1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 考点 12平面向量的概念和运算 玩前必备 1向量的有关概念 (1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量AB 的大小叫做向量的长度(或模)，记作 |AB |. (2) 零向量：长度为 0 的向量叫做零向量，其方向是任意的 (3) 单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量 (4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可 以移到同一直线上 规定：0 与任一向量平行 (5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 (6) 相反向量： 与向量 a 长度相等且方向相反的向量叫做 a 的相反向量 规
2、定零向量的相反向量仍是零向量 2.向量的加法 (1) 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 (2) 法则：三角形法则；平行四边形法则 (3) 运算律：abba；(ab)ca(bc) 3.向量的减法 (1) 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法 (2) 法则：三角形法则 (3) 运算律：aba(b) 4.向量的数乘 (1) 实数与向量 a 的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下： |a|a； 当0 时，a 与 a 的方向相同； 当0 时，a 与 a 的方向相反；当0 时，a0. (2) 运算律：设、R，则： (a)()a； ()aaa； (ab)ab 玩转数学培优题型篇安老师培优
3、课堂 5. 向量共线的判定定理 a 是一个非零向量，若存在一个实数，使得 ba，则向量 b 与非零向量 a 共线 6平面向量基本定理 如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，存在唯一一对实数1、2， 使 a1e12e2. 我们把不共线的向量 e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底 一个平面向量 a 能用一组基底 e1，e2表示，即 a1e12e2.则称它为向量的分解。当 e1，e2互相垂直时， 就称为向量的正交分解。 7平面向量的坐标运算 (1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB (x 2x1，y2y1)，|AB | x 2x12y2
4、y12. (2)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)， (3)若 a(x，y)，则a(x，y)；|a| x2y2. 8向量平行的坐标表示 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0.abab x1y2x2y10. 玩转典例 题型一题型一平面向量的基本概念平面向量的基本概念 例例 1 给出下列命题： 向量AB 的长度与向量BA的长度相等； 两个非零向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； 两个有公共终点的向量一定是共线向量 其中不正确命题的个数为() A. 1B.
5、 2C. 3D. 4 玩转跟踪 1.下列命题中，正确的是_(填序号) 有向线段就是向量，向量就是有向线段； 向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； 向量AB 与向量CD 共线，则 A、B、C、D 四点共线； 如果 ab，bc，那么 ac； 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 2.给出下列命题： 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 若|a|b|， 则 ab； 若 A， B， C， D 是不共线的四点， 则“AB DC ”是“四边形 ABCD 为平行四边形” 的充要条件；若 ab，bc，则 ac；ab 的充要条件是|a|b|且 ab. 其中正确命题的序号是_ 题型题型
6、二二平面向量的线性运算平面向量的线性运算 例例 2（2015新课标）设D为ABC所在平面内一点，3BCCD ，则() A 14 33 ADABAC B 14 33 ADABAC C 41 33 ADABAC D 41 33 ADABAC 例例 3（2018新课标）在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则(EB ) A 31 44 ABAC B 13 44 ABAC C 31 44 ABAC D 13 44 ABAC 例例 4(2020威海模拟)在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别为边 BC，CD 的中点，若AB xAEyAF(x，yR)， 则 xy_. 玩转跟踪 1.如图，已知
7、AB a，AC b，BD 3DC ，用 a，b 表示AD ，则AD () Aa3 4b B. 1 4a 3 4b C. 1 4a 1 4b D. 3 4a 1 4b 2. （2020 届山东省青岛市高三上期末） 在ABC中, 2ABACAD , 20AEDE ,若EBxAByAC , 则() A2yxB 2yx C2xyD2xy 题型三题型三平面向量坐标运算平面向量坐标运算 例例 5（2015全国）设平面向量( 1,2)a ，(3, 2)b ，则2(ab ) A(1,0)B(1,2)C(2,4)D(2,2) 例例 6（2015新课标）已知点(0,1)A，(3,2)B，向量( 4, 3)AC ，
8、则向量(BC ) A( 7, 4)B(7,4)C( 1,4)D(1,4) 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 例例 7（2015江苏）已知向量(2,1)a ，(1, 2)b ，若(9manb ，8)(m，)nR，则mn的值为 玩转跟踪 1.(北京，13)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示若 cab(，R)，则 _. 2.(广东，3)若向量BA (2，3)，CA(4，7)，则BC () A(2，4)B(2，4) C(6，10)D(6，10) 题型题型四四平面向量共线定理平面向量共线定理 例例 8 (新课标 II 理)设向量 a，b 不平行，向量ab 与 a2b 平行，则实数_. 例例
9、9（2020上饶一模）已知, a b 是不共线的向量，OAab ，2OBab ，2OCab ，若A、B、 C三点共线，则、满足() A3B3C2D2 例例 10（2016全国）平面向量( ,3)ax 与(2, )by 平行的充分必要条件是() A0 x ，0y B3x ，2y C6xy D6xy 玩转跟踪 1.(2018全国)已知向量 a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c 则() A. 1 4 B. 1 2 C1D2 2 （2020 届山东省潍坊市高三模拟二）已知向量a （1，1） ，b （1，3） ，c （2，1） ，且（a b ） c ，则_. 3 （2020 届山
10、东省六地市部分学校高三 3 月线考）已知向量(1,1)ax ，( ,2)bx ，若满足a b ，且方 向相同，则x _ 玩转练习 1对于非零向量 a，b，“a2b0”是“ab”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 2已知向量AB a3b，BC5a3b，CD 3a3b，则() AA，B，C 三点共线BA，B，D 三点共线 CA，C，D 三点共线DB，C，D 三点共线 3.如图， 在正方形 ABCD 中， 点 E 是 DC 的中点， 点 F 是 BC 上的一个靠近点 B 的三等分点， 那么EF 等于( ) A.1 2AB 1
11、3AD B.1 4AB 1 2AD C.1 3AB 1 2DA D.1 2AB 2 3AD 4.如图，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧的两个三等分点，AB a，ACb，则AD 等于() Aa1 2b B.1 2ab Ca1 2b D.1 2ab 5已知 M(3，2)，N(5，1)，且MP 1 2MN ，则 P 点的坐标为() A(8,1)B. 1，3 2 C. 1，3 2D(8，1) 6(2020山西榆社中学诊断)若向量AB DC (2,0)，AD (1,1)，则AC BC等于( ) A(3,1)B(4,2)C(5,3)D(4,3) 7(2020海南联考)设向量 a(x，4)
12、，b(1，x)，若向量 a 与 b 同向，则 x 等于() A2B2C2D0 8已知平面直角坐标系内的两个向量 a(1,2)，b(m，3m2)，且平面内的任一向量 c 都可以唯一的表示 成 cab(，为实数)，则实数 m 的取值范围是() A(，2)B(2，) C(，)D(，2)(2，) 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 9在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1,0)，B(0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点，AOC 4，且|OC| 2，若OC OA OB ，则等于() A2 2B. 2C2D4 2 10(2020蚌埠期中)已知向量 m sin A，1 2 与向量 n(3，sin A 3cos A)共线，其中 A 是ABC 的内角， 则角 A 的大小为() A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 11若三点 A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，则实数 a 的值为_ 12设向量 a，b 满足|a|2 5，b(2,1)，且 a 与 b 的方向相反，则 a 的坐标为_
