1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 考点 5等比数列 玩前必备 1等比数列的有关概念 (1)定义： 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数 列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示，an 1 an q 说明：等比数列中没有为 0 的项，其公比也不为 0. (2)等比中项： 如果 a、G、b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项即：G 是 a 与 b 的等比中项a，G，b 成等比 数列G2abG ab 说明：任何两个实数都有等差中项，但与等差中项不同，只有同号的两个数才有等比中项两个同号的数 的等比中项有两个，它们
2、互为相反数 2等比数列的有关公式 (1)通项公式：ana1qn 1 (2)前 n 项和公式：Sn na1，q1， a1（1qn） 1q a1anq 1q ，q1. 3等比数列的性质 已知数列an是等比数列，Sn是其前 n 项和(m，n，p，q，r，kN*) (1)若 mnpq2r，则 amanapaqa2r； 玩转典例 题型一等比数列基本量的运算 例例 1(1)（2017 新课标）设等比数列 n a满足 12 1aa ， 13 3aa ，则 4 a= _ (2)（2017 北京）若等差数列 n a和等比数列 n b满足 11 1ab ， 44 8ab， 则 2 2 a b =_ 例例 2已知等
3、比数列an的前 n 项和为 Sn，a33 2，S 39 2，则公比 q( ) A. 1 或1 2 B. 1 2 C. 1D. 1 或1 2 玩转跟踪 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 1. （2015 安徽）已知数列 n a是递增的等比数列， 1432 9,8aaa a，则数列 n a的前n项和等 于 2.(2015新课标全国，13)在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前 n 项和.若 Sn126， 则 n_. 3.（北京）若等比数列 n a满足 24 aa=20， 35 aa=40，则公比q=；前n项和 n S= 4.(天津)设an是首项为 a1，公差为1 的等差数列，Sn为其前
4、 n 项和若 S1，S2，S4成等比数列，则 a1的 值为_ 题型二等比数列的性质及应用 例 3已知an为等比数列 (1)若 an0，a2a42a3a5a4a625，求 a3a5； (2)若 an0，a5a69，求 log3a1log3a2log3a10的值 玩转跟踪 1.（广东）等比数列 n a的各项均为正数，且 15 4a a ，则 2122232425 log+log+log+log+log=aaaaa_ 2.(新课标全国，9)已知等比数列an满足 a11 4，a 3a54(a41)，则 a2() A.2B.1C.1 2 D.1 8 题型三等比数列综合应用等比数列综合应用 例(四川，16
5、)设数列an(n1，2，3，)的前 n 项和 Sn满足 Sn2ana1，且 a1，a21， a3成等差数列. (1)求数列an的通项公式； (2)设数列 1 an的前 n 项和为 Tn，求 Tn. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 例 5 （2019 全国 2 卷理 19） 已知数列an和bn满足 a1=1， b1=0， 1 434 nnn aab ， 1 434 nnn bba . （1）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列； （2）求an和bn的通项公式. 玩转跟踪 1.(北京，15)已知an是等差数列，满足 a13，a412，数列bn满足 b14，b420，且bn an为等比数
6、列. (1)求数列an和bn的通项公式； (2)求数列bn的前 n 项和. 2.(福建，17)在等比数列an中，a23，a581. (1)求 an； (2)设 bnlog3an，求数列bn的前 n 项和 Sn. 玩转练习 1（2019 全国 1 理 14）记 Sn为等比数列an的前 n 项和若 2 146 1 3 aaa，则 S5=_ 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 2.（2019 全国 3 理 5）已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项为和为 15，且 a5=3a3+4a1，则 a3= A 16B 8C4D 2 3(2018 北京) “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学
7、方法计算出半音比例，为这个理论 的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个 单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122若第一个单音的频率为 f，则第 八个单音的频率为 A 3 2 fB 32 2 f C12 5 2 f D12 7 2 f 4.（2017 新课标）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增， 共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯 数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯 A1 盏B3 盏C5 盏D9 盏 5 （2015 新
8、课标）等比数列 n a满足 1 3a ， 135 21aaa，则 357 aaa= A21B42C63D84 6 （2017 江苏） 等比数列 n a的各项均为实数， 其前n项的和为 n S， 已知 3 7 4 S ， 6 63 4 S ， 则 8 a= 7 （2016 年浙江）设数列 n a的前n项和为 n S若 2 4S ， 1 21 nn aS ， * nN，则 1 a=， 5 S= 8. （2020 届山东省济宁市第一中学高三一轮检测） 已知 n a是等差数列， n b是等比数列， 且 2 3b ， 3 9b ， 11 ab， 144 ab （1）求 n a的通项公式； （2）设 nn
9、n cab，求数列 n c的前 n 项和 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 9 （2018 全国卷）等比数列 n a中， 1 1a ， 53 4aa (1)求 n a的通项公式； (2)记 n S为 n a的前n项和若63 m S ，求m 10.（2018 全国卷）已知数列 n a满足 1 1a ， 1 2(1) nn nana，设 n n a b n (1)求 1 b， 2 b， 3 b； (2)判断数列 n b是否为等比数列，并说明理由； (3)求 n a的通项公式 11.（2017 北京）已知等差数列 n a和等比数列 n b满足 11 1ab， 24 10aa， 245 b ba （）
10、求 n a的通项公式； （）求和： 13521n bbbb 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 12.(2016新课标全国，17)已知 n a是公差为 3 的等差数列，数列 n b满足 1211 1 = 3 n nnn bba bbnb 1，. （I）求 n a的通项公式； （II）求 n b的前 n 项和. 13.（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测） 已知数列 n a中，11a ， 1 21 nn aan ，n n ban. （1）求证：数列 n b是等比数列; （2）求数列 n a的前n项和 n S. 14.（2020届山东省菏泽一中高三 2 月月考） 设数列 n a的前 n 项和为 n S,已知 1 1a , 1 21 nn SS ,n N. (1)证明:1 n S 为等比数列,求出 n a的通项公式; (2)若 n n n b a ,求 n b的前 n 项和 n T.
