1、黄黄山市山市 20212021 届高中毕业届高中毕业班第班第二二次质次质量检测量检测 数学（理科）试题数学（理科）试题 本试卷分第卷（选择题 60 分）和第卷（非选择题 90 分）两部分，满分 150 分，考 试时间 120 分钟. 注意事项： 1答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡 上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规 定的地方填写姓名和座位号后两位. 2答第卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3答第卷时，必须使用 0.5
2、毫米的黑色墨水签字笔在答题卡 上书写，要求字体工整、笔 迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水 签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效 ，在 试题卷 、草稿纸上答题无效 . 4考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交. 第第卷卷（选择题满分 60 分） 一一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卷的相应区域答题 .） 1. 已知集合1,2,3A ，(2)0Bx xx，则ABI A2,3B1,3C1, 2D1,2,3 2. 复数 3i
3、5 23i 的实部为 A 1 13 B 9 13 C 1 13 -D 21 13 3. 若 1 cos 64 x 则sin 2 6 x A 15 8 B 7 8 C 15 8 D 7 8 4. 古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形 式”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之 美如清代诗人黄柏权的茶壶回文诗（如图）以连环诗的形式展现，20 个字绕着茶 壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作数学与生活也有许多奇妙的联系，如 2020 年 02 月 02 日（20200202)被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对
4、称的日期）数学上把 20200202 这样的对称数叫回文数，如两位数的回文数共有 9 个 (11,22,99) ，则在所有四位数的回文数中，出现奇数的概率为 A 1 3 B 4 9 C 5 9 D 2 3 5. 设函数 2 2 4 ,4, ( ) log,4, xx x f x x x 若函数( )f x在区间,1m m上单调递减，则实数m 的取值范围是 A.2,3B.2,3C.2,3D.2,3 6. 已知抛物线C:xy4 2 的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与抛物线C 的一个交点,若3PFFQ,则QF A. 3B. 4 或 3 8 C. 3 4 D. 3 4 或 3 8 7.
5、 下列命题: 在线性回归模型中,相关指数 2 R 表示解释变量 对于预报变量的贡献 率, 2 R 越接近于0,表示回归效果越好; 两个变量相关性越强,则相关系数的绝对值就越 接近于 ; 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好; 对分类变量X与, 它们的随机变量的观测值 来说, 越大,“X与Y有关系”的把握程度越大. 其中正 确命题的个数是 A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 8. 已知各项均为正数的等比数列 n a的前三项和为 14，且 135 43aaa，则 2021 a A. 2020 2 B. 2021 2 C. 2022 2 D. 2023 2 9. 设 3 1 l
6、na， 1 eb ， 2 1 log3c，则 A.acbB.bcaC.bacD.abc 10.在ABC中，角CBA,所对的边分别为cba,，若ACBsinsinsinABC的面积为 2 1 ，3ba则角C A.30B.120C.30或150D.60或120 11.棱长为4的正方体密闭容器内有一个半径为1的小球，小球可在正方体容器内任意运动， 则其能到达的空间的体积为 A 22 32 3 B 4 36 3 C 13 44 3 D12 12 12.已知0, 0ba，且ba ，如果ba,是xxxf 2021 1 ln)(的两个零点，则ab的范围 A.),( eB.),( 2 eC.), 1 ( 2
7、e D.), 1 ( e 第第卷卷（非选择题 满分 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请在答题卷的相应区域答题 .） 13.已知函数 cos02 ( )2 |21|20 x x f x xx ，若 2 2 )(xf ,则x 14.若 2021 2021 012021 1-3()xaa xaxxR,则 202112 22021 333 aaa L的值为 15.已知ABC是边长为 4 的等边三角形，P为平面ABC内一点， 则 PBABPBPC uur uu u ruur uuu r 的最小值是 16.已知 12 ,F F分别为双曲线 22 22 1(0,0)
8、xy ab ab 的左右焦 点, 过点 2 F作圆 222 xya的切线交双曲线左支于点M, 且 12 60FMF，则该双曲线的渐近线方程为. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请 在答题卷的相应区域答题 .） 17.（本小题满分 10 分） 已知A、B、C为ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若 (2 )coscos()0cbAaAB. （1）求A； （2）若 2 3a ，求ABC的面积的最大值 18.（本小题满分 12 分） y M F1 F2 2 x O 四棱锥SABCD中，底面ABCD为等腰梯形，侧面SAD为正三角形，且平面SAD
9、 平面ABCD. 已知/ /,2,4ADBC ABADBC. （1）试画出平面SAB与平面SCD的交线m,并证明：BCm； （2）记棱AD中点为O，BC中点为E, 若点F为线段OE上动点，当满足FAFB 最小时，求SF与平面SBC所成角的正弦值. 19.（本小题满分 12 分） 设n是给定的正整数（2n ), 现有n个外表相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其 他无区别的小球，第k（1,2,3,knL)个袋中有k个红球，nk个白球. 现将这些 袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回）. （1）若4n , 假设已知选中的恰为第 2 个袋子，求第三次取出为白球的概率；
10、（2）若4n ，求第三次取出为白球的概率； （3）对于任意的正整数n（2n )，求第三次取出为白球的概率. 20.（本小题满分 12 分） 已 知 椭 圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab , 其 短 轴 长 为32, 离 心 率 为 1 e, 双 曲 线 22 2: 1(0,0) xy Cpq pq 的渐近线为xy3,离心率为 2 e,且1 21 ee. （1）求椭圆 1 C的方程； （2）设椭圆 1 C的右焦点为F,动直线l（l不垂直于坐标轴）交椭圆 1 C于,M N不同两 点,设直线FM和FN的斜率为 21,k k, 若 21 kk,试判断该动直线l是否过定 点,若是，求出
11、该定点;若不是,请说明理由. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数( )ln,f xaxx函数 2 ( ) x g xebx, （1）记 2 ( )( )h xf xx, 试讨论函数( )h x的单调性，并求出函数( )h x的极值点； （2） 若已知曲线( )yf x和曲线( )yg x在1x 处的切线都过点(0,1).求证： 当0 x 时，( )( )(1)1xf xg xex. 考生注意：请在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时， 请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直
12、角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 os3cx ysin （其中为参数），曲线 22 2: 20Cxyy，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线 : l（ 0）与曲线 1 C， 2 C分别交于点A，B（均异于原点O）. （1）求曲线 1 C， 2 C的极坐标方程； （2）当0 2 时，求 22 OAOB的最小值. 23.（本小题满分 10 分）选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 已知函数( ) |2|1|f xxax. （1）当2a 时，求不等式 2f x 的解集； （2）若0a ，不等式 30fx 恒成立，求实数a的取值范围. 黄山市黄山市 20212021 届高中
13、毕业班第二次质量检测届高中毕业班第二次质量检测 理科数学试题参考答案及评分标准理科数学试题参考答案及评分标准 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.） 题号123456789101112 答案ACDCADCBBCAB 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.） 13. 3 2 14.115.616. 3 (1) 3 yx 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17（本小题满分 12 分） 解：（1）cos()cos()cosABCC Q, cos(2 )cos0aCcbA， 由正弦定理得：sinco
14、s(sin2sin)cos0ACCBA， （2 分） 即sincossincos2sincos0ACCABA，即sin()2sincos0ACBA， 即sin2sincos0BBA，（4 分） sin0B Q， 1 cos 2 A ，又(0,)A， 2 3 A（6 分） （2）由余弦定理得 222 2cosabcbcA ， 即 22 12bcbc ，（8 分） 22 122bcbcbcQ ， 4bc，当且仅当2 cb取等号，（10 分） 故ABC的面积为 112 sin4 sin3 223 SbcA ， ABC面积最大值为3.（12 分） 18（本小题满分 12 分） 解：（1）延长,BA C
15、D交于点P,连PS. 则PS即为平面SAB与平面SCD的交线 m. 证明：/ /,2ADBC BCAD, PBCAD中， 、 为中点， ,PAABSA PSSB. 同理PSSC, SBSCS又, PSSBC平面,BCSBC 平面, PSBC,即BCm. （5 分） （2）等腰梯形中，,B C关于直线OE对称， 所以FAFBFAFCAC，( ,A F C三点共线时取等号）， ,ACOEFFFAFB连交于则点 为所求使最小的点. 此时 113 , 233 OFOA OFOE FECE . 如图建立平面直角坐标系Oxyz, (0,0, 3),S(2, 3,0),B( 2, 3,0),C 3 (0,0
16、) 3 F , 3 SF(0,3) 3 uu r ,S (2, 3,3)B uur , ( 4,0,0)BC uuu r , 设平面SBC法向量为 ( , ,1)mx y u r 00 2330 1 40 0 m SBx xy y x m BC u r uu r u r uuu r (0,1,1)m u r 记SF与面SBC所成的角为， 则 5 sin|cos| 5 | m SF m SF m SF u r uur u r uur u r uur（12 分） 19（本小题满分 12 分） 解：（1）4n 时，选中的恰为第 2 个袋子，袋中 2 红球，2 白球.记“第三次取出为白球” 为事件A，
17、则 1 3 2 4 1 ( ) 2 C P A C ；（4 分） (2)4n 时,记“从第k个袋中第三次取出为白球”为事件(1,2,3,4) k A k 2 3 1 3 4 3 () 4 C P A C ; 1 3 2 2 4 1 () 2 C P A C ; 0 3 3 1 4 1 () 4 C P A C ; 4 ()0P A 而每一个袋子被选中概率均为 1 4 所以第三次取出为白球的概率 4 1 13 () 48 k k PP A ； （8 分） (3)n个袋子时,记“从第k个袋中第三次取出为白球”为事件(1,2,3, ) k A knL. 1 1 (1)! (1)! ! () ! ()
18、! ! n k n k n k n n Cnknkk P A n Cn nk k ,(1,2,3, )knL; 而每一个袋子被选中概率均为 1 n , 所以第三次取出为白球的概率 11 111 () 2 nn k kk nkn PP A nnnn （12 分） 20（本小题满分 12 分） (1)由题意知 22 1 43 xy , （5 分） (2)根据椭圆对称性，该直线过定点且在x轴上，设直线l的方程)(txky， 联立 1 34 )( 22 yx txky 消去y整理得01248)43( 22222 tktxkxk， 设),(),( 2, 211 yxNyxM则 2 22 21 2 2 2
19、1 43 124 , 43 8 k tk xx k tk xx （7 分） 1212 12 1212 ()() 1111 yyk xtk xt kk xxxx 1221 12 ()(1)()(1) (1)(1) xt xxt x k xx 1212 1212 2(1)()2 0 () 1 x xtxxt k x xxx 即 2 222 22 222 222 4128824 8868 2(1)20 343434 k tk tk tk tk ttk t tt kkk ， 所以2460t，4t ，即直线过定点(4,0)（12 分） 21（本小题满分 12 分） 解：(1) 2 2 2 ( )ln,
20、( )(0) xxa h xaxxx h xx x ， 记 2 ( )2(0)xxxa x， 0a 当时， ( )0, ( )0h xh x在（ ，）单调递增，无极值点； 12 11 811 8 01 80, ( ) 44 aa aaxxx 当时，有异号两根（0) 11 8 (0,)0, ( )0, 4 a xxh x ，（ 11 8 ( )(0,) 4 a h x 在单调递减； 11 8 (,)0, ( )0 4 a xxh x ，（, 11 8 ( )(,) 4 a h x 在单调递减. 11 8 ( ). 4 a h xx 有极小值点 （5 分） (2)( )(0), xa fxx x
21、Q ( )2 x g xebx (1)1,fa(x)11)(1)在处切线方程为 -1=(fxyax,过点(0,1)得1a ， (1)2 ,geb (x)12 )(1)gxy e beb x在处切线方程为 - - =(,过点(0,1)得1b ， 2 ( )ln, ( ) x f xxx g xex 要证： ( )(x)(1)1xf xgex， 即证： ln(1)x 10 x exxe , 即证： 1 ln(1)0 x e xe xx . 构造函数 1 ( )ln(1) x e K xxe xx ,则 2 (1)(1) ( ), x xe K x x 010, x xe Q时， (0,1)( )0
22、,( )01xK xK x 时，在（ ， ）单调递减； (1,)( )0,( )(1,)xK xK x 时，在单调递增， ( )(1)0K xK. 所以原不等式成立.（12 分） 22.（本小题满分（本小题满分 10 分）选修分）选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 解：（1） 1 C的普通方程为 2 2 3 1 x y，代入 cos ,sinxy得 1 C的极坐标方程为 2 2 12 3 sin ， （3 分） 2 C的极坐标方程为2sin（5 分） （2）联立0 与 1 C的极坐标方程得 2 2 s n 3 12 i OA （6 分） 联立0 与 2 C的极坐标方程得 2 2
23、4OBsin（7 分） 则 22 22 22 33 4sin2 12sin22 62 12sin12sin OAOB 22 62OAOB最小值为2.（10 分） 23.（本小题满分（本小题满分 10 分）选修分）选修 45：不等式选讲：不等式选讲 （1）当2a 时，函数 3,1 2211 3 , 11 3,1 xx f xxxxx xx ，（2 分） 当1x时，由 2f x ，可得32x ，解得15x； 当11x 时，由 2f x ，可得1 32x，解得 1 1 3 x； 当1x 时，由 2f x ，可得32x，此时解集为空集， 综上所述：不等式 2f x 的解集为 1 ,5 3 .（5 分） （2）若0a ，函数 1, 2 1 3 , 1 2 1,1 a xax a f xaxx ax x 由一次函数性质可知 f x在, 2 a 为减函数，在+ 2 a ，为增函数， 所以 min1 22 aa fxf ，（8 分） 因为不等式 30fx 恒成立，即 min3f x ，即13 2 a ，解得4a 又因为0a ，所以实数 a 的取值范围0,4.（10 分）
