1、高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 概述： 本章内容是在以前所学知识基础上的深入和扩展， 是高中数学非常重要的基础 环节.通过处理大量的实际问题， 学生能够培养起分析总结的习惯， 提高实践能力.高 考中对于本章内容多以一道解答题来考查， 有时还会再出一道选择或填空题.本章题 目基础性、 实践性较强， 需要学生有一定的生活经验， 但难度中等， 一般不作为压轴 题出现. 知识网络 第二十一章概率 概率条件概率相互独立事件的概率n次独立重复试验 离散型随机变量 正态分布 数字特征 期望 方差 分布列 二项分布 超
2、几何分布 二点分布 联系 168 第二十一章概率 1.求离散型随机变量X的分布列的步骤： （1） 确定X的可能取值xi（i=1，2， ）； （2） 求出相应的概率P（X=xi）=pi； 二、 重要概念剖析 21.1离散型随机变量及其分布列 一、 知识图表 随 机 变 量 随机变量 随着试验结果变化而变化的量称为随机变量， 常用X、Y、 表示. 离散型随 机变量 若随机变量可能取的值可以按一定的次序一一列出， 这样的随机 变量叫做离散型随机变量. 分 布 列 分布列 一般地， 设离散型随机变量X可能取的值为X1，X2， ，Xi， ， X每取一个值xi（i=1，2， ） 的概率P（X=xi）=pi
3、， 则称表 为随机变量X的概率分布， 简称X的分布列. 性质 （1）0pi1，i=1，2， （2）p1+p2+=1 常见离散 型分布列 （1） （其中q=1-p） 称这样的随机变量X服从二项分布， 记作XB（n，p）. （2） 称这样的随机变量X服从超几何分布， 记作XH（N，M，n） （3） 称这样的随机变量X服从二点分布. Xx1x2xi Pp1p2pi X01 P1-pp X01n PC0np0qnC1npqn-1Cnnpnq0 k Cknpkqn-k X01m P C0MCn-0 N-M CnN C1MCn-1 N-M CnN CmMCn-m N-M CnN 求P（X =xi）时 ，
4、需要掌握古典概型、 几 何概型、 互斥 （对立） 事件、 相互独立事件、 独立重复试验、 条件概 率的相关知识. 要点提示: 169 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 三、 学习方法引导 例从含有5件次品的100件产品中， 任取3件， 试求取到的次品 数X的分布列. 思路引导：次品数X服从参数为N=100，M=5，n=3的超几何分布. 解： X的可能取值为0，1，2，3. P（X=0）=C 0 5C 3 95 C 3 100 P（X=1）=C 1 5C 2 95 C 3 100 P（X=2）=C 2 5C
5、 1 95 C 3 100 P（X=3）=C 3 5C 0 95 C 3 100 则分布列为 （2009 浙江） 在1，2，3， ，9这9个自然数中， 任取3个数. （1） 记这3个数中恰有1个是偶数的概率； （2） 记为这3个数中两数相邻的组数 （例如： 若取出的数为 1，2，3， 则有两组相邻的数1，2和2，3， 此时的值是2）.求随 机变量的分布列及其数学期望E. 答： （1） 10 21 （2）E= 2 3 四、 高考回眸 0 P 5 12 1 1 2 2 1 12 （3） 列成表格的形式. 2.离散型随机变量分布的两个重要性质， 既是解决某些问题的切入点， 同时又是检验求出的一 个分
6、布列是否有错误的依据. 3.二项分布， 实际是对n次独立重复试验从概率分布的角度作出的阐述， 判断二项分布， 关键 是看某一事件是否进行n次独立重复试验， 且每次试验只有两种结果， 如果不满足此两个条件， 随 机变量就不服从二项分布. X03 P C05C395 C 3 100 C35C095 C 3 100 1 C15C295 C 3 100 2 C25C195 C 3 100 名师经验谈：取物问题 是一个常见问题.在这 类问题中， 要分清 “一 次 性 取n件 ” ， 还 是 “逐次逐 件 抽 取 ”.在 “逐 件 抽 取 ” 问 题 中 ， 还 要 分 清 “放 回 ” 与 “不放回”
7、的区别. 高考命题趋势：条件概 率、 几何概型、 超几何 分布是近年新引入高中 课本的知识， 大有 “文 章 ” 可 做 ， 应 给 予 重 视.二项分布是重要内 容， 也不容小觑. 170 第二十一章概率 1.条件概率除了用条件概率公式来求解， 某些古典概型的题目也可以用公式 P= card（AB） card（A） 来求解. 二、 重要概念剖析 21.2条件概率与事件的独立性 一、 知识图表 积事件 由事件A和B同时发生所构成的事件D， 称为事件A 与B的交 （或积）， 记作D=AB （或 D=AB）. 条 件 概 率 条件概率 对于任何两个事件A和B， 在已知事件A发生的条件 下， 事件B
8、发生的概率叫做条件概率， 用符号P（B A） 表示. 有条件概率公式P（BA）= P（AB） P（A） ，（P（A）0）. 相 互 独 立 事 件 相互独立事件 事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响， 即 P（BA）=P（B）， 称两个事件A、B相互独立， 把这两个 事件叫做相互独立事件. 如果A、B相互独立， 那么A与B、A与B、A与B也 是相互独立的. 相互独立事件同时 发生的概率公式 P（AB）=P（A） P（B） n次 独 立 重 复 试 验 n次独立重复试验 在相同的条件下， 重复地做n次试验， 只考虑有两个 可能的结果A及A， 各次试验的结果相互独立， 并且 事件A发生的概率相
9、同， 那么一般称它们为n次独立 重复试验. n次独立重复试验事 件A发生k次的概率 公式 P（X=k）=Cknpkqn-k，k=0，1，2， ，n， 其中P为事件A发生一次的概率，q=1-p. （1） 已知两个事件 A、B， 它们的概率分别 为P（A）、P（B）， 那么： A、B中 至 少 有 一 个发生的事件为A+B； A、B都 发 生 的 事 件为AB； A、B都 不 发 生 的 事件为A B； A、B恰 有 一 个 发 生的事件为AB +A B； A、B至多有一个发生 的事件为AB+AB+A B. （2） 求条件概率问 题的步骤： 用字母表示有关 事件； 求P（A） 及 P（AB）； 利
10、用条件概率公 式求P（BA）. （1） 独立重复试验 必须满足两个特征： 每次试验的条件 都完全相同， 有关事件 的概率保持不变； 各次试验的试验 互不影响， 即各次试验 互相独立. 要点提示: 171 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 例1一个家庭中有两个小孩， 假定一个小孩是男还是女为等可能 的. （1） 求两个小孩都是女孩的概率； （2） 已知其中一个是女孩， 求另一个也是女孩的概率. 思路引导：一个家庭中的两个小孩有4种可能 （男、 男）、（男、 女）、（女、 男）、 （女、 女）， 这4个基本事
11、件发生是等可能的. 解： （1）P1= 1 4 ；（2）P2= 1 4 3 4 = 1 3 . 例2在一段线路中并联着三个独立自动控制的 常开开关， 只要其中有一个开关能够闭合， 线路 就能正常工作， 假定开关A、B、C能够闭合的 概率分别为P1，P2，P3， 计算这段时间内线路正 常工作的概率. 思路引导：这段时间内线路正常工作， 就是三个开关中至少有一个 能闭合， 也就是三个开关都不能闭合的对立事件.由于三个开关闭 合是相互独立的， 则它们不能闭合也是相互独立的. 解： 设三个开关闭合为事件A、B、C， 不能闭合为A、B、C . P（ABC）=1-P（A B C）=1-P（A） P（B）
12、P（C） =1-1-P（A） 1-P（B） 1-P（C） =1-（1-P1）（1-P2）（1-P3） 三、 学习方法引导 2.区别P（BA ）与 P（AB）. 3.如果B和C是两个互斥事件， 则P（BCA）=P（BA）+P（CA）. A B C 四、 高考回眸 （2016年北京） 袋中装有偶数个球， 其中红球、 黑球各占一半. 甲、 乙、 丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球， 将其中一个球放入甲 盒， 如果这个球是红球， 就将另一个球放入乙盒， 否则就放入丙盒.重 复上述过程， 直到袋中所有球都被放入盒中， 则 （） A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙
13、盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 答案：B 名 师 经 验 谈 ：（1） （2） 问 是 初 学 者 易 混 淆 的 问 题 ， 条 件 概 率 的 题 目 总 会 出 现 一 些 “若”，“已知”， “ 在 前 提 下 ” 这样的字眼.（2） 问还 可以直接看到 “其中一 个是女孩” 中含3个基 本事件.“一个是女孩， 另一个也是女孩” 含1 个基本事件. P2=1 3 . 172 第二十一章概率 例一次数学测验由25道选择题构成， 每个选择题有4个选 项， 其中有且仅有一个选项是正确的， 每个答案选择正确得4 三、 学习方法引导 21.3随机变量的数字特征 一、
14、知识图表 期 望 期望 若离散型随机变量X的分布列为 则称EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn为X的数学期望或均值， 简 称期望.它反映了X取值的平均水平. 性质E（aX+b）=aEX+b. 方 差 方差 称DX=（x1-EX）2p1+（x2-EX）2p2+（xi-EX）2pi+（xn-EX）2pn为随 机变量X的方差， 简称方差. DX的算术平方根DX 姨 叫做随 机变量X的标准差. 性质 （1）DX=EX2-（EX）2； （2）D（aX+b）=a2DX. 常 见 离 散 型 随 机 变 量 二点分布EX=p；DX=p（1-p）. 二项分布EX=np；DX=np（1-p）. 超几何分
15、布EX= nM N . Xx1x2xixn Pp1p2pipn 求离散型随机变量X的期望、 方差的一般步骤. 1.写出X的分布列， 在求X取每一个值的概率时， 要联系概率的有关知识如古典概型、 独立 事件的概率等. 2.由分布列求EX， 进而求出DX. 3.如果随机变量是线性关系或服从二点分布、 二项分布、 超几何分布， 则根据它们的期望、 方 差公式计算. 二、 重要概念剖析 期望刻画了离散型 随机变量所取得的平均 值.在实际生活中， 可 以用来为投资者预测平 均利润等. 方差在于描述离散 型 随 机 变 量 稳 定 与 波 动、 集中与分散的状况. 品种的优劣、 仪器的好 坏、 预报的准确
16、状况 、 武器的性能、 水平高低 等很多方面指标都与这 两个特征数 （期望、 方 差） 有关. 要点提示: 173 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 四、 高考回眸 （2009 辽宁） 某人向目标射击4次， 每次击中目标的概率为 1 3 .该 目标分为3个不同的部分， 第一、 二、 三部分面积之比为136.击 中目标时， 击中任何一部分的概率与其面积成正比. （） 设X表示目标被击中的次数， 求X的分布列； （） 若目标被击中2 次， A表示事件 “第一部分至少被击中1次 或第二部分被击中2次”， 求P（
17、A）. 答案：（） （）0.28 X04 P 16 81 1 81 1 32 81 23 8 27 8 81 分， 不作出选择或选错不得分， 满分100分.某学生选对任一题 的概率为0.6， 求此学生在这一次测验中的成绩的期望与方差. 思路引导：本题中测验成绩不满足二项分布， 但易发现 “在这 次测验中选择正确答案个数” 服从二项分布， 可用二项分布的 均值与方差公式， 避免复杂的计算过程. 解： 设该学生在这次数学测验中选择正确答案的个数为， 所得 的分数为， 则=4. 由题可知，B（25，0.6）， E=250.6=15，D=250.60.4=6. E=E（4）=4E=60，D=D（4）=
18、16D=96. 即该学生在这一次测验中的成绩的期望与方差分别是60与96. 名师经验谈：概率统计 的解答题一般文字信息 量都比较大， 所以学生 要学会 “捞干的”.具 有一定的实际生活经验对 解这类题大有帮助. 高考命题趋势：本题的 难度不会增加太多， 但 与实际相结合的程度会 提高， 更加要求学生灵 活处理， 善于从中提炼 数学模型. 174 第二十一章概率 21.4正 态 分 布 一、 知识图表 概 率 密 度 曲 线 概念 对于连续型随机变量X， 位于x轴上方，X落在任一区 间 （a，b） 内的概率等于它与x轴、 直线 x=a与直线x= b所围成的曲边梯形的面积， 这条概率曲线叫做X的概
19、 率密度曲线. 性质 P（aX0， 则称X服从正态分布N（， 滓2）. 它的图象为正态曲线. 期望、 方差EX=DX=滓2 正态曲线的性质 曲线在x轴上方， 且关于直线x=对称； 在x=处为最高点， 由这一点向左、 右两边延伸时， 曲线逐渐降低； 曲线对称轴位置由确定， 曲线形状由滓确定，滓越 大， 曲线越 “矮胖”； 反之， 曲线越 “高瘦”； 曲线与x轴之间的面积为1. 标准正态分布=0，滓=1， 记作N（0，1）. “3滓” 原则 正 态 变 量 在 区 间（-滓，+滓） ，（-2滓，+2滓） ， （-3滓，+3滓） 内取值的概率分别是68.3%，95.4%， 99.7%.于是， 正态变
20、量取值几乎都在距x=三倍标准差 之内. 例在某项测量中， 测量结果服从正态分布N（2，滓2）（滓0）， 若 在 （0，2） 内取值的概率为0.4 ， 则 在 （-，4） 内取值的概率为 （） A. 0.1B. 0.2C. 0.8D. 0.9 二、 学习方法指导 本节内容基本以选 择、 填空面貌出现， 难 度不大.主要考查正态 曲线性质， 尤其是对称 性， 做此类题目多结合 图象. 要点提示: 175 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 三、 高考回眸 （2008 安徽） 设两个正态分布N（1，滓21）（滓1
21、0） 和N（2，滓22） （滓20） 的密度函数如图， 则有 （） A. 12，滓1滓2 B. 1滓2 C. 12，滓12，滓1滓2 答案：A 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 y x O0.51.0-1.0-0.5 N(1,滓21) N(2,滓22) 思路引导：=2如图 P（02）=0.4，P（0）=0.1， 又P（24）=0.4， P（4）=P（0）+P（02）+P（24）=0.9. 解答：D O =2 4 y x 名师经验谈：充分理解 正分布曲线的本质， 以 及及滓的实际意义是 解决此类问题的关键. 高考命题趋势：本节内 容出题一般为选择题或 填空题， 难度较低， 应 为易得分的题目. 176
