1、让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 目录 第 01 讲简便计算（一）. 01 第 02 讲简便计算（二）.09 第 03 讲简便计算（三）. 17 第 04 讲定义新运算 .25 第 05 讲数的整除.31 第 06 讲比较数的大小.38 第 07 讲数论专题（一）.44 第 08 讲数论专题（二）.49 第 09 讲分数应用题（一）.59 第 10 讲分数应用题（二）.65 第 11 讲比的应用（一）.71 第 12 讲比的应用（二）.78 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 1 第1讲简便计算(一) 貝tM涉考点解读 1 1、 考察范围：运算法则、定律、性质和公式。 2 2、 考察重点
2、：四则混合运算、交换律、结合律、分配律。 3 3、 命题趋势：根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式, 可以把一些较复杂的四 则混合运算化繁为简，化难为易。 目知识梳理 1 1、基本公式 乘法交换律： ab b a 乘法结合律：ab c a (b c) 乘法分配律：a(bc) abac 2 2、去括号法则: 加法交换律：abba 加法结合律：a b c a (b c) 括号前面是加号时， 去掉括号， 括号内的符号不变: 括号前面是减号时， 去掉括号，括号内的符号改变: 括号前面是乘号时，去掉括号，括号内 的符号不变: 括号前面是除号时，去掉括号，括号内的符号改变: :
3、ih!-典例剖析 4.3 333.6 6.7 518 123 132 5 0.09 【变式练习】 ,27小1c c 15 1 1、1.60.84 - 598 a (b c) a b c a(bc)a bc a(bc)ab c a(bc)ab c 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 2 5555 5 【例 2 2】99999999994 7777 7 【变式练习】 6哺19699995 999995 2、1995 1996 1997 1998 2000 2006 2008 【例 3 3】157 31 15 2、3.5 1- 6.5 3 12 30.3 0.15 让优秀成为一种习惯小升初数学培优
4、讲义 3 1 1 1、20202019 2018 C 131 41 5 2、41-51-61 - 344 55 6 2020 【例 4 4】2020 2020 2021 【变式练习】 2012 1 1、2012 2012 2013 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 4 111 1111,111 1 1 - 2016 201720182016201720182019201620172018 1 1 1 1 2019 201620172018 【变式练习】 1 1、 11111111 1 - 3 5 7 93 5 7 9 1 1 1 1 2 2、1 1丄111111 2345345 11111
5、11 1 - 3 4 52 3 4 5 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 5 2019 1010 2018 2019 1010 1009 【变式练习 2019 2020 1 2019 2018 2020 204 584 19911 1992 584 380 143 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 6 自呕课后精练 A温故知新 1 1、35.16 0.25 38.42 20.2 1.63 2.360.25 2 2、125 7 8 33 114 - 420 7 2.25 20 4 4、111 99956 3 - 78 5 5、93993999399993 4444 3 3、85 711
6、6 561 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 7 6 6、2003竺2004 20042004 20062005 2016 2017 1 2016 2015 2017 7 7、 111 1111 342345 11 ! 1 1 1 1 342345 111111111 1- 23 4 52 3 4 5 6 111111111 1- 23 4 5 62 3 4 5 9 9、 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 8 111 3 3、（附中系）1 1 1 1 1 1 246 17161 514,13 81-71-61 -51-41- 78675 64534 1 1、（长郡系） 2 2、（附中系
7、） 0.5 0.25 0.125 B B 拓展提升 0.5 0.25 0.125 18 2 6 121 5 6 64 5 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 9 4 4、（雅礼系） 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 10 简便计算（二） 考点解读 1 1、 考察范围：分数乘、除法计算法则。 2 2、 考察重点：乘法交换律、结合律、分配律。 3 3、命题趋势：根据分子、分母的构成和数的特征，灵活运用运算法则、定律和性质，可以 把一些较复 杂的分数四则混合运算化繁为简，化难为易。 自说歴知识梳理 1 1、基本公式. . 乘法交换律：ab b a 乘法结合律：ab c a (b c) 乘法分配
8、律：a(bc) abac 2 2、分数乘法性质: 分数与整数相乘，分母不变，整数与分子相乘作分子； 两个分数相乘，分子的乘积作分子，分母的乘积作 分母。 :i hL典例剖析 5 【例 1 1】575 62.5% 4 0.625 8 【变式练习】 1 1、36.7 8.6 367 0.14 2、3.14 43 7.2 31.4 150 0.314 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 11 【变式练习】 11 1 1、333387 79 790 66661 24 c213741 2、3-1-5-2-3-2 979897 【例 3 3】9999 2222 3333 3334 【变式练习】 1 1、
9、7777 9 1111 37 3 【例 2 2】48 3 5 243 3.75 24 41.1 10 2兰 100 214 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 12 155 【例 4 4】 一57 87 4343 【变式练习】 ,5 1 5 2 5 6 613 9 13 18 13 2、332345 5555 5 25 256 654.3 36 Z 3丄Z 15 8 15 16 1 15 3丄 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 13 【变式练习】 2.12.2 2.3 2.4 2.5 2.6 21 22 23 24 25 26 【变式练习 1 2 3 2 4 6 4 8 12 9 18
10、27 1 3 5 2 6 10 4 12 20 9 27 45 139 1.2 3.6 10.8 2 6 8 13 13 13 1.2 2.4 4.8 2 4 8丄 2 13 13 13 354 1179 2 2、 1512 2 2、4.75 1.36 0.375 3丿？ 4258 【例 6 6 2 2、 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 14 【例 7 7】97 2000 96 2001 【变式练习】 1 1、2003 2003 2002 2004 2 2、1994 19931993 1992 19941994 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 15 臥14非课后精练 A温故知新 1
11、 1、43.74 6.26 1 20% 5 3 2 2、95.6 18 959 95.6 5 3 3、19.98 37 199.8 1.9 1998 0.82 4 4、1117.6 36 4 26.4 1.25 45 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 16 2111 5、1-3.62 6.38 7-1.82 1- 0.82 31523 6 6、3333 224 6666 368 8 8、2015 20162016 2016 20152015 7 7、 1119197 7 11 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 13 B B 拓展提升 d49749491414 1 1、 - 1.65 -
12、24 2 902090901515 2 3 7 4 6 14 14 21 49 47 9 8 14 28 28 49 63 3 3、2012 20122012 2011 20132013 4 4、2004 2005 2006 2003 2005 2007 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 17 简便计算（三） 考点解读 1 1、 考察范围：分数乘、除法计算法则。 2 2、 考察重点：乘法性质。 3 3、 命题趋势：熟练运用拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便计算。 目1 Ml左知识梳理 1 1、分数裂项公式 1 1 1 n(n 1)n n 1 11 1 1 n (n a) an n
13、a 11 1 1 n (n 1) (n 2)2 n (n 1) (n 1) (n 2) aba b11 abababba 2ab2a2b2a b aba babba 2 2、等差数列公式： 项数= =（末项一首项）十公差 +1+1 和= =（首项+ +末项）X项数十 2 2 ；典例剖析 【例 1 1】 1 1 1 1 1 22 3 3 4 4 5 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 13 11 11111 【例 2 2】 261220304256 c 111C 11c 1 2、1 2-34 -56 -7 -8 6122030425672 2、 1111 12乔 戸T5 11 F9 9 10
14、2 10 9 222_222 42567290110 132 【变式练习】 1 1、 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 19 1 F9 1 1 1 9 11 11 13 13 15 【变式练习】 1 1 144 7 1 1 7 10 10 13 1 97 100 2、 5 6 1111 16 5 41 46 22 222 【例 4 4】 392781243 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 2 【变式练习 1 1、11 11111 816326412 8 【变式练习】 3 3、 354963779110531 1- 6122030425688 【例 6 6 22323242425252
15、6262727282 【例 5 5】 3 12 41 20 21 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 21 1 1、 12222232 2 2 2 2 182192192202 18 1919 20 【例 7 7】1 2 32019 2020 【变式练习】 1 1、5 6 7200 201 2 2、12345678997 98 99 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 22 自【tub匸课后精练 C1 1111 3 3、 2435486380 4 4、 49637791105 O11 3- 1220304256624 1 1、 12213 4 6 12 1 20 20 2 2、 13651
16、2 730 9 42 A温故知新 1 420 11 56 13丄15丄 7290 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 2 5 5、2 4 6100 (13 599) 1 1、 2 2、 135 2007 2007 2007 7 2007 9 2007 迎1 2007 18 20 3 19 21 3 1222 3 2232 3 3242 3 7282 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 4 4、1 5 5、 52 4 6 72 6 8 492 48 50 1 1 2 3100 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 2
17、5 貝tM涉考点解读 1 1、 考察范围：运用法则、定律、性质和公式。 2 2、 考察重点：新旧运算的转换。 3 3、 命题趋势：一般出现在填空题中，考察对新运算符号的理解和转换。 自則隹知识梳理 1 1、 定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 2 2、 定义新运算是一种特别设计的运算形式，它使用一些特殊的运算符号，如：、口、探、 等等，这与四则运算中的“ + +、- -、X、+ ”不同。 3 3、新定义的算式中有括号的，要先算括号里的。但它在没有转化之前，是不适合于各种运 算定律的。 :i典例剖析 【例 1 1】规定A B A B A B, ,那么5 6 _ 【变式练习
18、】 1 1、ab 4a 3b，那么82等于多少? a b 2现定义一种新运算：a b，则 87是多少? 第4讲定义新运算 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 25 【变式练习】 为：a b a b (a b)，求(6 4) 4的值。 ,ab 4a 3b，例如24 4 2 3 420, 那么（2 2 口 3 3）口（ 4 4 口 5 5）等于多少? 【例 3 3】规定AB 5A 4B, ,如果x( 5 5 2 2) =14=14,那么x _ 【例 2 2】 规定“”是一种新运算, 5 _。 A探B 2A B, ,如4探3 4 2 3，那么7探3探 1 1、定义运算 2 2、定义一种新运算“”
19、让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 2 1 1、对于非零自然数 么x为多少？ a,b，规定a b a 1, a b ba 1，如果（x 3） 2 3660，那 b 2、规定2 3 4，3 4 5， 6，如果 A，那 么 A 的值为多少? 【例 4 4】规定5 25 55，2 522 222 2222 22222，1 21 11，那么 【变式练习】 1 1、若2 35 6 7 8，那么12 5 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 28 【变式练习】 4 4、已知如下式子：12223242n2 n(n 1)(2n1)，那么 6 2亠2亠2“亠2 12318 。 2 2、若a b a aa aa
20、a aa a,那么8 5 _。 (b 1)个a 【例 5 5】观察下列等式:式子中的“！ ”是一种数学符号, 1!1,2!2 1,3! 1,那么 101 !99 ! 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 29 自【mb匸课后精练 3 3、设M和N是两个数，规定MN ，求10 20 1 的值。 N M4 4 4、规定a b (a b) (a b)，求15 (5 4)的值。 2 5 5、设a b a 2b，求5(2 8)的值。 A A、温故知新 1 1、对于任何x和y都有x y xy 2，那么2007 2009 2 2、将新运算 ”定义为：ab (ab)，求279是多少。 让优秀成为一种习惯小升初
21、数学培优讲义 30 a b (a b) (a b)，求6 4 9 8。 11 1 2，3 2 33，4 3 444，那么 63(26) 求x 3 54中x的值。 6 6、对于两个整数a和b定义新运算 7 7、对于 ，如果规定1 5 1 11111 1111 11111，2 42 22 222 2222， 3 3 3 33 333，4 24 44，那么7 4_ ；123 2 8 8、如果2 9 9、如果1 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 3 貝tM涉考点解读 1 1、 考察范围：因数与倍数；余数（包括同余法解题）。 2 2、 考察重点：判断几个常见数字的倍数；求最大公因数和最小公倍数；有关
22、余数的计算。 3 3、 命题趋势：常见数字的倍数，与公因数、公倍数及余数有关的实际应用。 目1 Ml左知识梳理 1 1、常见倍数特征. . 2 2 的倍数特征：个位上是 0,2,4,6,80,2,4,6,8 的数，都能被 2 2 整除。 3 3 的倍数特征：一个数各数位上的数字之和能被3 3 整除，这个数就能被 3 3 整除。 4 4 的倍数特征：一个数的末两位数字组成的数能被4 4 整除，这个数就能被 4 4 整除。 5 5 的倍数特征：个位上是 0 0 或 5 5 的数，都能被 5 5 整除。 7 7 的倍数特征：末三位上的数字组成的数与末三位以前的数字组成的数之差能被7 7 整除，这 个
23、数就能被 7 7 整除。 9 9 的倍数特征：一个数各数位上的数字之和能被9 9 整除，这个数就能被 9 9 整除。 1111 的倍数特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被1111 整除，这个数就能 被 1111 整除。 1313 的倍数特征：末三位上的数字组成的数与末三位以前的数字组成的数之差能被1313 整除， 这个数就能被 1313 整除。 :ih!-典例剖析 【例 1 1】用 1010 以内三个不同的数组成一个能同时被3 3 和 5 5 整除的三位数，你写出一个数 是_ ，写出满足题意最大的和最小的三位数分别是 _和_ 【变式练习】 1 1、在 947947 后面添上三个
24、不同数字，组成一个被2 2、3 3、5 5 同时整除的最小六位数，这个数 第5讲数的整除 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 32 2、能被 2、3、5 整除的最大四位数是 _，最小三位数是 _ 【例 2 2】有三个数：667628,735588,987129667628,735588,987129，其中能被 1313 整除的有_ 【变式练习】 1 1、有三个数：323532,38380,978768323532,38380,978768，其中能被 1111 整除的有_ 2、有一个四位数 3AA1 能被 9 整除，那么 A 是_ 【例 3 3】一个小数的小数点向右移动一位与向左移动一位所得的
25、两数之差为34.6534.65，则原来 的是_ 。 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 33 【变式练习】 1 1、把 A A 数的小数点向右移动一位变成B B 数，已知 B B 数比 A A 数多 67.567.5，那么 A A 数是_ 【例 4 4】一个减法算式中，被减数、减数与差的和是240240，而减数是差的 5 5 倍。问：被减数 【变式练习】 1 1、一个减法算式中，被减数、减数与差的和是 240240，而减数是差的 2 2 倍。问：差是_ 2 2、 一个减法算式中，被减数、减数与差三个数相加的和为 3-，那么被减数的倒数 5 【例 5 5】甲、乙两数的最大公因数是 的和是 _
26、。 7575，最小公倍数是450450，若它们的差最小，则两个数 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 31 2 2、把自然数a和b分解质因数得到a 2 5 7 m，b 35m，如果a和b的最小公 倍数是 27302730,那么 m m 。 【例 6 6】三个连续奇数的和是129129,其中最大的那个奇数是 _ 【变式练习】 1 1、七个连续奇数的和是 161161，其中最小的那个奇数是 _ 3 3、两个连续奇数的和乘它们的差，积是304304，这两个奇数分别是 _ 【变式练习】 1 1、甲、乙两数的最大公因数是6 6,最小公倍数是 3636,已知甲数是 1212,则乙数是 2 2、已知九个连
27、续自然偶数，其中最大数是最小数的9 9 倍，则这九个中最大的那个数 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 35 3 3 余 2,2,除以 4 4 余 2,2,除以 5 5 还是余 2 2，这个数最小是 _ 【变式练习】 1 1、某校五年级（共 3 3 个班）的学生排队，每排 3 3 人、5 5 人或 7 7 人，最后一排都只有 2 2 人, 这个学校五年级有名 学生。 个的数却少 4 4 个，这堆苹果最少有_个。 土皿亞课后精练 A温故知新 2 2、a是质数，b是合数。下面的式子中，值不一定是合数的为（ 【例 7 7】一个非零自然数除以 2 2、有一堆苹果,2 2 个 2 2 个的数少 1 1
28、 个，3 3 个 3 3 个的数余 1 1 个,4 4 个 4 4 个的数余 1 1 个，5 5 个 5 5 1 1、一个数分解质因数是22255577，这个数的因数中，质数有个。 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 36 A.A.3a bB.B.abC.C.ab aD.D. a丄 b 2b 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 37 5 5、 一个四位数 8A2A8A2A 能被 9 9 整除，求 A A 是_ 。 6 6、 两个不同的质数之和是1313,积是 2222,那么它们的差是 _ 。 7 7、 如果四个互不相等的自然数的乘积是441441,那么它们的和是 _ 8 8、 五个练习自然
29、数的和是7575，这 5 5 个连续自然数中最大的是 _ 。 9 9、 两个连续自然数的差乘它们的和，积是2929,这两个自然数是 _ B B 拓展提升 1 1、一个三位数除以 3737,余数是 1717,除以 3636,余数是 3 3，这个三位数是 2 2、一个数除以 3 3 余 2 2，除以 4 4 余 1 1,这个数除以 1212 的余数是_ 3 3、自然数a分解质因数是a 2 325，那么a的因数有_个。 4 4、已知A 2 2 3 5,B 如果 A A 和 B B 的最大公因数是那么n _ 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 3 3 3、三个数 218218、170170、2902
30、90,除以一个数都余 2 2,这个整数最大是 _ 4 4、小明在一次除法计算中，把被除数271271 错写成了 217217,结果商少了 3 3 而余数恰好不变, 这题中的除数是_。 431 5 5、三个质数的倒数之和为，这三个质数分别是 1547 6 6、若两个自然数除以 1313 后得到的余数分别是 5 5 和 9,9,那么它们的积除以 1313 的余数是_ 7 7、一个数，除 5050 余 2 2,除 6565 余 5 5,除 9191 余 7 7,这个数是（） A A、 1010B B、1111C C、1212D D 、1313 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 38 第6讲 比较
31、数的大小 考点解读 1 1 1、 考察范围：分数与小数的大小比较。 2 2、 考察重点：异分母分数大小比较，分数小数百分数之间的转化。 3 3、 命题趋势：多以选择填空为主，考察分数、小数之间的大小比较。 目1 Ml左知识梳理 1 1、 常用方法. . 同分母的分数，分子越大，分数值越大。同分子的分数，分母越大，分数值越小。 异分母的分数，先通分母， 再运用同分母分数大小比较的方法。（或通分子） 分数、小数、百分数之间比较大小，可统一转化成分数或小数进行比较。 分子和分母差一定时，分子或分母越大的分数，其值越大。 2 2、 特殊方法. . 基准数法：确定一个标准，使所有分数都和它比较。 着商法
32、：用一个数除以另一个数，把得数和1 1 进行比较。 着差法：用一个数减去另一个数，把得数和0 0 进行比较。 倒数法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。 :川-典例剖析 【例 1 1】在 12,15,60 三个数中，最大的是，最小的是 192397 【变式练习】 1 1、把下面几个数按照从大到小的顺序排列: 2、把下面几个数按照从大到小的顺序排列: 46_81224 7，11，17，23，53 510 J530 9，19，37，61 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 39 【例 2 2】把下面几个数按照从小到大的顺序排列: ,3.14, 22 1 【变式练习】 1 1、某超市有甲、乙、
33、丙三种餐巾纸，甲种 包， _ 种纸每包价格最贵。 1 1 元钱 3 3 包，乙种2 2 元钱 5 5 包，丙种 3 3 元钱 8 8 2、已知 Ovxv1，将x, 12 -,x按从小到大的顺序排列 x 【例 3 3】比较A卫 33 和B卫 3 的大小。 1666 166 【变式练习】 1 1、比较 二 77 和刀 77 的大小。 777777777 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 4 8887 【例 4 4】比较A和B 9998 【变式练习】 2342134 c789 1 1、比较A,B,C 三个数的大小。 3352235890 比较 13131313 和里的大小。 68686868 6
34、8 【变式练习】 2、比较 A，B 284,2竺三个数的大小。 34 1 1、比较71和 83 71717171 83838383 的大小。 5554 6665 的大小。 【例 5 5】 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 4 【例6 6】已知a 1 丄 b 1 10 把a,b,c按从大到小顺序排列是 【变式练习】 3 1 1、已知甲 120%乙- 5 【例7 7】已知A 9.5875 1.23457,B9.5876 1.23456，试比较它们的大小。 【变式练习】 697 343343343 697697697 的大小。 2 2、甲数的 2 等于乙数的 1，那么甲数（ 54 ）乙数。 A、
35、B 、v 5 丙 丁 15，则甲乙丙丁中最小的是 7 1 1、已知A 2013 2016,B2014 2015，试比较它们的大小。 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 4 1 1、四个分数 10 17 12 19 15 23 中，那个分数最大？那个分数最小? 2 2、已知A 143276 78965,B 143269 78972，试比较它们的大小。 12 2 【例 8 8】已知 1 v丄v 2，则式中 a最多可能表示个不同的自然数。 5a 13 【变式练习】 11 1 1、在 1 v()v-中，复合条件的分数有个。 43 2 2、已知 1 v - v 4，则式中 m最多可能表示 _ 个不同的
36、自然数。 2m 5 自课后精练 A A、温故知新 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 43 2 2、若A 22 竺，B 44443，试比较它们的大小。 3333266665 555145639215 5555 4567 9219 5 5、已知A 12344 98766,B12345 98765，试比较它们的大小。 65 6 6、已知a,b,c均不为零，且a b - 56 7 7、已知1v 8v4，则式中 a最多可能表示个不同的自然数。 3a 5 满足1v v，当分母b最小时, b 2 b 3 4 4、 23 比较一 3 与 89 23232323 89898989 的大小 3 3、比较下列三
37、个分数的大小: c-，那么三个数中最大的是 4 8 8、一个最简分数 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 44 数论专题(一) 整除、带余除法 团M隹知识梳理 具有整除的数的特点： (1)被 2 2 整除：末位数字能被 2 2 整除的数必能被 2 2 整除，即末位数字是 0 0、2 2、4 4、6 6、 8 8 的数能被 2 2 整除. . (2)被 4 4 整除：末位两位数字组成的两位数能被 4 4 整除，则该数必能被 4 4 整除. . (3)被 8 8 整除：末三位数字组成的三位数能被 8 8 整除， 则该数必能被 8 8 整数. . (4)被 3 3 整除：各位数字之和能被 3 3
38、整除，则该数能被 3 3 整除. . (5)被 5 5 整除：末位数字是 0 0 或 5 5 的数必能被 5 5 整除. . (6)被 9 9 整除：各位数字之和能被 9 9 整除，则该数能被 9 9 整除. . (7)被 7 7、1111 或 1313 整除：末三位数字与末三位以前的数字的差(以大减小)能被7 7、 1111 或 1313 整除，那么这个数必能 7 7、1111 或 1313 整除. . (8) 被 1111 整除：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(以大减小)能被 1111 整除，那么这个数必能 被 1111 整除. . 目1训左课前热身 1.1.在下面各组数中，哪
39、一组的第一个数 能被第二个数整除. .() A.26A.26 和 1313B.35B.35 和 1717 C.210C.210 和 4 4D.5.6D.5.6 和 8 8 2.2. 一个三位数，它的各位数字之和是8 8,它能被 5 5 整除，写出符合条件的三位数 3.3.有一个四位数能3AA1能被 9 9 整除，求 A A 的值. . 4.4. 20112011 年五一劳动节”是星期天，20122012 年的五一劳动节”是星期几? 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 45 5.5.能被 2 2、3 3、5 5 除都余 1 1,且不等于 1 1 的最小整数是多少? 让优秀成为一种习惯小升初数学
40、培优讲义 46 目1皿址典例精析 类型一：数的整除性问题 (2(2)在()内填上合适的数，使下面的数能被2525 整除. . A.A. 10001000 ()B.B. 1717 ()() C.C.257257 ()D.D. 4 4 () 5 5 () 【变式 1.21.2从 1 1 到 39983998 这 39983998 个正整数中，有多少个数能被4 4 整除? 类型二：整除性特征问题 【例 2 2】六位数865abc能被 3 3、4 4、5 5 整除，要使这六位数尽可能小，求a,b, c的值. . 【例 1 1】(1 1 )在()内填上一个合适的数字，使下面的数能被3 3 整除. . A
41、.A. 8 8 ( ) 45974597 C.C. 7 7 () 8282 B.B. () 8 8 () D.D.45094509 () 7 7 【变式 1.11.1】判断下列各数，哪些能被4 4 整除，并说明理由 2522521724172425122512420004200082568256 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 13 【变式 2.12.1某个七位数2973abc能同时被 5 5、8 8、9 9 整除，那么它的最后三位数a,b,c 分别是多少？ 【变式 2.22.2五位数538xy能同时被 3 3、7 7、1111 整除，则x2y2_ 类型三：同余问题中求被除数问题 【例
42、3 3一个大于 1 1 的整数，除 300300、262262、205205，得到相同的余数，这个整数是多少? 【变式 3.13.1有一个大于 1 1 的整数，它除 381381、210210、286286 的余数相同，这个整数是多少? 【变式 3.23.2 一个数除以 3 3 余 2 2,除以 5 5 余 3 3,除以 7 7 余 4 4,求符合此条件的最小自然数 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 4 类型四：同余问题中求余数问题 【例 4 4】两个数被 1313 除分别余 7 7 和 1010,这两个数的和被 1313 除余几? 【变式 4.14.1自然数 A A 除以 5 5 余 2
43、 2,自然数 B B 除以 5 5 余 3 3，那么 A A 和 B B 的和除以 5 5 余几? 【变式 4.24.2如果两个数被 3 3 除都余 2 2,那么他们的积被 3 3 除，余数是多少? 类型五：求被除数问题 【例 6 6】一个两位数除 253253，得到的余数是 4343，求这个两位数 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 4 【变式 6 6】小平在一次除法计算中，把被除数271271 错写成 217217，结果商少了 3 3 而余数恰 好不变，这题中的除数是多少？ 別砸课后练习 A.夯实基础 1.1.在()内填上合适的一个数字， 使得下面的数能 被9 9 整除. . A A.
44、222222 ()B B. 5 5() () 4444 C C. 4 4 ( ) 1818 () 7 7D D. 62126212 ( ) 1 1 2.2.有一个数为102030405060708090,请问这个数能被 9 9 整除吗? 3.3.已知整数1x2x3x4x5x能被 1111 整除，求 x x 值. . B.能力拓展 4.4. 一个六位数，它能被 9 9 和 1111 整除，去掉这个六位数的首尾两个数字，那么这样的六位数 剩下的四位数为 19971997, 这个六位数是多少？ 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 49 5.5.某个七位数 19931993 ()( 最后的三位数字依
45、次 是什么？ 6.6.两个自然数被 7 7 除分别余 2 2 和 4 4,则求这两个数的和除以 7 7 余几? 7.7. 6969, 9090 和 125125 被某个大于 1 1 的正整数 N N 除时，余数相同，试求N N 的值. . C. 综合创新 8.8.将分别写有数码 1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7、8 8、9 9 的九张卡片排成一排，发现恰是能被1111 整 除的最大的九位数，试求这个数. . 9.9. 一个正整数除以 5 5、7 7、9 9 及 1111 的余数依次是 1 1、2 2、3 3、4 4，请问满足上述条件的最小的正 整数是多少？ )能够同时被
46、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7、8 8、9 9 整除，那么它的 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 50 第8讲数论专题（二） 因数、倍数与数的奇偶性 知识梳理 因数、倍数：如果数 A A 能被数 B B 整除（B B 不为零），A A 就叫做 B B 的倍数，B B 就叫做 A A 的约 数（或因数、因子）， 倍数和约数是相互依存的 公因数：几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，一个数的约数的个数是有限的， 其中最小的是 1 1，最大的 是它本身，例如在 2 2、4 4、6 6 中，2 2 就是 2 2, 4 4, 6 6 的最大公约数. . 公倍数：几个数公有的倍数叫做这
47、几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数 的最小公倍数，一个数的 倍数是无限的，几个数的公倍数也是无限的 所有的整数被分成奇数和偶数，奇数偶数的一些性质是很明显的； 奇数+ +奇数= =偶数 偶数+ +禺数= =偶数 奇数+ +偶数= =奇数 奇数X奇数= =奇数 偶数X偶数= =偶数 奇数X偶数= =偶数 如果整数a和b同为奇数或同为偶数， 我们就说a和b有相同的奇偶性，巧妙地利用奇 偶性，可以解决许多 有趣的问题 . . 目畦课前热身 1.1.求下列各组数的最大公因数: 3030, 2424, 4242 3030, 20.20., 2727 2.2.求下列各组数的最小公倍数： 2,2,
48、4 4, 6 61212, 1515, 3030 3,3,7 7, 13131616, 2424, 5656 3.3. 325325 4 4X2 2 *65*65 895895 末尾有多少个零? 1212, 1515, 3030 4848, 3232, 5656 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 51 4.4. 一个长方形操场的长为 6060 米，宽为 4242 米，学校为了开运动会，要分配旗手站在操 场的外围，要求 4 4 个角上要站有旗手且每个旗手之间的距离要相等，那么每个旗手之间的距 离要取多长才能使需要的旗手最少？ 5.5.两个数的最大公约数是 3 3,最小公倍数是 3030,其中
49、的一个数是 6 6,那么另外一个数是 多少？ 目m吐典例精析 类型一：最大公因数 【例 1 1】有三根长绳，分别长 2424 米、6060 米和 4242 米，现在要把这些长绳截成尽可能长而 又相等的小段，请问 能截成多少段？ 【变式 1.11.1】新思潮学校初一(1 1) (2 2) ( 3 3)班分别有人数 4242, 4848, 6060 人，年级组要求 在各个班分学习小组， 要求整个年级分得的每个小组人数要相同， 请问每个学习小组最多能 有多少个人？ 让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义 5? 【变式 1.21.2】有三根铁丝，分别长 3 3 米、4.444.44 米和 5.165.1
50、6 米，把它们截成同样长且尽可能 长的整厘米小段（不 许剩余），每小段折成 1 1 个小正方形，然后将这些小正方形混放在一起 拼成一个长方形（每拼一次都必须全部用上这 些小正方形），这样可能拼成的长方形有几种？ 类型二：最小公倍数 【例 2 2】一个圆形球场的周长是 6060 米，从圆周的某一点开始，沿着圆周每隔 1616 米取一 点，直到与原始点重 合为止，圆周上共取了多少个点? 【变式 2.12.1】甲每三个星期理发一次，乙每2727 天理发一次，已知 4 4 月 1 1 日甲理发，4 4 月 7 7 日乙理发，那么他们以后在同一天理发的最近日期是几月几号？ 【变式 2.22.2】电力部门
