1、2020 年天津市年天津市中考中考 数学数学 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1.计算3020 的结果等于（ ） A. 10 B.10C. 50D.50 【答案】A 【解析】 【分析】 根据有理数的加法运算法则计算即可 【详解】解：3030002102 故选：A 【点睛】本题考查有理数的加法运算法则，熟记有理数的加法运算法则是解题的关键 2.2sin45的值等于（） A. 1B. 2 C. 3 D. 2 【答案】B 【
2、解析】 【详解】解：2sin45=2 2 2 2 故选 B 3.据 2020 年 6 月 24 日天津日报报道，6 月 23 日下午，第四届世界智能大会在天津开幕本届大会采 取“云上”办会的全新模式呈现，40 家直播网站及平台同时在线观看云开幕式暨主题峰会的总人数最高约 为 58600000 人将 58600000 用科学记数法表示应为（） A. 8 0586 10 B. 7 5.86 10 C. 6 586 10 D. 5 586 10 【答案】B 【解析】 【分析】 把小数点向左移动 7 位，然后根据科学记数法的书写格式写出即可 【详解】解： 7 58600000=5.86 10 ， 故选
3、：B 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为10na 的形式，其中1 | 10a ， n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数 4.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形下面 4 个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（） A.B.C.D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据轴对称图形的概念求解 【详解】解：A、不是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、是轴对称图形； D、不是轴对称图形； 故选：C 【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对
4、称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可 重合 5.右图是一个由 5 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（） A.B.C.D. 【答案】D 【解析】 【分析】 从正面看所得到的图形是主视图，画出从正面看所得到的图形即可 【详解】解：从正面看第一层有两个小正方形，第二层在右边有一个小正方形，第三层在右边有一个小正 方形，即： 故选：D 【点睛】本题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向 6.估计 22的值在（ ） A. 3 和 4 之间B. 4 和 5 之间C. 5 和 6 之间D. 6 和 7 之间 【答案】B 【解析】 【分析】 因为 22 4225 ，所以 22在 4 到 5 之间
5、，由此可得出答案. 【详解】解： 22 4225 ， 4 225 故选：B 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题 7.方程组 24 1 xy xy 的解是（） A. 1 2 x y B. 3 2 x y C. 2 0 x y D. 3 1 x y 【答案】A 【解析】 【分析】 利用加减消元法解出 , x y的值即可 【详解】解： 24 1 xy xy +得：33x ，解得：1x ， 把1x 代入中得：11y ，解得：2y ， 方程组的解为： 1 2 x y ； 故选：A 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法加减消元法和代入消元法，根据具体的方程组选
6、取合适的 方法是解决本类题目的关键 8.如图，四边形OBCD是正方形，O，D 两点的坐标分别是 0,0，0,6，点 C 在第一象限，则点 C 的坐 标是（） A.6,3B.3,6C.0,6D.6,6 【答案】D 【解析】 【分析】 利用 O，D 两点的坐标，求出 OD 的长度，利用正方形的性质求出B，BC 的长度，进而得出 C 点的坐标 即可 【详解】解：O，D 两点的坐标分别是0,0，0,6， OD6， 四边形OBCD是正方形， OBBC，OB=BC=6 C 点的坐标为：6,6， 故选：D 【点睛】本题主要考查了点的坐标和正方形的性质，正确求出 OB，BC 的长度是解决本题的关键 9.计算
7、22 1 (1)(1) x xx 的结果是（） A. 1 1x B. 2 1 (1)x C. 1D.1x 【答案】A 【解析】 【分析】 本题可先通分，继而进行因式约分求解本题 【详解】 22 1 (1)(1) x xx 2 1 (1) x x ， 因为10 x ，故 2 11 = (1)1 x xx 故选：A 【点睛】本题考查分式的加减运算，主要运算技巧包括通分，约分，同时常用平方差、完全平方公式作为 解题工具 10.若点 123 , 5 ,2 ,5A xB xC x都在反比例函数 10 y x 的图象上，则 123 ,x xx的大小关系是（） A. 123 xxxB. 231 xxxC.
8、132 xxxD. 312 xxx 【答案】C 【解析】 【分析】 因为 A，B，C 三点均在反比例函数上，故可将点代入函数，求解 123 ,x xx，然后直接比较大小即可 【详解】将 A，B，C 三点分别代入 10 y x ，可求得 123 2,5,2xxx ，比较其大小可得： 132 xxx 故选：C 【点睛】本题考查反比例函数比较大小，解答本类型题可利用画图并结合图像单调性判别，或者直接代入 对应数值求解即可 11.如图，在ABC中， 90ACB，将ABC绕点 C 顺时针旋转得到DEC，使点 B 的对应点 E 恰 好落在边AC上，点 A 的对应点为 D，延长DE交AB于点 F，则下列结论
9、一定正确的是（） A.ACDEB.BCEFC.AEFDD.ABDF 【答案】D 【解析】 【分析】 本题可通过旋转的性质得出ABC 与DEC 全等， 故可判断 A 选项； 可利用相似的性质结合反证法判断 B， C 选项；最后根据角的互换，直角互余判断 D 选项 【详解】由已知得：ABCDEC，则 AC=DC，A=D，B=CED，故 A 选项错误； A=A，B=CED=AEF， 故AEFABC，则 EFAE BCAB =， 假设 BC=EF，则有 AE=AB， 由图显然可知 AEAB，故假设 BC=EF 不成立，故 B 选项错误； 假设AEF=D，则CED=AEF=D， 故CED 为等腰直角三角
10、形，即ABC 为等腰直角三角形， 因为题干信息ABC 未说明其三角形性质，故假设AEF=D 不一定成立，故 C 选项错误； ACB=90， A+B=90 又A=D， B+D=90 故 ABDF，D 选项正确 故选：D 【点睛】本题考查旋转的性质以及全等三角形的性质，证明过程常用角的互换、直角互余作为解题工具， 另外证明题当中反证法也极为常见，需要熟练利用 12.已知抛物线 2 yaxbxc（, ,a b c是常数，0,1ac）经过点2,0，其对称轴是直线 1 2 x 有 下列结论： 0abc ； 关于 x 的方程 2 axbxca 有两个不等的实数根； 1 2 a 其中，正确结论的个数是（）
11、A. 0B. 1 C. 2D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据对称轴和抛物线与 x 轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可判断根据根的判 别式 2 40bac，即可判断；根据1c 以及 c=-2a，即可判断 【详解】抛物线 2 yaxbxc经过点2,0，对称轴是直线 1 2 x ， 抛物线经过点( 1,0)，b=-a 当 x= -1 时，0=a-b+c，c=-2a;当 x=2 时，0=4a+2b+c， a+b=0，ab1， 1 2 a ，正确 故选：C. 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c（a0） ，二次项系数 a 决定抛
12、物线的开口方向和大小：当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次 项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab 0） ，对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点位置：抛物线与 y 轴交于（0，c） ；抛物线与 x 轴 交点个数由决定：=b2-4ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；=b2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点； =b2-4ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每
13、小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13.计算75xxx的结果等于_ 【答案】3x 【解析】 【分析】 根据合并同类项法则化简即可 【详解】解：原式=(1+7-5)x=3x 故答案为：3x 【点睛】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变 14.计算( 7 1)( 71)的结果等于_ 【答案】6 【解析】 【分析】 根据平方差公式计算即可 【详解】解：原式= 22 ( 7)1=7-1=6 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式 15.不透明袋子中装有 8 个球，其中有 3 个红球、5 个黑球，这些球除颜色外无其他差别从袋子中随机取
14、出 1 个球，则它是红球的概率是_ 【答案】 3 8 【解析】 【分析】 用红球的个数除以总球的个数即可得出取出红球的概率 【详解】解：不透明袋子中装有 8 个球，其中有 3 个红球、5 个黑球， 从袋子中随机取出 1 个球，则它是红球的概率为 3 8 ， 故答案为： 3 8 【点睛】 本题考查概率的求法： 如果一个事件有n种可能， 而且这些事件的可能性相同， 其中事件A出现m 种结果，那么事件A的概率 A m P n 16.将直线2yx 向上平移 1 个单位长度，平移后直线的解析式为_ 【答案】21yx 【解析】 【分析】 根据直线的平移规律是上加下减的原则进行解答即可 【详解】解：直线的平
15、移规律是“上加下减”， 将直线2yx 向上平移 1 个单位长度所得到的的直线的解析式为：21yx ； 故答案为：21yx 【点睛】本题考查的是一次函数的图像与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解决本题目的关键 17.如图，ABCD的顶点 C 在等边 BEF的边BF上，点 E 在AB的延长线上，G 为DE的中点，连接 CG若3AD ，2ABCF，则CG的长为_ 【答案】 3 2 【解析】 【分析】 延长 DC 交 EF 于点 M（图见详解） ，根据平行四边形与等边三角形的性质，可证CFM 是等边三角形， BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出 CF=CM=MF=2，可得 C、G 是 DM 和
16、DE 的中点，根据中位线的性质，可 得出 CG= 1 2 EM，代入数值即可得出答案 【详解】解：如下图所示，延长 DC 交 EF 于点 M，3AD ，2ABCF， 平行四边形ABCD的顶点 C 在等边 BEF的边BF上， /DM AE， CMF是等边三角形， 2ABCFCMMF 在平行四边形ABCD中，2ABCD，3ADBC， 又BEF是等边三角形， 325BFBEEFBCCF ， 523EMEFMF G 为DE的中点，2CDCM， C是DM的中点，且CG是DEM的中位线， 13 22 CGEM 故答案为： 3 2 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点，延长
17、DC 交 EF 于点 M，利 用平行四边形、等边三角形性质求出相应的线段长，证出CG是DEM的中位线是解题的关键 18.如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，ABC的顶点,A C均落在格点上，点 B 在网格线上，且 5 3 AB （）线段AC的长等于_； （）以BC为直径的半圆与边AC相交于点 D，若,P Q分别为边,AC BC上的动点，当BPPQ取得最 小值时，请用无刻度 的直尺，在如图所示的网格中，画出点,P Q，并简要说明点,P Q的位置是如何找到的 （不要求证明）_ 【答案】(1). 13(2). 详见解析 【解析】 【分析】 （1）将 AC 放在一个直角三角形，运用勾股定理求解
18、； （2）取格点 M，N，连接 MN，连接 BD 并延长，与 MN 相交于点 B ；连接B C，与半圆相交于点 E，连 接 BE，与 AC 相交于点 P，连接B P并延长，与 BC 相交于点 Q，则点 P，Q 即为所求 【详解】 解：（） 如图， 在 RtAEC 中， CE=3,AE=2,则由勾股定理， 得 AC= 2222 32CEAE = 13； （）如图，取格点 M，N，连接 MN，连接 BD 并延长，与 MN 相交于点 B ；连接B C，与半圆相交于 点 E，连接 BE，与 AC 相交于点 P，连接B P并延长，与 BC 相交于点 Q，则点 P，Q 即为所求 【点睛】本题考查作图-应用
19、与设计，勾股定理，轴对称-最短问题，垂线段最短等知识，解题的关键是学会 利用轴对称，根据垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 66 分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19.解不等式组 321, 251. xx x 请结合题意填空，完成本题的解答 （）解不等式，得_； （）解不等式，得_； （）把不等式和的解集在数轴上表示出来： （）原不等式组的解集为_ 【答案】 （）1x ； （）3x ； （）详见解析； （）31x 【解析】 【分析】 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：
20、同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定 不等式组的解集 【详解】解： （）解不等式，得1x ； （）解不等式，得3x ； （）把不等式和的解集在数轴上表示出来： （）原不等式组的解集为31x 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取 小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 20.农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：cm）进行了测量根据统 计的结果，绘制出如下的统计图和图 请根据相关信息，解答下列问题： （）本次抽取的麦苗的株数为_，图中 m 的值为_； （）求统计的这组苗高数
21、据的平均数、众数和中位数 【答案】 （）25，24； （II）平均数是 15.6，众数为 16，中位数为 16 【解析】 【分析】 ()由图中条形统计图即可求出麦苗的株数；用 17cm 的麦苗株数 6 除以总株数 24 即可得到 m 的值； ()根据平均数、众数、中位数的概念逐一求解即可 【详解】解：()由图可知： 本次抽取的麦苗株数为：2+3+4+10+6=25(株)， 其中 17cm 的麦苗株数为 6 株，故其所占的比为 625=0.24=24%，即 m=24 故答案为：25,24 ()观察条形统计图， 这组麦苗得平均数为： 13 2 14 3 15 4 16 10 17 6 15.6 2
22、34 106 x， 在这组数据中，16 出现了 10 次，出现的次数最多， 这组数据的众数为 16 将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间位置的数是 16， 这组数据的中位数为 16 故答案为：麦苗高的平均数是 15.6，众数是 16，中位数是 16 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的 信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的 百分比大小 21.在O中，弦CD与直径AB相交于点 P， 63ABC （）如图，若100APC，求BAD和CDB的大小； （）如图，若CDAB，过点 D 作O
23、的切线，与AB的延长线相交于点 E，求E的大小 【答案】 （I）37BAD，27CDB； （II） 36E o 【解析】 【分析】 ()先由CPB 中外角定理求出C 的大小，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出BAD 的值；且 ADC=ABC， 再由直径 AB 所对的圆周角等于 90求出ADB=90， 最后ADB-ADC 即可得到CDB 的值； ()连接 OD， 由 CDAB 先求出DCB， 再由圆周角定理求出BOD， 最后由切线的性质可知ODE=90， 进而求出E 的度数 【详解】解： （）APC是PBC的一个外角，63ABC，100APC， 37CAPCPBC 在O中， BADC ， 37B
24、AD ABQ为O的直径， 90ADB 在O中，63ADCABC， 又CDBADBADC， 27CDB 故答案为：37BAD，27CDB （）如下图所示，连接 OD， CDAB， 90CPB 9027PCBPBC 在O中，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知： 2BODBCD ， 2 27 =54 BOD ， DE是O的切线， ODDE即90ODE， 90905436 EBOD ， 36E 故答案为：36E 【点睛】本题考查圆周角定理及其推论、切线的性质、三角形的外角定理等知识点，熟练掌握圆周角定理 及其推论是解决本题的关键 22.如图，,A B两点被池塘隔开，在AB外选一点 C，连接 ,AC
25、 BC测得 221mBC ，45ACB， 58ABC根据测得的数据，求AB的长（结果取整数） 参考数据：sin58085 ，cos58053 ，tan58160 【答案】AB 的长约为 160m 【解析】 【分析】 过点 A 作 AHBC 于点 H，根据锐角三角函数的定义即可求出答案 【详解】解：如图，过点 A 作AHCB，垂足为 H 根据题意，45ACB，58ABC，221BC 在Rt CAH中，tan AH ACH CH ， tan45 AH CHAH 在RtBAH中，tan AH ABH BH ，sin AH ABH AB ， tan58 AH BH ， sin58 AH AB 又CBC
26、HBH， 221 tan58 AH AH 可得 221 tan58 1tan58 AH 221 tan58221 1.60 160 1 tan58sin581 1.600.85 AB 答：AB 的长约为 160m 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角函数的定义，本题属于基础题型 23.在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境 已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍0.7km，图书馆离宿舍1km周 末，小亮从宿舍出发，匀速走了7min到食堂；在食堂停留16min吃早餐后，匀速走了5min到图书馆；在 图书馆停留30min借书后，匀
27、速走了10min返回宿舍，给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离 kmy 与离开宿舍的时间minx之间的对应关系 请根据相关信息，解答下列问题： （）填表： 离开宿舍的时间/min25202330 离宿舍的距离/km0.20.7 （）填空： 食堂到图书馆的距离为_km 小亮从食堂到图书馆的速度为_km/min 小亮从图书馆返回宿舍的速度为_km/min 当小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为_min （）当028x时，请直接写出 y 关于 x 的函数解析式 【答案】（） 0.5， 0.7， 1；（） 0.3； 0.06； 0.1； 6 或 62；（） 当07x时，0.1yx；
28、 当723x 时，0.7y ；当2328x时，0.060.68yx 【解析】 【分析】 （）根据函数图象分析计算即可； （）结合题意，从宿舍出发，根据图象分析即可； 结合图像确定路程与时间，然后根据速度等于路程除以时间进行计算即可； 据速度等于路程除以时间进行计算即可； 需要分两种情况进行分析，可能是从学校去食堂的过程，也有可能是从学校回宿舍； （）分段根据函数图象，结合“路程=速度时间”写出函数解析式. 【详解】解： （）从宿舍到食堂的速度为 0.22=0.1， 0.15=0.5； 离开宿舍的时间为 23min 时，小亮在食堂，故离宿舍的距离为 0.7km； 离开宿舍的时间为 30min 时
29、，小亮在图书馆，故离宿舍的距离为 1km 故答案依次为：0.5，0.7，1， （）1-0.7=0.3， 食堂到图书馆的距离为 0.3km； 故答案为：0.3； （1-0.7）（28-23）=0.06km/min, 小亮从食堂到图书馆的速度为 0.06km/min 故答案为：0.06； 1（68-58）=0.1km/min, 小亮从图书馆返回宿舍的速度为 0.1km/min； 故答案为：0.1； 当是小亮从宿舍去食堂的过程中离宿舍的距离为0 6km， 则此时的时间为 0.60.1=6min. 当是小亮从图书馆回宿舍，离宿舍的距离为 0.6km, 则从学校出发回宿舍已经走了 1-0.6=0.4(k
30、m)， 0.40.1=4(min) 58+4=62(min) 故答案为：6 或 62 （）当07x时，0.1yx； 当723x时，0.7y 当2328x时，设y kxb ，将（23，0.7） （28，1）代入解析式 23kb0.7 28kb1 += += ，解得 k0.06 b0.68 = = - 0.060.68yx 【点睛】本题考查的是函数图象的读图能力要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类 型和所需要的条件，结合题意正确计算是解题的关键 24.将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点0,0O，点2,0A ，点 B 在第一象限， 90OAB，30B，点 P 在边O
31、B上（点 P 不与点,O B重合） （1）如图，当1OP 时，求点 P 的坐标； （2）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点 P，并与 x 轴的正半轴相交于点 Q，且OQOP，点 O 的对 应点为 O ，设OPt 如图，若折叠后O PQ 与OAB重叠部分为四边形，,O P O Q 分别与边AB相交于点,C D，试用含 有 t 的式子表示OD的长，并直接写出 t 的取值范围； 若折叠后O PQ 与OAB重叠部分的面积为 S，当13t时，求 S 的取值范围（直接写出结果即可） 【答案】 （1）点 P 的坐标为 13 , 22 ； （2）34ODt，t 的取值范围是 4 2 3 t ； 34 3 87
32、 S 【解析】 【分析】 （1）过点 P 作PHx轴，则90OHP，因为90OAB，30B，可得60BOA，进而 得30OPH，由 30所对的直角边等于斜边的一半可得 11 22 OHOP，进而用勾股定理可得 22 3 2 HPOPOH ，点 P 的坐标即求出； （2）由折叠知，O PQOPQ ，所以OPOP ，O QOQ ；再根据OQOP，即可根据菱形的 定义“四条边相等的四边形是菱形”可证四边形OQO P 为菱形， 所以/ /QOOB ， 可得30ADQB ； 根据点 A 的坐标可知2OA ，加之OPt，从而有2QAOAOQt；而在Rt QAD中， 242QDQAt， 又因为O DO QQ
33、D ，所以得34ODt，由34ODt和2QAt的取值范围可得t的范围是 4 2 3 t ； 由知，POQ为等边三角形，由（1）四边形OQO P 为菱形，所以ABPQ,三角形DCQ为直角三 角形，Q=60，从而 11 (34) 22 CQDQt， 33 (34) 22 CDDQt ,进而可得 222 337 3124 3 (34)() 48877 POQCDQ SSSttt ，又已知 t 的取值范围是13t， 即可得 34 3 87 S 【详解】解： （1）如图，过点 P 作PHx轴，垂足为 H，则90OHP 90OAB，30B 9060BOAB 9030OPHPOH 在RtOHP中，1OP ，
34、 11 22 OHOP， 22 3 2 HPOPOH 点 P 的坐标为 13 , 22 （2）由折叠知，O PQOPQ ， OPOP，O Q OQ 又OQOPt， O POPOQO Qt 四边形OQO P为菱形 / /QOOB可得30ADQB 点2,0A， 2OA有 2QAOAOQt 在Rt QAD中，242QDQAt O DO QQD， 34ODt，其中 t 的取值范围是 4 2 3 t 由知，POQ为等边三角形， 四边形OQO P 为菱形， ABPQ,三角形DCQ为直角三角形，Q=60， 11 (34) 22 CQDQt， 33 (34) 22 CDDQt , 222 337 3124 3
35、 (34)() 48877 POQCDQ SSSttt ， 13t， 34 3 87 S ， 【点睛】本题主要考查了折叠问题，菱形的判定与性质，求不规则四边形的面积等知识 25.已知点()1,0A是抛物线 2 yaxbxm（, ,a b m为常数，0,0am）与 x 轴的一个交点 （1）当1,3am 时，求该抛物线的顶点坐标； （2）若抛物线与 x 轴的另一个交点为,0M m，与 y 轴的交点为 C，过点 C 作直线 l 平行于 x 轴，E 是直 线 l 上的动点，F 是 y 轴上的动点， 2 2EF 当点 E 落在抛物线上（不与点 C 重合） ，且AEEF时，求点 F 的坐标； 取EF的中点
36、 N，当 m 为何值时，MN的最小值是 2 2 ？ 【答案】 （1）抛物线的顶点坐标为1, 4 ； （2）点 F 的坐标为0, 27 或0, 27 ；当 m 的 值为 3 2 或 1 2 时，MN 的最小值是 2 2 【解析】 【分析】 （1）根据1,3am ，则抛物线的解析式为 2 3yxbx，再将点 A（1，0）代入 2 3yxbx， 求出 b 的值，从而得到抛物线的解析式，进一步可求出抛物线的顶点坐标； （2）首先用含有 m 的代数式表示出抛物线的解析式，求出0,Cm，点1,E mm. 过点 A 作AHl于点 H,在 RtEAH中，利用勾股定理求出 AE 的值，再根据AEEF， 2 2E
37、F ， 可求出 m 的值，进一步求出 F 的坐标； 首先用含 m 的代数式表示出 MC 的长，然后分情况讨论 MN 什么时候有最值. 【详解】解： （1）当1a ，3m 时，抛物线的解析式为 2 3yxbx 抛物线经过点()1,0A， 013b 解得2b 抛物线的解析式为 2 23yxx 2 2 2314yxxx Q， 抛物线的顶点坐标为1, 4 （2）抛物线 2 yaxbxm经过点()1,0A和,0M m， 0m， 0abm ， 2 0ambmm ，即10amb 1a=，1bm 抛物线的解析式为 2 1yxmxm 根据题意，得点0,Cm，点1,E mm 过点 A 作AHl于点 H 由点()1
38、,0A，得点1,Hm 在 RtEAH中，11EHmm ，0HAmm ， 22 2AEEHHAm 2 2AEEF ， 22 2m 解得2m 此时，点1, 2E ，点0, 2C，有1EC 点 F 在 y 轴上， 在 RtEFC中， 22 7CFEFEC 点 F 的坐标为 0, 27 或 0, 27 由 N 是 EF 的中点，得 1 2 2 CNEF 根据题意，点 N 在以点 C 为圆心、 2为半径的圆上 由点,0M m，点0,Cm，得MOm= -，COm 在Rt MCO中， 22 2MCMOCOm 当 2MC ，即1m 时，满足条件的点 N 落在线段 MC 上， MN 的最小值为 2 22 2 MCNCm ，解得 3 2 m ； 当 2MC ，10m 时，满足条件的点 N 落在线段 CM 的延长线上， MN 的最小值为 2 22 2 NCMCm ，解得 1 2 m 当 m 的值为 3 2 或 1 2 时，MN 的最小值是 2 2 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题的关键是学会利 用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型
