1、数学试卷第 1 页 共 13页 绝密启用前试卷类型：A 2021 年深圳市普通高中高一年级调研考试 数 学20216 本试卷共 6 页，22 小题，满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号， 并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上 3非选择题必须用 05 毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液 不 按以上要求作答
2、的答案无效 4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回 一、单项选择题：本题共 8 道小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1已知 3 4 5 6A，26Bxx ，则A B A 2 3 4， B 3 4 5， C 2 3 4 5， ， D 3 4 5 6， ， 2复数z的共轭复数是1 3i （其中i为虚数单位） ，则z的虚部是 A3iB3C3iD3 3已知向量( 3,1) a，(1, 2)b，则向量a与b夹角的大小为 A30B.45C.60D.135 4已知一组数据如下：1,2,5,6,11，则该组数据的方差为 A.12.4B.12.
3、3C.12.2D.12.1 5已知sin2cos() 2 ，( , ) 2 ，则tan的值为 A3B1C 3 3 D2 6在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，已知经过30天以后，该湖泊 的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的 A18 倍B24倍C36倍D48倍 数学试卷第 2 页 共 13页 7已知函数( )sin3cosf xxx，则“ 0 6 x ”是“( )f x在 0 xx处取得最大值”的 A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条 件 8已知实数, ,a b c满足0abc，则下列不等式中成立的是 A 11
4、ab ba B 2 2 aba abb C ba acbc D3 3 cc ab 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9人口普查是世界各国广泛采用的一种搜集人口资料的方法，根据人口普查可以科学地研究制定 社会、经济、科教等各项发展政策.下图是我国七次人口普查的全国人口及年均增长率情况.则下 列说法正确的是 A 年均增长率逐次减小 B 第二次至第七次普查的人口年均增长率的极差是1.56% C 这七次普查的人口数逐次增加，且第四次增幅最小 D 第七次普查的人口数最多，
5、且第三次增幅最大 10把函数 ( )cosf xx 的图象向左平移1个单位长度，再把横坐标变为原来的 1 2 倍（纵坐标不变） 得到函数 ( )g x的图象，下列说法正确的是 A函数 ( )g x的最小正周期为 B直线x 是函数 ( )g x图象的对称轴 C函数 ( )g x在区间 1 3 , 2 2 上的最小值为1 D点 1 (,0) 42 为函数( )g x的图象的一个对称中心 1.61% 2.09% 1.48% 1.07% 0.57% 0.53% 全国人口年均增长率 1953 年1964 年1982 年1990 年2000 年 2010 年 2020 年 数学试卷第 3 页 共 13页
6、11已知实数, ,x y z满足 2 1 2log x y z ，则下列关系式中可能成立的是 AyzxBzxyCyzxDzyx 12如图，在四面体ABCD中，2ABCD，5ACADBCBD，若用一个与AB， CD都平行的平面截该四面体，下列说法中正确的是 A异面直线AB与CD所成的角为90 B平面截四面体ABCD所得截面周长不变 C平面截四面体ABCD所得截面不可能为正方形 D该四面体的外接球表面积为6 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13求值： 1 ln2 2 4 4 ( )log 8e 9 _ 14甲、乙、丙三名射击运动员中靶概率分别为0.8、0.9、0.7，每
7、人各射击一次，三人中靶与否 互不影响，则三人中至少有一人中靶的概率为_ 15如图，在边长为2的正方体 1111 ABCDA BC D中，点E，F分别为AD，AB的中点，则直线 EF与平面 1 BCD所成角的大小为_ 16已知函数 2 ( )ln(1)f xx， 2 ( )4(1)sin(2) 6 g xmxm ，若 1 1,3x ， 2 0, 2 x ， 12 ()()f xg x，则m的取值范围是_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分） 已知z， 1 z， 2 z均为复数，在复平面内， 1 z对应的点的坐标为(3,4)， 2 z
8、对应的向量坐标为 (0,1)，且 1 17izz （其中i为虚数单位）. BA C D 1 B 1 A 1 C 1 D E F 15（第题图） 12（第题图） B C D A 数学试卷第 4 页 共 13页 （1）求z； （2）求 2 |(i) |zz. 18 （12 分） 在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c, 22 (sinsin)sinsinsinACBAC （1）求B； （2）若1b ，ABC的面积为 3 4 ，求ABC的周长 19 （12 分） 某校高一年级学生打算利用周六休息时间做义工，为了了解高一年级学生做义工时长的情况， 随机抽取了高一年级100名学生进行
9、调查，将收集到的做义工时间（单位：小时）数据分成6组： 0,1)，1,2)，2,3)，3,4)，4,5)，5,6， （时间均在0,6内） ，已知上述时间数据的第70百分 位数为3.5 （1）求,m n的值，并估计这100位学生做义工时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的 中点值作代表） ； （2）现从第二组，第四组中，采用按比例分层抽样的方法抽取6人，再从6人中随机抽取2 人，求两个人来自于不同组的概率 频率 组距 0.15 n m 0.05 0.04 0.11 O123456 时间/小时 数学试卷第 5 页 共 13页 20 （12 分） 如图，在ABC中， 2 5 ADAB ，点E为AC
10、中点，点F为BC的三等分点，且靠近点C，设 CB a，CA b （1）用a，b表示EF ，CD ； （2）如果60ACB，2AC ，且CDEF，求CD 21 （12 分） 如图 1 所示，在矩形ABCD中，4AB ，6 2BC ，点E为线段AB上一点，1AE ，现将 BCE沿CE折起，将点B折到点 B 位置，使得点 B 在平面AECD上的射影在线段AD上，得到如 图 2 所示的四棱锥BAECD （1）在图 2 中，线段BC上是否存在点F，使得EF平面B AD？若存在，求 BF BC 的值，若 不存在，请说明理由； （2）在图 2 中求二面角BECD 的大小 22 （12 分） 已知函数( )e
11、1 x f x （1）试判断函数( )f x的单调性，并画出函数( )f x图象的草图； （2）若关于x的方程 2 2( )4( )520fxmf xm有两个不相等的实数根，求m的取值范围 A F E C A D B 1（图 ） A E B D C 2（图 ） B E C DA 绝密绝密启封并使用完毕前启封并使用完毕前 试题类型：试题类型：A 数学试卷第 6 页 共 13页 2021 年深圳市年深圳市普通高中普通高中高高一年级期末一年级期末调研考试调研考试 数学试题答案及评分参考 一、单项选择题： 题号12345678 答案BDDAACAB 二、多项选择题： 题号9101112 答案BDACD
12、ACDABD 12. 如图，在四面体ABCD中，2ABCD，5ACADBCBD，若用一个与AB，CD 都平行的平面截该四面体，下列说法中正确的是 A异面直线AB与CD所成的角为90 B平面截四面体ABCD所得截面周长不变 C平面截四面体ABCD所得截面不可能为正方形 D该四面体的外接球表面积为6 解析： A. 取CD中点M，ABC为等腰三角形，那么CDAM， 同理，CDBM，且AMBMM，那么CD 平面ABM， 而AB 平面ABM，所以CDAB，A正确； B. 如图，设平面与四面体ABCD的各棱的交点分别为,E F G H，由/ /AB平面，且 AB 平面ABD，两个平面的交线为HG，则/ /
13、ABHG，同理，/ /FGCD， HGHD ABBD 1 ， HEBH CDBD 2 ， 1 +2 得：2HGHE，周长为2 2，B 正确； C.,E F G H为棱中点时， 2 2 xy为正方形； D. 如图，四面体的外接球为正方体的外接球， 6 2 r ，故6S，D 正确. 三、填空题： 135；140.994；15 6 ；16(, 13 13,) A B C D M GF E A B C DH 1 C D A B 1 2 B C D A 数学试卷第 7 页 共 13页 16 已知函数 2 ( )ln(1)f xx， 2 ( )4(1)sin(2) 6 g xmxm ，若 1 1,3x ，
14、 2 0, 2 x ， 12 ( )()f xg x，则m的取值范围是_ 解：记( )f x在区间 1,3上的最小值为min( )f x，( )g x在区间0, 2 的最大值为max( )g x，由 题意可知 minmax ( )( )f xg x 由 2 1 1 1,10 x ，可得min( )0f x， 由 2 7 2, 666 x ，可得 2 1 sin(2),1 62 x ， 由 max( ) 0gx ，得 2 2 1 4(1)0, 2 4(1)0, mm mm 解之，得13x 或13x ， 所以，m的取值范围是(, 13 13,) 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15、17 （10 分） 已知z， 1 z， 2 z均为复数， 1 z在复平面中所对应点的坐标为(3,4)，且 1= 17izz （其中i为 虚数单位） （1）求z； （2） 2 z所对应的向量坐标为(0,1)，求 2 (i)zz 【命题意图】本题考查了复数的四则运算，复数与点、向量的一一对应关系，复数的模长等 知识点，考查了转化为化归、数形结合的数学方法，考查了学生数学运算、逻辑推理、直观想象 的数学素养 解： （1）由题意知 1 34iz ，1 分 解 1 17izz ，得 17i 34i z 2 分 所以 ( 17i)(34i)25+25i =1+i (34i)(34i)25 z 5 分 （2
16、）由题意知 2 iz ,6 分 则 2 i(12i)i2izz ，8 分 所以 2 2i5z 10 分 数学试卷第 8 页 共 13页 18 （12 分） 在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c, 22 (sinsin)sinsinsinACBAC （1）求B； （2）若1b ，ABC的面积为 3 4 ，求ABC的周长 【命题意图】本题考查了正余弦定理等知识点，考查转化与划归得方法与方程思想，考查数 学抽象、逻辑推理、数学运算等数学素养 解： （1）将 22 (sinsin)sinsinsinACBAC展开得 222 sinsinsinsinsinACBAC，2 分 由正弦
17、定理得 222 acbac， 由余弦定理得 222 1 cos 22 acb B ac 4 分 因为0B ， 所以 3 B 6 分 （2）根据余弦定理， 2222 2cos()3bacacBacac7 分 因为ABC的面积为 13 sin 24 acB ，所以 1ac 9 分 因为1b ，所以 2 1()3ac，解之，得 2ac11 分 ABC的周长为 +3ac b12 分 19 （12 分） 某校高一年级学生打算利用周六休息时间做义工，为了了解高一年级学生做义工时长的情况， 随机抽取了高一年级100名学生进行调查，将收集到的做义工时间数据分成6组：0,1)，1,2)， 2,3)，3,4)，4
18、,5)，5,6， （时间均在0,6内） ，已知上述时间数据的第70百分位数为3.5 频率 组距 0.15 n m 0.05 0.04 0.11 数学试卷第 9 页 共 13页 （1）求,m n的值，并估计这100位学生做义工时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的 中点值作代表） ； （2）现从第二组，第四组中，采用按比例分层抽样的方法抽取6人，再从6人中随机抽取2 人，求两个人来自于不同组的概率 【命题意图】本题主要考查了频率分布直方图的基本性质，百分位数，平均数的基本概念和 求法，以及分层抽样的性质，古典概型的概率问题等知识点，考查了数形结合， 转化为化归的数 学方法，考查了学生数学建模、
19、数学运算、数据分析的数学素养. 解析： （1）由于0.050.150.11 0.041mn，则0.65mn；1 分 且0.050.153.5 30.7mn，则0.50.5mn， 3 分 于是 0.35 0.3 m n ，4 分 那么平均值为 1357911 0.050.150.350.30.110.042.89 222222 ； 6 分 （2）由于第二组和第四组的频率之比为： 0.151 0.32 ，7 分 那么分层抽样抽取的6个人中，来自第二组共有2个人，设为 12 ,A A，第四组共有4个人， 设为 1234 ,B B B B，8 分 则从6个人中任选2人的基本事件有 12 A A， 11
20、 A B， 12 AB， 13 A B， 14 AB， 21 A B， 22 A B， 23 A B， 24 A B， 12 B B， 13 B B， 14 B B， 23 B B， 24 B B， 34 B B共15个，10 数学试卷第 10 页 共 13页 分 其中2人来自不同组的事件有 11 A B， 12 AB， 13 A B， 14 AB， 21 A B， 22 A B， 23 A B， 24 A B共 8个，11 分 故所求概率为 8 15 P . 12 分 20 （12 分） 如图，在ABC中， 2 5 ADAB ，点E为AC中点，点F为BC上的三等分点，且靠近点C， 设CA a
21、 ，CB b （1）用a，b表示EF ，CD ； （2）如果60ACB，2AC ，且CDEF，求CD 【命题意图】本题考查了平面向量基本定理，共线向量，向量模的求法等知识点，重在培养 学生数学运算，逻辑推理，直观想象的数学素养. 解： （1） 1111 2332 EFECCFCACB ab，2 分 23223 55555 CDCAADCAABCACB ab.5 分 （2）由（1）可知， 2311 () ()0 5532 CD EF abab， 所以 22 23 0 1510 ab，8 分 由2a，可得3b，9 分 2 222 32912436121366 3 ()2 3 55252525252
22、52255 CDCD abaa bb 12 分 21 （12 分） 如图 1 所示，在矩形ABCD中，4AB ，6 2BC ，点E为AB上一点，1AE ，现将 BCE沿CE折起，将点B折到点 B 位置，使得点 B 在平面AECD的投影落在线段AD上，得到如 图 2 所示的空间几何体BAECD （1）在线段B C上是否存在点F，使得EF平面B AD？若存在，求 B F B C 的值；若不存在， 请说明理由. （2）求二面角BECD 的大小 F E C A D B B E DA 数学试卷第 11 页 共 13页 命题意图：该题考查立体几何中线线垂直、线面垂直的判定、性质定理及二面角的平面角的 证明
23、求法，重在培养学生运算、空间想象等能力，该题充分体现了数形结合的思想 解： （1）在边B C上取点F，使得 1 4 B F B C ，2 分 过F作CD的平行线交B D于M点，连接EF，AM MFCD且 1 4 MFB F CDB C ，3 分 又AECD且 1 4 AE CD ， AEMF且=AE MF， 4 分 故四边形AEFM为平行四边形， / /EFAM， 又EF 平面B AD，AM 平面B AD， ， / /EF平面B AD；5 分 （2）如图，记点 B 在线段AD上射影为O，过点O作CE的垂线，垂足为N，连接B N， CEONCEB OONB OO， CEB ON平面， CEB N
24、，则B NO为二面角BCED的平面 角8 分 在矩形ABCD中，如图，3BE ，6 2BC ， 9CE ，2 3BN ， 1EN ，10 分 又EBNOBA， BNBA BEBO ，3 2BO，11 分 2ON ， A B A E C D M F A 1（图 ） 2（图 ） A E B D C 数学试卷第 12 页 共 13页 则 1 cos 2 ON B NO B N 二面角BECD 的大小为60.12 分 22 （12 分） 已知函数( )e1 x f x （1）试判断函数( )f x的单调性，并画出函数( )f x图象的草图； （2）若关于x的方程 2 2( )4( )520fxmf x
25、m有两个不相等的实数根，求m的取值范围 【命题意图】本题考查了绝对值、指数函数图象与性质、二次函数、一元二次不等式、复合 函数性质、函数的零点等知识点，考查了转化与化归、数形结合、分类讨论等数学方法，考查了 学生数学运算、逻辑推理、数学抽象等数学素养 解：（1） 1e0, ( )e1= e1,0, x x x x f x x ， 1 分 当(,0)x 时，函数( )f x为单调减函数，值域为(0,1)；2 分 当0,)x时，函数( )f x为单调增函数，值域为0,).3 分 画出函数( )f x的草图如图所示： （没有画渐近线的扣 1 分）6 分 （2）关于的方程 2 2( )4( )520f
26、xmf xm有两个不等实数根 E A O D CB N E B A N C D O 数学试卷第 13 页 共 13页 设= ( )0,)t f x ，结合图象可知， 一元二次方程 2 24520tmtm有两个不相等的实数根 12 tt，满足下列情况时符合题意 2当 12 010tt，时，则有 520, 0, m m 解之，得 2 0 5 m； 7 分 当 1 0t ， 2 1t 时，则由 1 0t 得 2 5 m ，代入方程得 2 4 1 5 t 不合题意；8 分 当 12 =(0,1)tt 时，则 2 168(52)0mm ,解之，得2m 或 1 2 m , 当2m 时, 12 =2tt (舍去)， 1 2 m 时, 12 1 = 2 tt 符合题意；9 分 当 12 tt且都在1,)内时，则有 2 2 2 14520, (4 )42(52)0, 1, mm mm m 得2m ,11 分 综上所述，m的范围是 21 (0, ) (2,) 52 12 分
