1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 考点 20二项式定理 玩前必备 1二项式定理 (ab)nC0nanC1nan 1bCr nan rbrCn nbn(nN*) 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中的系数 Crn(r0，1， 2，n)叫做第 r1 项的二项式系数式中的 Crnan rbr叫做二项式展开式的第 r1 项(通项)，用 Tr 1表示， 即展开式的第 r1 项；Tr1Crnan rbr 2. 二项展开式形式上的特点 (1) 项数为 n1 (2) 各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n. (3) 字母 a 按降幂排列
2、，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数 由零逐项增 1 直到 n. (4) 二项式的系数从 C0n，C1n，一直到 Cn 1 n，Cnn 3.二项式系数的性质 (1)对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，0kn 时，C k n与 C nk n的关系是 CknCn k n. (2)增减性与最大值 先增后减中间最大 当 rn1 2 时，二项式系数是递增的；当 rn1 2 时，二项式系数是递减的； 当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大，即第n 21 项的二项式系数最大； 当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，即第n1 2 项和n3
3、 2 项的二项式系数最大 (3)二项式系数和：二项式系数的和等于 2n，即 C0nC1nC2nCnn2n， (4)二项式展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 C0nC2nC4nC1nC3nC5n2n 1. 玩转典例 题型题型一一求求二项展开式指定项的系数二项展开式指定项的系数 例例 1(1)(福建理)(x2)5的展开式中，x2的系数等于_(用数字作答) (2)(重庆理) x3 1 2 x 5的展开式中 x8的系数是_(用数字作答) 例例 2(2015 新课标理)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为() A10B20C30D60 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂
4、玩转跟踪 1.(2019浙江高考)在二项式( 2x)9的展开式中， 常数项是_， 系数为有理数的项的个数是_ 2.（2019全国） 6 (21)x 的展开式中x的系数是() A120B60C30D15 3.（2019新课标） 24 (12)(1)xx的展开式中 3 x的系数为() A12B16C20D24 题型题型二二已知已知二项展开式指定项的系数二项展开式指定项的系数求参数求参数 例例 3 3(2020海口调研)若(x2a) x1 x 10的展开式中 x6的系数为 30，则 a 等于( ) A.1 3 B.1 2 C1D2 例例 4 4若 x2 1 ax 6的展开式中常数项为15 16，则实
5、数 a 的值为( ) A2B.1 2 C2D1 2 玩转跟踪 1 ax1 x 6的展开式的常数项为 160，则实数 a_. 2(湖南理)已知 x a x 5的展开式中含? ? ?的项的系数为 30，则 a( ) A.3B 3C6D6 题型题型三三二项式系数的性质二项式系数的性质 例例 5 5(湖北理)已知(1x)n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等， 则奇数项的二项式系数和为() A29B210C211D212 例例 6 6若( x 2 x2) n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是( ) A360B180C90D45 玩转跟踪 1.已知(13x)n的展开式中，
6、 后三项的二项式系数的和等于121， 则展开式中二项式系数最大的项为_ 题型题型四四赋值法与赋值法与二项式系数和问题二项式系数和问题 例例 7 7 在二项式(2x3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和. (2)各项系数之和. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 (3)所有奇数项系数之和. 玩转跟踪 1.1. (新课标 II 理)(ax)(1x)4的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a_. 2.（2020兴庆区校级一模）若 2 3 1 ()nx x 展开式的各项系数之和为 32，则其展开式中的常数项为() A1B5C10D20 玩转练习 1.（2020北京卷）在 5 (2)
7、x 的展开式中， 2 x的系数为（ ） A.5B. 5C.10D. 10 2.（2020全国 1 卷） 2 5 ()()xx y x y的展开式中 x3y3的系数为（） A. 5B. 10 C. 15D. 20 3.（2020全国 3 卷） 26 2 ()x x 的展开式中常数项是_（用数字作答） 4.（2020天津卷）在 5 2 2 x x 的展开式中， 2 x的系数是_ 5.（2020浙江卷）设 2345 12 5 3456 1 2 xaa xa xa xa xa x，则 a5=_；a1+a2+ a3=_ 6(2018 全国卷) 25 2 ()x x 的展开式中 4 x的系数为（） A10
8、B20C40D80 7 （2017 新课标） 6 2 1 (1)(1) x x 展开式中 2 x的系数为（） A15B20C30D35 8 （2017 新课标） 5 ()(2)xyxy的展开式中 33 x y的系数为（） A80B40C40D80 9.（2019 全国 III 理 4）（1+2x2）（1+x）4的展开式中 x3的系数为（） A12B16C20D24 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 10.（2019天津理10） 8 3 1 2 8 x x 是展开式中的常数项为. 11.(2018 天津)在 5 1 () 2 x x 的展开式中， 2 x的系数为 12(2018 浙江)二项式 8
9、3 1 () 2 x x 的展开式的常数项是_ 13（2017 浙江）已知多项式 32 (1) (2)xx= 5432 12345 xa xa xa xa x a，则 4 a=_， 5 a=_ 14 （2017 山东）已知(1 3 )nx的展开式中含有 2 x项的系数是54，则n 15.（2020眉山模拟） 25 (23)(2)xxx的展开式中， 5 x项的系数为() A23B17C20D63 16 （2020龙岩一模） 5 1 (1)(2)xx x 的展开式中常数项为() A40B40C80D80 17 （2020重庆模拟）() () n mxxnN的展开式中，各二项式系数和为 32，各项系数和为 243，则展开 式中 3 x的系数为() A40B30C20D10
