1、绝密启用并使用完毕前 2021 年 4 月阶段性检测 数学试题 本试卷共 4 页，22 题，全卷满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写 在本试卷上无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 参考公式：锥体的体积公式：V(1)/(3)Sh(其中 S 为锥体的底面积，h 为锥体的高) 第第卷卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40
2、 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1已知集合 Ax|x2x20，Bx|ax1，若 ABB，则 a A 1 2 或 1B 1 2 或1C 1 2 或 1 或 0D 1 2 或1 或 0 2已知复数 1 i 34i z ，i 是虚数单位，则复数z的虚部是 A 1 25 B 1 25 iC 7 25 D 7 25 i 3已知 1 3 ( )f xx，若 0ab0，则下列等式成立的是 Af(2x)2f(x)Bf(x)1f(x) CP(Xx)2f(x)1DP(|X|x)2f(x) 7已知(1|a|x|b|y)n展开式中不含 x 的项的系数和为 256，不含 y 的项的系数和为 8
3、1，则 a，b，n 的值可能为 Aa3，b2，n3Ba2，b3，n3 Ca2，b3，n4Da3，b2，n4 8设函数 f1(x)x21， 1 2 23 1 e,sin2, 3 x fxfxx , 99 i i a i0，1，2，99. 记 Ik|fk(a1)-fk(a0)|+|fk(a2)-fk(a1)|fk(a99)-fk(a98)|，k1，2，3，则 AI1I2I3BI3I2I1CI1I3I2DI2I1x20 时， 1 2 2 ( )f x x 2 2 1 ()f x x C若方程 f(|x|)a 有 2 个不相等的解，则 a 的取值范围为(0，) D(1 1 2 1 1n )ln2lnn
4、，n2 且 nN 12已知直线 l 过抛物线 C：x24y 的焦点 F，且直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，过 A， B 两点分别作抛物线 C 的切线，两切线交于点 G，设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，G(xG，yG)则 下列选项正确的是 A.yAyB4B.以线段 AB 为直径的圆与直线 y 3 2 相离 C当2ABFB 时，|AB| 9 2 D.GAB 面积的取值范围为4，+） 第卷 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知函数 f(x)2sin (x)(0，A. 18(12 分) 数列的前 n 项和为 Sn，a11，an12Sn1. (1)求
5、an，Sn； (2)设 bn，数列的前 n 项和为 Tn.证明： TnAB N的轨迹是以A，B为焦点的椭圆， 2a=4，2c=2 （2 分） a=2，b= 3,c1 22 w的方程为1 43 xy （4 分） 注：1.不写 N 的轨迹扣一分，不写 4|AB|不扣分 2.没写 a,b,c 的值，直接写 w 的方程，若正确不扣分。 3.没中间过程，只有最后结果只得 1 分。 1212 （2）由题意得F1 0直线L ,L 的方程分别是：y=k(x-1),y=k (x-1)（ ， ）， 3344 设C(x ,y ),D(x ,y ) 则 G， （6 分） 同理 H（7 分） （8 分） （9 分) (
6、11 分） （12 分） 22.题评分细则： （1）axexxf x 2) 1()(，222) 1 (aef，1 分 1ea，1) 1 (aef2 分 12),1(21xyxy3 分 注：1）直线方程不化简的不扣分 2）无过程的只有结果的只给结果 1 分 （2）方法一： 由 0)1 ln1 ( )( x x x a x xf 得 恒成立对00)1 ln1 ( 2 xx x x a x axxex 即 0lnaaxxaxex 对 0 x 恒成立 即 0) 1(lnxxaxex 对 0 x 恒成立 设 ) 1(ln)(xxaxexh x 即 0)(xh 对 0 x 恒成立_4 分 当 0a 时，
7、0)( x xexh 对 0 x 恒成立_5 分 x axe x x a ex x aexxh x xx )( ) 1()(1() 1 1 () 1()( 当 0a 时， 0)( x h ， )(xh 在 ), 0( x 上为增函数 当 10 x 时， )2(ln) 1(ln)(xaexxaxexh x 0)2(ln)( 22 a e aeeaeeh a e a e 不合题意6 分 当 0a 时，设 axext x )( 在 ), 0( x 上为增函数 又 0) 1()(, 0)0( a eaatat 所以 ), 0( 0 ax 使 0)( 0 xt 即 aex x 0 0 所以，当 为减函数
8、时，)(, 0)(, 0)(0 0 xhxhxtxx 当 为增函数时，)(, 0)(, 0)( 0 xhxhxtxx 0) 1(ln ) 1(ln ) 1ln()()( 00 0 00 0000min 0 aaa exaex xxaexxhxh xx xx x 时，则当 10 0 0ln a a aa 所以 因为 所以 _7 分 综上 10 a _8 分 注：此解法中有两处需要取点，若没有取点，用趋势表达的不扣分，两种方式都 没写的，最后总分中扣 1 分，若有一处写了，不扣分 方法二： 由 0)1 ln1 ( )( x x x a x xf 得 恒成立对00)1 ln1 ( 2 xx x x
9、a x axxex 即 0lnaaxxaxex 对 0 x 恒成立 即 0) 1(lnxxaxex 对 0 x 恒成立 即 0) 1(ln xx xeaxe 对 0 x 恒成立 设 x xet 在 ), 0( x 上为增函数，则 0t 并设 ) 1(ln)(tattG 问题转化为 0)(tG 对 0t 恒成立_4 分 当 0a 时， 0)( ttG 对 0t 恒成立_5 分 t at t a tG 1)( 当 0a 时， 0)( t G ， )(tG 在 ), 0( t 上为增函数 当 10t 时， ) 1(ln1) 1(ln)(tatattG 0 1 1) 1(ln1)( 1 1 1 1 a
10、 aeaeG aa 不合题意6 分 当 0a 时，当 为减函数时，)(, 0)(0tGtGat 当 为增函数时，)(, 0)(tGtGat 0) 1(ln)()( min aaaaGtG at时，则当 10 0 0ln a a aa 所以 因为 所以 _7 分 综上 10 a _8 分 注：此解法中有一处需要取点，若没有取点，用趋势表达的不扣分，两种方式都 没写的，最后总分中扣 1 分。 方法三： 由 0)1 ln1 ( )( x x x a x xf 得 恒成立对00)1 ln1 ( 2 xx x x a x axxex 即 0lnaaxxaxex 对 0 x 恒成立 即 0) 1(lnxx
11、axex 对 0 x 恒成立 即 0) 1ln( ln xxae xx 对 0 x 恒成立 设 xxtln 在 ), 0( x 上为增函数，则 Rt 并设 ) 1()(taetG t 问题转化为 0)(tG 对 Rt 恒成立_4 分 当 0a 时， 0)( t etG 对 Rt 恒成立_5 分 当 0a 时，当 0t 时， ) 1(1) 1()(tataetG t 0 1 1) 11 1 (1) 1 1 ( a a a a a G 不合题意6 分 当 0a 时， aetG t ) ( 当 为减函数时，)(, 0)(lntGtGat 当 为增函数时，)(, 0)(lntGtGat 0) 1(ln
12、)(ln)( ln min aaaaGtG at时，则当 10 0 0ln a a aa 所以 因为 所以 _7 分 综上 10 a _8 分 注：此解法中有一处需要取点，若没有取点，用趋势表达的不扣分，两种方式都 没写的，最后总分中扣 1 分。 方法四： 由 0)1 ln1 ( )( x x x a x xf 得 恒成立对00)1 ln1 ( 2 xx x x a x axxex 即 0lnaaxxaxex 对 0 x 恒成立 即 0) 1(lnxxaxex 对 0 x 恒成立 设 1ln)(xxxh 在 ), 0( x 上为增函数， 且 01 1 ) 1 (, 0 1 ) 1 ( 22 e
13、e h ee h 所以 ) 1 , 1 ( 2 0 ee x 使 0ln1)( 000 xxxh 所以，当 , 0)(0 0 xhxx时， 当 , 0)( 0 xhxx时， 当 0 xx 时， 0ln1xx ， 0 000 )ln1 ( x exxxa 成立 )( ln1 )( 0 xx xx xe xG x 2 )ln1 ( ) 1 1 ()ln1 () 1( )( xx x xexxex xG xx 2 )ln1 ( ) 1()ln1 () 1( xx xxexxex xx 2 )ln1 ( )ln() 1( xx xxex x 设 xxxp ln)( 在 ), 0( x 上为增函数， 且
14、 01) 1 (, 01 1 ) 1 (p ee p 所以 ) 1 , 1 ( 1 e x 使 0ln)( 111 xxxp 当 0 xx 时，即 0ln1xx 时， xx xe a x ln1 对 ),( 0 xx 恒成立 当 10 xxx 时， 为减函数)(, 0)(, 0)(xGxGxp 当 为增函数时，)(, 0)(, 0)( 1 xGxGxpxx 1 1 1 11 1 1min 1 ln1 )()( x x ex xx ex xGxG xx 时，则当 0ln 11 xx又 所以 1 0ln 1 111 eeex xxx 1)()( 1min 1 xGxG xx时，则当 5 分 1)(
15、 1 xGa所以 _6 分 当 0 0 xx 时，即 0ln1xx 时， xx xe a x ln1 对 ), 0( 0 xx 恒成立当 0 0 xx 时， 为减函数)(, 0)(, 0)(xGxGxp 因为 0 ln1 lim 0 xx xex x 所以 0a _7 分 综上 10 a _8 分 证明： 1sin)(xexg x 因为 ( ) cos所以 x g xex 要证明 1)() 1ln(xgaxx 成立 只需证明 1cos) 1ln(xeaxx x 成立 xxaxxaln) 1ln(, 10所以因为 原问题转化为证明 1coslnxexx x 9 分 (i)当 1 , 0 (x 时
16、， 0lnxx ， 0cos, 01xex 01cosxex所以1coslnxexx x 所以 成立 所以 1cos) 1ln(xeaxx x 成立10 分 (ii)当 ), 1 ( x 时， xxxexH x ln1cos)(设 xxexH x ln1sin)( x xexH x 1 cos)( 1cos1, 1 1 0 , 1 x x ee x x 所以 因为 0)( x H所以 )(x H 所以 在 ), 1 ( x 上为增函数11 分 01sin1) 1 ()(eHxH所以 )(xH所以 在 ), 1 ( x 上为增函数 011cos) 1 ()(eHxH所以 1coslnxexx x 所以 所以 1cos) 1ln(xeaxx x 成立12 分 综上 1cos) 1ln(xeaxx x 成立
