1、大一轮复习讲义 2.4指数与指数函数 第二章函数概念与基本初等函数 考试要求 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂 的运算性质. 2.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工 具画指数函数的图象. 3.理解指数函数的单调性，特殊点等性质，并能简单应用. 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心探究核心探究 课时精练课时精练 内容 索引 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 1.根式根式 (1)根式的概念 知识梳理 根式的概念符号表示备注 如果 ，那么x叫做a的n次实数方根 n1且nN* 当n为奇数时，正
2、数的n次实数方根是一个 ，负数的n次实数方根是一个_ 0的n次实数方 根是0 当n为偶数时，正数的n次实数方根有 ， 它们互为_ 负数没有偶次 方根 axn 正数负数 两个 相反数 (2)两个重要公式 (n为奇数)， |a| (a0)， (a0，m，nN*，n1)； m n a 1 m n a 0的正分数指数幂是 ,0的负分数指数幂没有意义.0 正数的负分数指数幂是 (a0，m，nN*，n1)； (2)有理指数幂的运算性质 asat (a0，t，sQ)； (as)t (a0，t，sQ)； (ab)t (a0，b0，tQ). ast ast atbt 3.指数函数及其性质指数函数及其性质 (1)
3、概念：函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量， 函数的定义域是R，a是底数. (2)指数函数的图象与性质 a10a0时， ； 当x0时，_ 当x0时，_ 在(，)上是_ 在(，)上是_ (0,1) y1 0y1 0y0且a1. 2.如图所示是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，则 a，b，c，d与1之间的大小关系是什么？ 提示cd1ab0. 微思考 题组一思考辨析题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1) 4.() (2)2a2b2ab.() (3)函数y32x与y2x1都不是指数函数.() (4)若am0，
4、且a1)，则mn.() 基础自测 题组二教材改编题组二教材改编 2.化简 (x0，y0且a1)的图象恒过定点_. (1,3) 4.已知a ，b ，c ，则a，b，c的大小关系是_. cb1时，f(x)ax为增函数， 则a12，a2满足题意， 当0a0，b0) 1 2 1 4 () 3 1 1 133 2 4 (0.1)() ab ab 333 222 33 22 2 4 10 a b a b 3.若 3，则 _. 解析由 3，两边平方，得xx17， 1 2 x 1 2 x 33 22 22 3 2 xx xx 1 2 x 1 2 x 再平方得x2x247. x2x2245. ( )(x1x1)
5、3(71)18. 3 2 x 3 2 x 3 1 2 x 3 1 2 x 1 2 x 1 2 x 33 22 22 3 2 xx xx (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用 法则计算，还应注意： 必须同底数幂相乘，指数才能相加. 运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 思维升华 例1(1)(多选)已知实数a，b满足等式2 021a2 022b，下列等式可以成 立的是 A.ab0 B.ab0 C.0ab D.0ba 解析如图，观察易知，ab0或0ba或ab0，故选
6、ABD. 题型二指数函数的图象及应用 师生共研 (2)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_. 解析在同一平面直角坐标系中画出y|2x2| 与yb的图象，如图所示. 当0b1，b1，b0 C.0a0 D.0a1，b0 解析由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递 减，所以0a1. 又f(0)ab0，即b0. 命题点1比较指数式的大小 例2(2020全国)若2x2y0 B.ln(yx1)0 D.ln|xy|0 题型三指数函数的性质及应用 多维探究 解析设函数f(x)2x3x. 因为函数y2x与y3x在R上均单调递增， 所以f(x)在R上单调递增.
7、 原式等价于2x3x2y3y，即f(x)f(y)， 所以x0，所以A正确，B不正确. 因为|xy|与1的大小关系不能确定，所以C，D不正确. 高考改编题若eabeba，下列结论一定成立的是 A.ab0 B.ab0 C.ab0 D.ab0 解析eabeba， eaaebb， 令f(x)exx，则f(x)是R上的增函数， 式即为f(a)f(b)， ab，即ab0. 命题点2解简单的指数方程或不等式 2 1 2x 22x4， 2 1 2x 即x212x4，即x22x30， 3x1，此时y2x的值域为23,21， (2)已知实数a1，函数f(x)若f(1a)f(a1)，则a的值 为_. 命题点3指数函
8、数性质的综合应用 例4(1)已知函数f(x)2|2xm|(m为常数)，若f(x)在区间2，)上单调 递增，则m的取值范围是_. (，4 而y2t是增函数，所以要使函数f(x)2|2xm|在2，)上单调递增， (2)不等式4x2x1a0对任意xR都成立，则实数a的取值范围是 _. (1，) 解析原不等式可化为a4x2x1对xR恒成立， 令t2x，则t0，y4x2x1t22t(t1)211， 当t1时，ymax1，a1. (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同 底”原则，比较大小还可以借助中间量. (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉 及值域、
9、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质 分析判断. 思维升华 跟踪训练2(1)(多选)下列各式比较大小正确的是 A.1.72.51.73 B. C.1.70.30.93.1 D. 2 3 1 2 4 3 2 3 4 2 3 2 3 3 4 解析y1.7x为增函数，1.72.51，而0.93.1(0,1)，1.70.30.93.1，故C正确； 3 4 2 3 2 3 2 3 2 3 x 又y 在(0，)上递增， ， 2 3 2 3 2 3 3 4 3 4 2 3 2 3 2 3 2 3 3 4 ，故D正确. (2)设m，nR，则“m1”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.
10、充要条件D.既不充分又不必要条件 mn0，mbc B.acb C.cab D.bca 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析y0.4x为减函数， 0.40.60.40.21，即abc. 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.(2020东北四校联考)已知函数f(x)则函数f(x)是 A.偶函数，在0，)上单调递增 B.偶函数，在0，)上单调递减 C.奇函数，且单调递增 D.奇函数，且单调递减 解析作出函数f(x)的图象(图略)，由图可知f(x)为奇函数，且f(x)在R 上为增函数. 12345678910 11 12 13 14 15 16 4
11、.(2020新高考全国)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病 学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相 邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数 模型：I(t)ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律， 指数增长率r与R0，T近似满足R01rT.有学者基于已有数据估计出R0 3.28，T6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1 倍需要的时间约为(ln 20.69) A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由R01rT，R03.2
12、8，T6， 由题意，累计感染病例数增加1倍， 则I(t2)2I(t1)， 即 ， 2 0.38 e t 1 0.38 2e t 所以 2， 21 0.38() e tt 即0.38(t2t1)ln 2， 5.(多选)函数yaxa(a0，a1)的图象可能是 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析当a1时，yaxa为增函数，且过点(1,0)， 当x0时，y1a0，故选项A不正确，B正确. 当0a0，b0)_. 解析原式 2111 1 3322 65 ()abab a b 1111 3322 15 66 a bab a b 1 11 3 26 a 1 1 5 2 3 6 b
13、 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.已知函数f(x)ax(a0，且a1)在1,2上的最大值比最小值大 ，则a 的 值为_. 9.(2021西安调研)已知0ba1，则ab，ba，aa，bb中最大的是_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 ab 解析0baaa，babb. 综上，ab最大. 10.已知函数f(x) 的值域是8,1，则实数a的取值 范围是_. 3,0) 解析当0 x4时，f(x)8,1， 所以实数a的取值范围是3,0). 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14
14、15 16 11.已知函数f(x)bax(其中a，b为常数，且a0，a1)的图象经过点 A(1,6)，B(3,24). (1)求f(x)的解析式； 解因为f(x)的图象过A(1,6)，B(3,24)， 又a0，所以a2，b3. 所以f(x)32x. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解由(1)知a2，b3， 12.已知函数f(x) 是奇函数. (1)求实数m的值； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解f(x)为奇函数，f(0)0，得m1， 经检验当m1时，f(x)为奇函数，m1. (
15、2)设g(x)2x1a，若函数f(x)与g(x)的图象有公共点，求实数a的取值 范围. 12345678910 11 12 13 14 15 16 a2. 即实数a的取值范围是2，). 令t2x，t0， 12345678910 11 12 13 14 15 16 技能提升练 13.若关于x的方程|ax1|2a(a0，且a1)有两个不相等的实根，则a 的取值范围是 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析方程|ax1|2a(a0，且a1)有两个不相等实根转化为函数y |ax1|与y2a的图象有两个交点. (2)当a1时，如图，而y2a1不符合要求. 14.如果函数ya2x
16、2ax1(a0，且a1)在区间1,1上的最大值是14， 则a的值为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析令axt，则ya2x2ax1t22t1(t1)22. 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以ymax(a1)2214，解得a3(负值舍去). 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解当x0，所以x1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)若2tf(2t)mf(t)0对于t1,2恒成立，求实数m的取值范围. 即m(22t1)(24t1)， 因为22t10 ， 所以m(22t1)， 因为t1,2， 所以(22t1)17，5， 故实数m的取值范围是5，). 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
