 1 a 倍，纵坐标不变 0a1，纵坐标伸长为原来的 a 倍，横坐标不变 0a0 且 a1) 关于 yx 对称 ylogax(a0 且 a1) (4)翻折变换 yf(x) 保留 x 轴上方图象 将 x 轴下方图象翻折上去 y|f(x)|. yf
2、(x) 保留 y 轴右边图象，并作其 关于 y 轴对称的图象 yf(|x|) 微思考 1函数 f(x)的图象关于直线 xa 对称，你能得到 f(x)解析式满足什么条件？ 提示f(ax)f(ax)或 f(x)f(2ax) 2函数 yf(x)和 yf(2x)的图象有什么关系？ 提示yf(x)与 yf(2x)的图象关于 x1 对称 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数 yf(1x)的图象，可由 yf(x)的图象向左平移 1 个单位长度得到() (2)当 x(0，)时，函数 y|f(x)|与 yf(|x|)的图象相同() (3)函数 yf(x)的图象关于 y 轴
3、对称即函数 yf(x)与 yf(x)的图象关于 y 轴对称() (4)若函数 yf(x)满足 f(1x)f(1x)，则函数 yf(x)的图象关于直线 x1 对称() 题组二教材改编 2下列图象是函数 y x2，x0， x1，x0 的图象的是() 答案C 解析其图象是由 yx2图象中 x0 的部分和 yx1 图象中 x0 的部分组成 3在 2 h 内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加； 停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量 Q 随时间 t 变化的图象 是() 答案B 解析依题意，在 2 h 内血液中药物含量 Q 持续增加，停止注射后，Q
4、呈指数衰减，图象 B 适合 4.已知函数 f(x)在 R 上单调且其部分图象如图所示，若不等式2f(xt)4 的解集为(1,2)， 则实数 t 的值为_ 答案1 解析由图象可知不等式2f(xt)4 即为 f(3)f(xt)f(0)，故 xt(0,3)，即不等式的解 集为(t，3t)，依题意可得 t1. 题组三易错自纠 5函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度，所得到的图象与函数 yex的图象关于 y 轴对称， 则 f(x)等于() Aex 1 Bex 1 Ce x1 De x1 答案D 解析依题意 f(x)的图象可由 yex的图象关于 y 轴对称后，再向左平移 1 个单位长度得到 yex
5、 关于 y 轴对称 ye x 向左平移 1 个单位长度 ye (x1)ex1， f(x)e x1. 6将函数 f(x)2x3 的图象向右平移 3 个单位长度后得到函数 g(x)的图象，则函数 g(x) _. 答案2x3 解析g(x)2(x3)32x3. 题型一 作出函数的图象 例 1 作出下列函数的图象： (1)y2x 11； (2)y|lg(x1)|； (3)yx2|x|2. 解(1)将 y2x的图象向左平移 1 个单位长度，得到 y2x 1的图象，再将所得图象向下平移 1 个单位长度，得到 y2x 11 的图象，如图所示 (2)首先作出 ylg x 的图象，然后将其向右平移 1 个单位长度
6、，得到 ylg(x1)的图象，再 把所得图象在 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上方，即得所求函数 y|lg(x1)|的图象，如图所 示(实线部分) (3)yx2|x|2 x2x2，x0， x2x2，x0，排除 BC.故选 D. (2)如图可能是下列哪个函数的图象() Ay2xx21 By2 xsin x 4x1 Cy(x22x)ex Dy x ln x 答案C 解析函数的定义域为 R，排除 D； 当 x0，A 中，x1 时，y2 1113 20，排除 D，当 x 时，3x，则 f(x)，排除 C，选项 B 符合 (2)设函数 f(x)2x，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是() Ayf(|
7、x|)By|f(x)| Cyf(|x|)Dyf(|x|) 答案C 解析题图中是函数 y2 |x|的图象， 即函数 yf(|x|)的图象，故选 C. 题型三 函数图象的应用 命题点 1研究函数的性质 例 3 已知函数 f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是() Af(x)是偶函数，单调递增区间是(0，) Bf(x)是偶函数，单调递减区间是(，1) Cf(x)是奇函数，单调递减区间是(1,1) Df(x)是奇函数，单调递增区间是(，0) 答案C 解析将函数 f(x)x|x|2x 去掉绝对值，得 f(x) x22x，x0， x22x，x0， 2|x|，x0， 则函数 y2f2(x)3f(x)1 的
8、零点个数是_ 答案5 解析方程 2f 2(x)3f(x)10 的解为 f(x)1 2或 1. 作出 yf(x)的图象，由图象知零点的个数为 5. (2)设奇函数 f(x)在(0，)上单调递增，且 f(1)0，则不等式fxfx x 0 的解集为() A(1,0)(1，)B(，1)(0,1) C(，1)(1，)D(1,0)(0,1) 答案D 解析因为 f(x)为奇函数， 所以不等式fxfx x 0 可化为fx x 0， 即 xf(x)g(x)恒成立，则实数 k 的取值范围是_ 答案 1，1 2 解析如图作出函数 f(x)的图象， 当1k1 2时， 函数 g(x)kx 的图象恒在函数 f(x)图象的
9、下方 思维升华 (1)利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值 域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系 (2)利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程 f(x)g(x)的根就是函数 f(x)与 g(x)图象交点的横坐标；不等式 f(x)0，且 a1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是 _ 答案(1，) 解析函数 f(x)的零点的个数就是函数 yax(a0， 且 a1)与函数 yxa 的图象的交点的个 数， 如图， 当 a1 时， 两函数图象有两个交点； 当 0a1. (2)已知函数
10、 yf(x)的图象是圆 x2y22 上的两段弧，如图所示，则不等式 f(x)f(x)2x 的解集是_ 答案(1,0)(1， 2 解析由图象可知，函数 f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为 f(x)x. 在同一平面直角坐标系中分别画出 yf(x)与 yx 的图象， 由图象可知不等式的解集为(1,0)(1， 2 课时精练课时精练 1函数 yex的图象() A与 yex的图象关于 y 轴对称 B与 yex的图象关于坐标原点对称 C与 ye x的图象关于 y 轴对称 D与 ye x的图象关于坐标原点对称 答案D 解析由点(x，y)关于原点的对称点是(x，y)，可知 D 正确 2函数 f(x)(2x
11、2 x)ln|x|的图象大致为( ) 答案B 解析f(x)的定义域为x|x0，且 f(x)(2 x2x)ln|x|(2x2x)ln|x|f(x)，f(x)为偶 函数，关于 y 轴对称，排除 D；当 x(0,1)时，2x2 x0，ln|x|0，可知 f(x)0 或 m 1 时，直线 ym 与函数 yx22|x|的图象有两个交点，即函数 f(x)x22|x|m 有两个 零点 11已知函数 f(x) 3 x，x0， x24x，x4 时，方程无实数根， 当 a4 或 a0 时方程有 1 个实数根， 当 1a4 时，方程有 2 个实数根， 当 00 在 R 上恒成立，求 m 的取值范围 解(1)令 F(
12、x)|f(x)2|2x2|，G(x)m，画出 F(x)的图象如图所示 由图象可知，当 m0 或 m2 时，函数 F(x)与 G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解； 当 0m0)，H(t)t2t， 因为 H(t) t1 2 21 4在区间(0，)上单调递增， 所以 H(t)H(0)0. 因此要使 t2tm 在区间(0，)上恒成立，应有 m0， 即所求 m 的取值范围为(，0 13.如图，圆与两坐标轴分别切于 A，B 两点，圆上一动点 P 从 A 开始沿圆周按逆时针方向匀 速旋转回到 A 点，则与OBP 的面积随时间变化的图象相符合的是() 答案A 解析OBP 中，OBr 是一个定值， OB
13、P 的面积由点 P 到 x 轴的距离 h 确定当 P 由 A 点逆时针旋转到 A 时，点 P 到 x 轴 的距离先减小到 0，再逐渐增大，最大为 2r，然后由 2r 逐渐减小到 r，故选 A. 14(2021济南模拟)若直角坐标系内 A，B 两点满足： (1)点 A，B 都在 f(x)图象上；(2)点 A，B 关于原点对称，则称点对(A，B)是函数 f(x)的一个“和 谐点对”， (A， B)与(B， A)可看作一个“和谐点对” 已知函数 f(x) x22xx0， 2 exx0， 则 f(x) 的“和谐点对”有() A1 个B2 个C3 个D4 个 答案B 解析作出函数 yx22x(x0)的图
14、象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分)， 看它与函数 y2 ex(x0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为 2，即 f(x)的“和谐点对”有 2 个 15 (2020太原调研)已知函数 g(x) 1 2 |x1|， h(x)cos x， 当 x(2,4)时， 函数 g(x)与 h(x) 的交点横坐标分别记为 xi(i1,2，n)，则错误错误!i等于() A5B6C7D8 答案C 解析易知 g(x) 1 2 |x1|的图象关于 x1 对称，h(x)cos x 的图象关于 x1 对称作出 两个函数的图象，如图所示 根据图象知，两函数有 7 个交点，其中一个点的横坐标为 x1，另外 6
15、个交点关于直线 x1 对称，因此错误错误!i3217. 16.如图，函数 yf(x)的图象由曲线段 OA 和直线段 AB 构成 (1)写出函数 yf(x)的一个解析式； (2)提出一个能满足函数 yf(x)的图象变化规律的实际问题 解(1)当 0 x2 时，曲线段 OA 类似指数函数 y2x，由 O(0,0)，A(2,3)可知 f(x)2x1， 当 2x5 时， 设直线段 AB 的解析式为 yaxb， 将 A(2,3)， B(5,0)代入直线段 AB 的解析式， 得 32ab， 05ab， 解得 a1， b5， 此时 yx5， 所以 f(x) 2x1，0 x2， x5，2x5. (2)答案不唯一，合理即可 离上课时间还有 5 分钟时，小明用了 2 分钟急速跑(先慢后快)到距离教室 3 百米的操场找小 华来上课，然后两个人用了 3 分钟时间匀速走到教室
