1、第 1页（共 17页） 2021 年全国统一高考数学试卷（文科） （甲卷） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1设集合1M ，3，5，7，9， |27Nxx，则(MN ) A7，9B5，7，9C3，5，7，9D1，3，5，7，9 2为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的 调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是() A该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为6% B该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为1
2、0% C估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元 D估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间 3已知 2 (1)32izi，则(z ) A 3 1 2 i B 3 1 2 i C 3 2 iD 3 2 i 4下列函数中是增函数的为() A( )f xx B 2 ( )( ) 3 x f x C 2 ( )f xxD 3 ( )f xx 5点(3,0)到双曲线 22 1 169 xy 的一条渐近线的距离为() A 9 5 B 8 5 C 6 5 D 4 5 6青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和 小数记录法记录视
3、力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足5LlgV已 知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据约为( 10 )( 101.259) A1.5B1.2C0.8D0.6 7在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G该正方体截去三棱锥 AEFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是() 第 2页（共 17页） ABCD 8在ABC中，已知120B ，19AC ，2AB ，则(BC ) A1B2C5D3 9记 n S为等比数列 n a的前n项和若 2 4S ， 4 6S ，则 6 (S ) A7B8C9D10 10将 3 个 1 和
4、 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为() A0.3B0.5C0.6D0.8 11若(0,) 2 ， cos tan2 2sin ，则tan() A 15 15 B 5 5 C 5 3 D 15 3 12设( )f x是定义域为R的奇函数，且(1)()fxfx若 11 () 33 f ，则 5 ( )( 3 f) A 5 3 B 1 3 C 1 3 D 5 3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13若向量a ，b 满足| 3a ，| 5ab ，1a b ，则|b 14已知一个圆锥的底面半径为 6，其体积为30，则该圆锥的侧面积为 15已知函数(
5、)2cos()f xx的部分图像如图所示，则() 2 f 16 已知 1 F， 2 F为椭圆 22 :1 164 xy C的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点， 且 12 | |PQF F，则四边形 12 PFQF的面积为 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题： 共 60 分。 17 （12 分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较 两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下
6、表： 一级品二级品合计 甲机床15050200 第 3页（共 17页） 乙机床12080200 合计270130400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ （2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd 2 ()P Kk0.0500.0100.001 k 3.8416.63510.828 18 （12 分）记 n S为数列 n a的前n项和，已知0 n a ， 21 3aa，且数列 n S是等差数 列，证明： n a是等差数列 19 （12 分）已知直三棱柱 111 AB
7、CA BC中，侧面 11 AA B B为正方形，2ABBC，E，F 分别为AC和 1 CC的中点， 11 BFA B （1）求三棱锥FEBC的体积； （2）已知D为棱 11 AB上的点，证明：BFDE 20 （12 分）设函数 22 ( )31f xa xaxlnx，其中0a （1）讨论( )f x的单调性； （2）若( )yf x的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围 21 （12 分）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线:1l x 交C于P，Q两 点，且OPOQ已知点(2,0)M，且M与l相切 （1）求C，M的方程； （2） 设 1 A， 2 A， 3 A是C上的三个点， 直线
8、12 A A， 13 A A均与M相切 判断直线 23 A A与M 的位置关系，并说明理由 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C的极坐标方程为2 2cos （1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足2APAM ，写出P的轨 迹 1 C的参数方程，并判断C与 1 C是否有公共点 选修 4-5：不等式选讲（10 分） 第 4页（共 1
9、7页） 23已知函数( ) |2|f xx，( ) |23|21|g xxx （1）画出( )yf x和( )yg x的图像； （2）若()( )f xag x，求a的取值范围 第 5页（共 17页） 2021 年全国统一高考数学试卷（文科） （甲卷） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1设集合1M ，3，5，7，9， |27Nxx，则(MN ) A7，9B5，7，9C3，5，7，9D1，3，5，7，9 【思路分析】直接根据交集的运算性质，求出MN 即可 【解析】 ：因为 7 |27 | 2
10、 Nxxx x，1M ，3，5，7，9， 所以5MN ，7，9 故选：B 【归纳总结】本题考查了交集及其运算，属基础题 2为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的 调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是() A该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为6% B该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为10% C估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元 D估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间 【思路分析】利用频率分布直方图中频率的求解方法，通过求
11、解频率即可判断选项A，B， D，利用平均值的计算方法，即可判断选项C 【 解 析 】： 对 于A， 该 地 农 户 家 庭 年 收 入 低 于 4.5 万 元 的 农 户 比 率 为 (0.020.04) 10.066% ，故选项A正确； 对于B， 该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率为(0.040.023) 10.110% ， 故选项B正确； 对于C，估计该地农户家庭年收入的平均值为 3 0.0240.045 0.160.1470.28 0.290.1 100.1 11 0.04120.0213 0.02140.027.686.5 万元，故选项C错误； 第 6页（共 17页）
12、对 于D， 家 庭 年 收 入 介 于4.5万 元 至8.5万 元 之 间 的 频 率 为 (0.10.140.20.2) 10.640.5 ， 故估计该地有一半以上的农户， 其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间， 故选项D正确 故选：C 【归纳总结】 本题考查了频率分布直方图的应用， 解题的关键是掌握频率分布直方图中频率 的求解方法以及平均数的计算方法，属于基础题 3已知 2 (1)32izi，则(z ) A 3 1 2 i B 3 1 2 i C 3 2 iD 3 2 i 【思路分析】利用复数的乘法运算法则以及除法的运算法则进行求解即可 【解析】 ：因为 2 (1)32izi
13、，所以 2 3232(32 )233 1 (1)2( 2 )22 iii ii zi iiii 故选：B 【归纳总结】 本题考查了复数的运算， 主要考查了复数的乘法运算法则以及除法的运算法则 的运用，考查了运算能力，属于基础题 4下列函数中是增函数的为() A( )f xx B 2 ( )( ) 3 x f x C 2 ( )f xxD 3 ( )f xx 【思路分析】结合基本初等函数在定义域上的单调性分别检验各选项即可判断 【解析】 ：由一次函数性质可知( )f xx 在R上是减函数，不符合题意； 由指数函数性质可知 2 ( )( ) 3 x f x 在R上是减函数，不符合题意； 由二次函数
14、的性质可知 2 ( )f xx在R上不单调，不符合题意； 根据幂函数性质可知 3 ( )f xx在R上单调递增，符合题意 故选：D 【归纳总结】本题主要考查基本初等函数的单调性的判断，属于基础题 5点(3,0)到双曲线 22 1 169 xy 的一条渐近线的距离为() A 9 5 B 8 5 C 6 5 D 4 5 【思路分析】首先求得渐近线方程，然后利用点到直线距离公式，求得点(3,0)到一条渐近 线的距离即可 【解析】 ：由题意可知，双曲线的渐近线方程为 22 ?0 169 xy ，即340 xy， 结合对称性，不妨考虑点(3,0)到直线340 xy的距离， 则点(3,0)到双曲线的一条渐
15、近线的距离 909 5916 d 故选：A 【归纳总结】本题主要考查双曲线的渐近线方程，点到直线距离公式等知识，属于基础题 6青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和 小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足5LlgV已 第 7页（共 17页） 知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据约为( 10 )( 101.259) A1.5B1.2C0.8D0.6 【思路分析】把4.9L 代入5LlgV中，直接求解即可 【解析】 ：在5LlgV中，4.9L ，所以4.95lgV，即0.1lgV ， 解得 0.1 0.
16、1 10 111 100.8 101.25910 V ， 所以其视力的小数记录法的数据约为 0.8 故选：C 【归纳总结】本题考查了对数与指数的互化问题，也考查了运算求解能力，是基础题 7在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G该正方体截去三棱锥 AEFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是() ABCD 【思路分析】作出正方体，截去三棱锥AEFG，根据正视图，摆放好正方体，即可求解侧 视图 【解析】 ：由题意，作出正方体，截去三棱锥AEFG，根据正视图， 可得AEFG在正方体左侧面，如图，根据三视图的投影， 可得相应的侧视图是D图形， 故选：D 【归纳总结
17、】本题考查简单空间图形的三视图，属基础题 8在ABC中，已知120B ，19AC ，2AB ，则(BC ) A1B2C5D3 【思路分析】设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，利用余弦定理得到关于a的方程， 解方程即可求得a的值，从而得到BC的长度 【解析】 ：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 结合余弦定理，可得 2 194?22cos120aa ， 第 8页（共 17页） 即 2 2 ?150aa，解得3a (5a 舍去） ， 所以3BC 故选：D 【归纳总结】本题考查了余弦定理，考查了方程思想，属基础题 9记 n S为等比数列 n a的前n项和若 2 4S ， 4 6S ，则 6
18、 (S ) A7B8C9D10 【思路分析】由等比数列的性质得 2 S， 42 SS， 64 SS成等比数列，从而得到关于 6 S的方 程，再求出 6 S 【解析】 ： n S为等比数列 n a的前n项和， 2 4S ， 4 6S ， 由等比数列的性质，可知 2 S， 42 SS， 64 SS成等比数列， 4，2， 6 6S 成等比数列， 2 6 24(6)S，解得 6 7S 故选：A 【归纳总结】本题考查了等比数列的性质，考查方程思想和运算求解能力，是基础题 10将 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为() A0.3B0.5C0.6D0.8 【思路分析】首
19、先求得 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行的数量和 2 个 0 不相邻的数量，然后 利用古典概型计算公式，求出 2 个 0 不相邻的概率 【解析】 ： 将 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行的方法可以是： 00111， 01011， 01101， 01110， 10011，10101，10110，11001，11010，11100，共 10 种排法， 其中 2 个 0 不相邻的排列方法可以是：01011，01101，01110，10101，10110，11010， 共 6 种方法， 满足题意的概率为 6 0.6 10 ， 故选：C 【归纳总结】本题主要考查古典概型计算公式，排列组合
20、公式在古典概型计算中的应用，属 于基础题 11若(0,) 2 ， cos tan2 2sin ，则tan() A 15 15 B 5 5 C 5 3 D 15 3 【思路分析】把等式左边化切为弦，再展开倍角公式，求解sin，进一步求得cos，再由 商的关系可得tan的值 【解析】 ：由 cos tan2 2sin ，得 sin2cos cos22sin ， 即 2 2sincoscos 122sinsin ， (0,) 2 ，cos0， 则 2 2sin(2sin)12sin ，解得 1 sin 4 ， 第 9页（共 17页） 则 2 15 cos1 4 sin， 1 sin15 4 tan
21、cos1515 4 故选：A 【归纳总结】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题 12设( )f x是定义域为R的奇函数，且(1)()fxfx若 11 () 33 f ，则 5 ( )( 3 f) A 5 3 B 1 3 C 1 3 D 5 3 【思路分析】由已知()( )fxf x 及(1)( )fxf x 进行转化得(2)( )fxf x，再结合 11 () 33 f 从而可求 【解析】 ：解法一：由题意得()( )fxf x ， 又(1)()( )fxfxf x ，所以(2)( )fxf x，又 11 () 33 f ， 则 5111 ( )(2)() 333
22、3 fff故选：C 解法二： （范世祥补解） ：由)()1 (xfxf知函数)(xf的图象关于直线 1 2 x 对称， 又)(xf为奇函数，所以)(xf是周期函数，且 1 4|0| 2 2 T ， 则 3 1 ) 3 1 ()2 3 5 () 3 5 (fff，故选 C. 【归纳总结】 本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值， 解题的关键是进行合理的转化， 属于基础题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13若向量a ，b 满足| 3a ，| 5ab ，1a b ，则|b 3 2 【思路分析】由题意首先计算 2 ( ? )a b ，然后结合所给的条件，求出向量的模即
23、可 【解析】 ：由题意，可得 222 ( ? )?225a baa bb ， 因为| 3a ，1a b ，所以 2 9?2 125b ， 所以 22 18,|3 2bbb 故答案为：3 2 【归纳总结】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算和向量的模，属于基础题 14已知一个圆锥的底面半径为 6，其体积为30，则该圆锥的侧面积为39 【思路分析】由题意，设圆锥的高为h，根据圆锥的底面半径为 6，其体积为30求出h， 再求得母线的长度，然后确定圆锥的侧面积即可 【解析】 ：由圆锥的底面半径为 6，其体积为30， 设圆锥的高为h，则 2 1 (6 )30 3 h，解得 5 2 h ， 第 10页（
24、共 17页） 所以圆锥的母线长 22 513 ( )6 22 l ， 所以圆锥的侧面积 13 639 2 Srl 故答案为：39 【归纳总结】本题考查了圆锥的侧面积公式和圆锥的体积公式，考查了方程思想，属于基础 题 15已知函数( )2cos()f xx的部分图像如图所示，则() 2 f 3 【思路分析】 根据图象可得( )f x的最小正周期， 从而求得， 然后利用五点作图法可求得， 得到( )f x的解析式，再计算() 2 f 的值 【解析】 ：由图可知，( )f x的最小正周期 4 13 () 3123 T ， 所以 2 2 T ，因为 1313 2cos2 126 f ，得2 6 k ，
25、 所以( )2cos(2) 6 f xx ，则()2cos(2)2cos3 2266 f . 故答案为：3 【归纳总结】本题主要考查由cos()yAx的部分图象确定其解析式，考查数形结合思 想与运算求解能力，属于基础题 16 已知 1 F， 2 F为椭圆 22 :1 164 xy C的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点， 且 12 | |PQF F，则四边形 12 PFQF的面积为8 【思路分析】判断四边形 12 PFQF为矩形，利用椭圆的定义及勾股定理求解即可 【解析】 ：解法一：因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 12 | |PQF F， 所以四边形 12 PFQF为矩形
26、， 设 1 |PFm， 2 |PFn， 由椭圆的定义可得 12 |28PFPFmna，所以 22 264mmnn， 因为 222222 1212 |44()48PFPFFFcab，即 22 48mn，所以8mn ， 所以四边形 12 PFQF的面积为 12 |8PFPFmn故答案为：8 解法二： （范世祥补解） ：因为四边形 12 PFQF的对角线 12 PQFF，所以四边形 12 PFQF为 矩形，则由焦点三角形面积公式得 12 2 2tan2 4 18 4 FQF P Sb . 【归纳总结】本题主要考查椭圆的性质，椭圆的定义，考查方程思想与运算求解能力，属于 中档题 三、解答题：共 70
27、分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题： 第 11页（共 17页） 共 60 分。 17 （12 分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较 两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品二级品合计 甲机床15050200 乙机床12080200 合计270130400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ （2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附：
28、 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd 2 ()P Kk0.0500.0100.001 k 3.8416.63510.828 【思路分析】 （1）根据表格中统计可知甲机床、乙机床生产总数和频数，再求出频率值即 可； （2）根据22列联表，求出 2 K，再将 2 K的值与 6.635 比较，即可得出结论； 【解析】 ：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为 200 件， 因为甲的一级品的频数为 150，所以甲的一级品的频率为 1503 2004 ； 因为乙的一级品的频数为 120，所以乙的一级品的频率为 1203 2005 ； （2）根据22列联表，可得 2 2
29、 () ()()()() n adbc K ab cdac bd 2 400(150 8050 120) 10.2566.635 270 130200200 所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异 【归纳总结】本题考查了统计与概率中的独立性检验，属于基础题 18 （12 分）记 n S为数列 n a的前n项和，已知0 n a ， 21 3aa，且数列 n S是等差数 列，证明： n a是等差数列 【思路分析】设等差数列 n S的公差为d，可用 1 S、 2 S求出d，得到 n S的通项公式， 利用 1nnn aSS 可求出 n a的通项，从而证明 n a是等差数列 【解
30、答】证明：设等差数列 n S的公差为d， 由题意得 11 Sa； 21211 42Saaaa， 则 21111 2dSSaaa，所以 111 (1) n Sanan a， 所以 2 1n Sn a； 当2n时，有 2 11 (1) n Sna 由，得 22 1111 (1)(21) nnn aSSn anana ， 经检验，当1n 时也满足 所以 1 (21) n ana，nN， 第 12页（共 17页） 当2n时， 1111 (21)(23)2 nn aananaa ， 所以数列 n a是等差数列 【归纳总结】本题考查了等差数列的概念和性质，涉及逻辑推理，数学运算等数学学科核心 素养，属于中
31、档题 19 （12 分）已知直三棱柱 111 ABCA BC中，侧面 11 AA B B为正方形，2ABBC，E，F 分别为AC和 1 CC的中点， 11 BFA B （1）求三棱锥FEBC的体积； （2）已知D为棱 11 AB上的点，证明：BFDE 【思路分析】 （1）先证明AB 平面 11 BCC B，即可得到ABAC，再根据直角三角形的性 质可知2CEBE，最后根据三棱锥的体积公式计算即可； （2）取BC中点G，连接EG， 1 B G，先证明 1 / / /EGABB D，从而得到E、G、 1 B、D四 点共面，再由（1）及线面垂直的性质定理可得BFEG，通过角的正切值判断出 1 CBF
32、BBG ，再通过角的代换可得， 1 BFBG，再根据线面垂直的判定定理可得BF 平面 1 EGB D，进而得证 【解析】 ： （1）在直三棱柱 111 ABCA BC中， 111 BBAB， 又 11 BFA B， 1 BBBFB ， 1 BB，BF 平面 11 BCC B， 11 AB平面 11 BCC B， 11 / /ABAB， AB平面 11 BCC B， ABAC， 又ABAC，故 22 222 2AC ， 2CEBE， 而侧面 11 AA B B为正方形， 1 11 1 22 CFCCAB， 1111 221 3323 EBC VSCF ，即三棱锥FEBC的体积为 1 3 ； （2
33、）证明：如图，取BC中点G，连接EG， 1 B G，设 1 BGBFH ， 点E是AC的中点，点G时BC的中点， / /EGAB， 1 / / /EGABB D， 第 13页（共 17页） E、G、 1 B、D四点共面， 由（1）可得AB 平面 11 BCC B， EG平面 11 BCC B， BFEG， 1 1 11 tan,tan 22 CFBG CBFBBG BCBB ，且这两个角都是锐角， 1 CBFBBG ， 1111 90BHBBGBCBFBGBBBG ， 1 BFBG， 又 1 EGBGG ，EG， 1 BG 平面 1 EGB D， BF平面 1 EGB D， 又DE 平面 1
34、EGB D， BFDE 【归纳总结】本题主要考查三棱锥体积的求法以及线线，线面间的垂直关系，考查运算求解 能力及逻辑推理能力，属于中档题 20 （12 分）设函数 22 ( )31f xa xaxlnx，其中0a （1）讨论( )f x的单调性； （2）若( )yf x的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围 【思路分析】 （1）对( )f x求导得 (23)(1) ( ) axax fx x ，分析( )fx的正负，即可得出( )f x 的单调区间 （2）由（1）可知， 1 ( )( ) min f xf a ，由( )yf x的图像与x轴没有公共点，得330lna， 即可解出a的取值范围 【
35、解析】 ： （1） 22 2 323(23)(1) ( )2 a xaxaxax fxa xa xxx ，0 x ， 因为0a ， 所以 31 0 2aa ， 所以在 1 (0,) a 上，( )0fx，( )f x单调递减， 在 1 (a，)上，( )0fx，( )f x单调递增 第 14页（共 17页） 综上所述，( )f x在 1 (0,) a 上单调递减，在 1 (a，)上( )f x单调递增 （2）由（1）可知， 22 1111 ( )( )( )3133 min f xfaalnlna aaaa ， 因为( )yf x的图像与x轴没有公共点， 所以330lna， 所以 1 a e
36、， 所以a的取值范围为 1 (e，) 【归纳总结】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题 21 （12 分）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线:1l x 交C于P，Q两 点，且OPOQ已知点(2,0)M，且M与l相切 （1）求C，M的方程； （2） 设 1 A， 2 A， 3 A是C上的三个点， 直线 12 A A， 13 A A均与M相切 判断直线 23 A A与M 的位置关系，并说明理由 【思路分析】 （1）由题意结合直线垂直得到关于p的方程，解方程即可确定抛物线方程， 然后利用直线与圆的关系确定圆的圆心和半径即可求得圆的方程； （2）分类讨论三个点的横坐标是否
37、相等，当有两个点横坐标相等时明显相切，否则，求得 直线方程，利用直线与圆相切的充分必要条件和题目中的对称性可证得直线与圆相切 【解析】 ： （1）因为1x 与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C的方程为： 2 2(0)ypx p， 令1x ，则2yp ， 根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，Q在X轴下方，故(1, 2 ),(1,? 2 )Pp Qp， 因为OPOQ，故 1 12(? 2 )0 2 ppp， 抛物线C的方程为： 2 yx， 因为M与l相切，故其半径为 1，故 22 :(2)1Mxy （2）设 11 (A x， 1) y， 22 (A x， 2) y， 33 (A x， 3)
38、 y 当 1 A， 2 A， 3 A其中某一个为坐标原点时（假设 1 A为坐标原点时） ， 设直线 12 A A方程为0kxy，根据点(2,0)M到直线距离为 1 可得 2 2 1 1 k k ，解得 3 3 k ， 联立直线 12 A A与抛物线方程可得3x ， 此时直线 23 A A与M的位置关系为相切， 当 1 A， 2 A， 3 A都不是坐标原点时， 即 123 xxx， 直线 12 A A的方程为 1212 ?()0 xyyyy y， 此时有， 12 2 12 |2| 1 1() y y yy ，即 222 12121 (?1)23?0yyy yy， 同理，由对称性可得， 222 1
39、3131 (?1)23?0yyy yy， 所以 2 y， 3 y是方程 222 111 (?1)23?0yty ty的两根， 第 15页（共 17页） 依题意有，直线 23 A A的方程为 2323 ?()0 xyyyy y， 令M到直线 23 A A的距离为d，则有 2 2 1 22 2231 2 2 1 23 2 1 3? (2) (2)?1 1 ?2 1() 1() ?1 y y yy d y yy y ， 此时直线 23 A A与M的位置关系也为相切， 综上，直线 23 A A与M相切 【归纳总结】本题主要考查抛物线方程的求解，圆的方程的求解，分类讨论的数学思想，直 线与圆的位置关系，
40、同构、对称思想的应用等知识，属于中等题 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C的极坐标方程为2 2cos （1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足2APAM ，写出P的轨 迹 1 C的参数方程，并判断C与 1 C是否有公共点 【思路分析】 （1）把极坐标方程化为 2 2 2 cos，写出直角坐标方程即可； （2）设点P的直角坐标为
41、( , )x y， 1 (M x， 1) y，利用2APAM 求出点M的坐标，代入C 的方程化简得出点P的轨迹方程， 再化为参数方程， 计算 1 |CC的值即可判断C与 1 C是否有 公共点 【解析】 ： （1）由极坐标方程为2 2cos，得 2 2 2 cos， 化为直角坐标方程是 22 2 2xyx， 即 22 (2)2xy，表示圆心为( 2C，0)，半径为2的圆 （2）设点P的直角坐标为( , )x y， 1 (M x， 1) y，因为(1,0)A， 所以(1, )APxy ， 1 (1AMx ， 1) y， 由2APAM ， 即 1 1 12(1) 2 xx yy ， 解得 1 1 2
42、 (1)1 2 2 2 xx yx ， 所以 2 (1)1 2 Mx ， 2 ) 2 y，代入C的方程得 22 22 (1)12()2 22 xy ， 化简得点P的轨迹方程是 22 (32)4xy， 表示圆心为 1(3 2C，0)， 半径为 2 的圆； 化为参数方程是 322cos 2sin x y ，为参数； 计算 1 | |(32)2 | 32 222CC ， 所以圆C与圆 1 C内含，没有公共点 【归纳总结】 本题考查了参数方程与极坐标的应用问题， 也考查了转化思想与运算求解能力， 第 16页（共 17页） 是中档题 选修 4-5：不等式选讲（10 分） 23已知函数( ) |2|f x
43、x，( ) |23|21|g xxx （1）画出( )yf x和( )yg x的图像； （2）若()( )f xag x，求a的取值范围 【思路分析】 （1）通过对x分类讨论，写出分段函数的形式，画出图像即可得出 （2）由图像可得：f（6）4， 1 ( )4 2 g，若()( )f xag x，说明把函数( )f x的图像向 左或向右平移|a单位以后，( )f x的图像不在( )g x的下方，由图像观察可得出结论 【解析】 ： （1）函数 2,2 ( ) |2| 2,2 xx f xx x x ， 1 4, 2 31 ( ) |23|21|42, 22 3 4, 2 x g xxxxx x 画出( )yf x和( )yg x的图像； （2）由图像可得：f（6）4， 1 ( )4 2 g， 若()( )f xag x，说明把函数( )f x的图像向左或向右平移|a单位以后，( )f x的图像不在 ( )g x的下方， 由图像观察可得： 111 24 22 a a的取值范围为 11 2 ，) 第 17页（共 17页） 【归纳总结】本题考查了分段函数的图像与性质、方程与不等式的解法，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题
