1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 考点 30函数的概念和性质 玩前必备 1函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函 数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域 (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域 (3)函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法 2函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数减函数 定义 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如
2、果对于定义域 I 内某个区间 D 上的 任意两个自变量的值 x1，x2 当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就 说函数 f(x)在区间 D 上是增函数 当 x1f(x2)，那么 就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区 间 D 叫做 yf(x)的单调区间 3函数的奇偶性 奇偶性定义图象特点 偶函数 一般地， 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x， 都 有 f(x)f(x)，那么函数
3、f(x)就叫做偶函数 关于 y 轴对称 奇函数 一般地， 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x， 都 有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 4.周期性 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 (1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xT) f(x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期 (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这
4、个最小正数就叫做 f(x)的最 小正周期 玩转典例 题型题型一一求函数定义域求函数定义域 例例 1(1)(2018江苏)函数 f(x) log2x1的定义域为_ 答案x|x2 解析由 log2x10，即 log2xlog22，解得 x2， 满足 x0， 所以函数 f(x) log2x1的定义域为x|x2 (2)函数 f(x)1 xln x 23x2 x23x4的定义域为_ 答案4,0)(0,1) 解析由 x0， x23x20， x23x40， 解得4x0 或 0 x0，解得 x4 或 x2，所 以(4，)为函数 yx22x8 的一个单调递增区间根据复合函数的单调性可知，函数 f(x)ln(x2
5、2x 8)的单调递增区间为(4，) 例例 3（2017 新课标）函数( )f x在(,) 单调递减，且为奇函数若(1)1f ，则满足 1(2)1f x的x的取值范围是 ABCD 【解析】由函数( )f x为奇函数，得( 1)(1)1ff ， 不等式1(2)1f x即为(1)(2)( 1)ff xf， 又( )f x在(,) 单调递减，所以得121x，即13x，选 D 玩转跟踪 1.下列函数中，满足“x1，x2(0，)且 x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0”的是() Af(x)2xBf(x)|x1| Cf(x)1 xx Df(x)ln(x1) 答案C 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂
6、安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 解析由(x1x2)f(x1)f(x2)0 可知，f(x)在(0，)上是减函数，A，D 选项中，f(x)为增函数；B 中，f(x) |x1|在(0，)上不单调；对于 f(x)1 xx，因为 y 1 x与 yx 在(0，)上单调递减，因此 f(x)在(0， )上是减函数 2.（2020新全国 1 山东）若定义在R的奇函数 f(x)在(,0)单调递减，且 f(2)=0，则满足(10)xf x的 x 的取值范围是（） A.)1,13,B.3, 1 ,0 1 C. 1,01,)D. 1,01,3
7、【答案】D 【解析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 ( )f x在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等 于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在R上的奇函数 ( )f x在(,0) 上单调递减，且(2)0f， 所以 ( )f x在(0,)上也是单调递减，且( 2)0f ，(0)0f， 所以当(, 2)(0,2)x 时，( )0f x ，当( 2,0)(2,)x 时，( )0f x ， 所以由(10)xf x可得： 0 21012 x xx 或 或 0 01212 x xx 或 或0 x 解得10 x 或13x，所以满足(10)xf x的x的取值范围是
8、 1,01,3， 故选：D. 题型题型三三 函数奇偶性和周期性函数奇偶性和周期性 例例 4(2015 广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A 2 1yxB 1 yx x C 1 2 2 x x y D x yxe 【解析】选项 A、C 为偶函数，选项 B 中的函数是奇函数；选项 D 中的函数为非奇非偶函数 例例 5（2020江苏卷）已知 y=f(x)是奇函数，当 x0 时， 2 3 f xx ，则 f(-8)的值是_. 【答案】4 【解析】先求(8)f，再根据奇函数求( 8)f 【详解】 2 3 (8)84f ，因为 ( )f x为奇函数，所以( 8)(8)4ff ,故答案为：4
9、 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 例例 6设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x1,1)时，f(x) 4x22，1x0， x，0 x0B减函数且 f(x)0D增函数且 f(x)0，又函数 f(x)为奇函数，所以在区间 1 2，0上函数也单调递增，且 f(x)0.由 f x3 2 f(x)知，函数的周期为3 2，所以在区间 1，3 2 上，函数单调 递增且 f(x)2 的 解集为() A(2，)B. 0，1 2 (2，) C. 0， 2 2 ( 2，)D( 2，) 玩转
10、数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 答案B 解析f(x)是 R 上的偶函数，且在(，0上是减函数，所以 f(x)在0，)上是增函数，所以 f(log2x)2 f(1)f(|log2x|)f(1)|log2x|1log2x1 或 log2x2 或 0 x1 2. 3（2017 北京）已知函数 1 ( )3( ) 3 xx f x ，则( )f x A是奇函数，且在 R 上是增函数B是偶函数，且在 R 上是增函数 C是奇函数，且在 R 上是减函数D是偶函数，且在 R 上是减函数 【解析】 11 (
11、)3( )(3( ) )( ) 33 xxxx fxf x ，得( )f x为奇函数， ( )(33 )3 ln33ln30 xxxx fx ，所以( )f x在 R 上是增函数选 A 4.（2017天津）已知奇函数( )f x在R上是增函数若 2 1 (log) 5 af ， 2 (log 4.1)bf， 0.8 (2)cf，则a， b，c的大小关系为() AabcBbacCcbaDcab 【答案】C 【解析】奇函数( )f x在R上是增函数， 22 1 (log)(log 5) 5 aff ， 2 (log 4.1)bf， 0.8 (2)cf， 又 0.8 22 122log 4.1log
12、 5， 0.8 22 (2)(log 4.1)(log 5)fff，即cba 5.（2018全国） 2 ( )(32)f xln xx的递增区间是() A(,1)B 3 (1, ) 2 C 3 ( 2 ，)D(2,) 【答案】D 【解析】令 2 32(1)(2)0txxxx，求得1x 或2x ， 故函数的定义域为 |1x x 或2x ，( )f xlnt，本题即求函数t在定义域内的增区间 结合二次函数的性质可得函数t在定义域内的增区间为(2,)，故选：D 6(2016 山东)已知函数 f(x)的定义域为 R当 x0 时， 3 ( )1f xx ；当11x 时， ()( )fxf x ；当 1
13、2 x 时， 11 ()() 22 f xf x，则 f(6)= A2B1C0D2 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【解析】当11x 时，( )f x为奇函数，且当 1 2 x 时，(1)( )f xf x， 所以(6)(5 1 1)(1)fff 而 3 (1)( 1)( 1)12ff ， 所以(6)2f，故选 D 7.(2015 福建)下列函数为奇函数的是 AyxBsinyxCcosyxD xx yee 【解析】函数yx的定义域为0,)，不关于原点对称，所以函数yx为非奇非偶函数，排
14、除 A 因为|sin|yx为偶函数，所以排除 B；因为cosyx为偶函数，所以排除 C；因为( ) xx yf xee， ()()( ) xxxx fxeeeef x ，所以( ) xx yf xee为奇函数 8.(2015 湖南)设函数( )ln(1)ln(1)f xxx，则( )f x是 A奇函数，且在(0,1)上是增函数 B奇函数，且在(0,1)上是减函数 C偶函数，且在(0,1)上是增函数 D偶函数，且在(0,1)上是减函数 【解析】 由题意可知， 函数( )f x的定义域为( 1,1)， 且 12 ( )lnln(1) 11 x f x xx ， 易知 2 1 1 y x 在 (0,
15、1)上为增函数，故( )f x在(0,1)上为增函数，又()ln(1)ln(1)( )fxxxf x ，故( )f x为奇函 数 9. （2019 江苏 4）函数 2 76yxx的定义域是. 【解析】 由 2 760 xx，得 2 670 xx ，解得17x 所以函数 2 76yxx的定义域 是 1,7 10. （2019 全国理 14） 已知( )f x是奇函数， 且当0 x时，( )eaxf x .若 (ln2)8f， 则a _. 【解析】解析： ln2 ( ln2)e(ln2)8 a ff ，得28 a ， 3a . 11(2018 江苏)函数 2 ( )log1f xx的定义域为 玩转
16、数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【解析】要使函数( )f x有意义，则 2 log10 x ，即2x，则函数( )f x的定义域是2,) 12(2018 江苏)函数( )f x满足(4)( )()f xf x xR，且在区间( 2,2上， cos,02, 2 ( ) 1 |, 20, 2 x x f x xx - 则( (15)f f的值为 【解析】因为函数( )f x满足(4)( )f xf x(xR)，所以函数( )f x的最小正周期是 4因为在区间 ( 2,2上， cos,02, 2 ( ) 1 |, 20, 2 x x f x xx - ， 所以 12 ( (15)( ( 1)( )cos 242 f ff ff 13(2016 天津)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(,0)上单调递增.若实数 a 满足 1 (2)(2) a ff ，则 a 的取值范围是_. 【解析】由 f x是偶函数可知，0， 单调递增； 0， 单调递减 又 1 22 a ff ， 22ff 可得， 1 22 a 即 1 1 2 a 13 22 a 14(2015 新课标)若函数 2 ( )ln()f xxxax为偶函数，则a= 【解析】1
