1、2021 年河南省新乡市高考数学二模试卷（文科）年河南省新乡市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知 z，则 的虚部是（） AiBiC1D1 2某生物实验室有 20 颗开紫花的豌豆种和 25 颗开白花的豌豆种，若从这些豌豆种中随机 选取 1 颗，则这颗种子是开紫花的豌豆种的概率为（） ABCD 3定义集合 MNx|xM 且 x1N，已知集合 Ax|x2+3x100，Bx|7x 0，则 AB（） Ax|5x1Bx|7x2Cx|5x1Dx|5x0 4将函数 f（x）sinx 图象上所有点的横坐标变为原来的（0），纵坐标不变，得 到函数 g（x）的图象，
2、若 g（x）的最小正周期为 6，则（） AB6CD3 5在ABC 中为 BC 边的中点，则（） AB CD 6执行如图所示的程序框图，若输入的 N10，则输出的 X（） ABCD 7若椭圆与椭圆1（0m9）只有两个公共点，则这两个 椭圆的离心率之积为（） ABCD 8一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现 存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势 凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为 1，3，3，5，5， 7，该数列从第 5 项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为（） A39B45C4
3、8D51 9在四面体 ABCP 中，PB平面 ABC，且 ABAC，ABAC若四面体 ABCP 外接球的 半径为则 PA 与平面 ABC 所成角的正切值为（） ABC2D3 10已知 yf（x）的图象关于坐标原点对称，且对任意的 xR，f（x+2）f（x）恒成立， 当1x0 时，f（x）2x，则 f（2021）（） A1BCD1 11 设， 均为锐角， 且 cos （+） +cos （） ， 则的最大值是 （） ABC6D 12已知函数 f（x）的图象过点（1，），若关于 x 的方程 f（x）+a0（aR） 有 3 个不同的实数根，则 a 的取值范围是（） A（e，0）B（0，e）C（，0）D
4、（，e） 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题）小题）. 13a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边已知 a2+bcb2+c2，则 cosA 14若 log35log2527a，则函数 f（x）lg（2ax）的定义域为 15如图，一个棱长为 4 的正方体被挖去一个高为 4 的正四棱柱后得到图中的几何体，若该 几何体的体积为 60，则该几何体的表面积为 16已知双曲线 C：1 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 M（4，3），则F1MF2 的角平分线所在直线的斜率为 三三、 解答题解答题：本大题共本大题共 5 小题小题，共共 70 分分.解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字
5、说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤。 1721 题为必考题题为必考题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答。 。第第 22，23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17某行业主管部门为了解本行业疫情过后恢复生产的中小企业的生产情况，随机调查了 120 个企业，得到这些企业第二季度相对于前一年第二季度产值增长率 y 的频数分布表 y 的分组0.4， 0.2） 0.2，0）0，0.2）0.2，0.4）0.4，0.6） 企业数3024401610 （1）估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示）； （2）
6、 估计这120个企业产值增长率的平均数 （同一组中的数据用该组区间的中点值代表） 18已知数列an满足 a11，an+12ann2+2n+2 （1）证明：数列ann2+1为等比数列； （2）求数列ann2的前 n 项和 Sn 19 如图， 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 是菱形， BAD60， ACPB， PBAB PD （1）证明：PD平面 ABCD； （2）若四棱锥 PABCD 的体积为 12，求点 D 到平面 PBC 的距离 20已知抛物线 C1的顶点为坐标原点 O，焦点为圆 C2：x2+y24 与圆 C3：x2+（y3）21 的公共点 （1）求 C1的方程； （2）直线 l
7、：yx+3 与 C1交于 A，B 两点，点 P 在 C1上，且 P 在 AOB 这一段曲线上 运动（P 异于端点 A 与 B），求PAB 面积的取值范围 21已知函数 f（x）a（lnx+x）xex （1）若曲线 yf（x）在 x1 处的切线与 y 轴垂直，求 f（x）的单调区间； （2）若对任意 x0，不等式 f（x）+10 恒成立，求 a 的取值集合 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标
8、系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（为参数），直线 l：x+y 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）写出曲线 C 的普通方程及直线 l 的极坐标方程； （2）直线 m：0（0（0，）与曲线 C 和直线 l 分别交于 A，B（A，B 均异于 点 O）两点，求|OA|OB|的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x2|+|x+1| （1）求不等式 f（x）5 的解集； （2）记 f（x）的最小值为 M，若关于 x 的不等式|xm|+|x2|M 有解，求 m 的取值范 围 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小
9、题）. 1已知 z，则 的虚部是（） AiBiC1D1 解：因为 z， 所以，则 的虚部为1， 故选：D 2某生物实验室有 20 颗开紫花的豌豆种和 25 颗开白花的豌豆种，若从这些豌豆种中随机 选取 1 颗，则这颗种子是开紫花的豌豆种的概率为（） ABCD 解：由古典概型可知，这颗豌豆种是开紫花的豌豆种的概率为： P 故选：A 3定义集合 MNx|xM 且 x1N，已知集合 Ax|x2+3x100，Bx|7x 0，则 AB（） Ax|5x1Bx|7x2Cx|5x1Dx|5x0 解：集合 Ax|x2+3x100 x|5x2， Bx|7x0， ABx|x|5x1 故选：C 4将函数 f（x）si
10、nx 图象上所有点的横坐标变为原来的（0），纵坐标不变，得 到函数 g（x）的图象，若 g（x）的最小正周期为 6，则（） AB6CD3 解：将函数 f（x）sinx 图象上所有点的横坐标变为原来的（0），纵坐标不变， 得到函数 g（x）的图象， 即 g（x）sinx， 若 g（x）的最小正周期为 6， 则 T6，得， 故选：A 5在ABC 中为 BC 边的中点，则（） AB CD 解：因为 D 为 BC 边的中点， 所以+2， 因为（+）， 所以，则 23 故选：C 6执行如图所示的程序框图，若输入的 N10，则输出的 X（） ABCD 解：模拟程序的运行，可得 X，n2 X，n3 X，n4
11、 X，n11N， 故输出的 X 故选：B 7若椭圆与椭圆1（0m9）只有两个公共点，则这两个 椭圆的离心率之积为（） ABCD 解：由两个椭圆的图形可得，当 C 的长轴端点恰好为 D 的短轴端点时， 两个椭圆只有两个公共点，则 m4， 故这两个椭圆的离心率之积为， 故选：B 8一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现 存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势 凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为 1，3，3，5，5， 7，该数列从第 5 项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为（） A39
12、B45C48D51 解：设该数列为an，由题意得，a5，a6，成等差数列，公差 d2，a55， 设塔群共有 n 层，则 1+3+3+5+5（n1）+108， 解得，n12， 故最下面三层的塔数之和为 a10+a11+a123a113（5+26）51 故选：D 9在四面体 ABCP 中，PB平面 ABC，且 ABAC，ABAC若四面体 ABCP 外接球的 半径为则 PA 与平面 ABC 所成角的正切值为（） ABC2D3 解：因为 PB平面 ABC，且 ABAC，所以四面体 ABCP 可以补形为一个长方体， 故其外接球的半径， 则 AB3PB 因为 PA 与平面 ABC 所成角为PAB，所以 故
13、选：B 10已知 yf（x）的图象关于坐标原点对称，且对任意的 xR，f（x+2）f（x）恒成立， 当1x0 时，f（x）2x，则 f（2021）（） A1BCD1 解：根据题意，yf（x）的图象关于坐标原点对称，即 yf（x）是奇函数，则有 f（x） f（x）， 又由对任意的 xR，f（x+2）f（x）恒成立，即 f（x+2）f（x）恒成立， 则有 f（x+4）f（x+2）f（x）对任意的 x 都成立， 故 f（x）是周期为 4 的周期函数，则 f（2021）f（1+4505）f（1）f（1）， 当1x0 时，f（x）2x，则 f（1）2 1 ， 故 f（2021）f（1）f（1）， 故选：
14、B 11 设， 均为锐角， 且 cos （+） +cos （） ， 则的最大值是 （） ABC6D 解：因为 cos（+）+cos（）， 可得 2coscos，即 tan2sincos， 故，当且仅当 ，即 tan时等号成立， 故的最大值是 故选：B 12已知函数 f（x）的图象过点（1，），若关于 x 的方程 f（x）+a0（aR） 有 3 个不同的实数根，则 a 的取值范围是（） A（e，0）B（0，e）C（，0）D（，e） 解：f（1），m1，故 f（x） f（x）， 当 x（1，2）时，f（x）0，当 x（，1）或（2，+）时，f（x） 0， f（x）在（1，2）上单调递增，在（，1）
15、，（2，+）上单调递减， f（x）的极大值为 f（2），极小值为 f（1）e 且当 x时，f（x）+，当 x+时，f（x）0， 关于 x 的方程 f（x）+a0（aR）有 3 个不同的实数根， f（x）的图象与 ya 有 3 个不同交点，则 0a，得a 0 即 a 的取值范围是（，0） 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分共分共 20 分分.把答案填在答题卡的相应位置把答案填在答题卡的相应位置. 13a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边已知 a2+bcb2+c2，则 cosA 解：因为 a2+bcb2+c2，且 a2b2+c22
16、bccosA， 则 cosA 故答案为： 14若 log35log2527a，则函数 f（x）lg（2ax）的定义域为（，3） 解：若 log35log2527a， 则若 log35log2527log35log53a， 故 f（x）lg（3x）， 由 3x0，解得：x3， 故函数的定义域是（，3）， 故答案为：（，3） 15如图，一个棱长为 4 的正方体被挖去一个高为 4 的正四棱柱后得到图中的几何体，若该 几何体的体积为 60，则该几何体的表面积为110 解：设正四棱柱的底面边长为：m，则 4（42m2）60，解得 m1， 所以该几何体的表面积为：424+（4212）2+414110 故答
17、案为：110 16已知双曲线 C：1 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 M（4，3），则F1MF2 的角平分线所在直线的斜率为1 解：由双曲线的焦点 F1（，0），F2（，0）， 设F1MF2的角平分线所在直线与 x 轴的交点设为 T（t，0），则 t（ ，）， 所以 MF1的直线方程为：y（x+），即 3x（4+）y+30， 直线 MF2的方程：y（x），即 3x（4）y30， 由角平分线的性质可得，整理可得， 解得：t1， 所以 T（1，0），所以 kMT1 故答案为：1 三三、 解答题解答题：本大题共本大题共 5 小题小题，共共 70 分分.解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字
18、说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤。 1721 题为必考题题为必考题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答。 。第第 22，23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17某行业主管部门为了解本行业疫情过后恢复生产的中小企业的生产情况，随机调查了 120 个企业，得到这些企业第二季度相对于前一年第二季度产值增长率 y 的频数分布表 y 的分组0.4， 0.2） 0.2，0）0，0.2）0.2，0.4）0.4，0.6） 企业数3024401610 （1）估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示）； （2）
19、 估计这120个企业产值增长率的平均数 （同一组中的数据用该组区间的中点值代表） 【解答】（1）这些企业中产值负增长的企业比例为%45%； （2）这 120 个企业产值增长率的平均数为（一 0.330 一 0.124 十 0.140 十 0.3 16 十 0.510）0.02 18已知数列an满足 a11，an+12ann2+2n+2 （1）证明：数列ann2+1为等比数列； （2）求数列ann2的前 n 项和 Sn 解：（1）证法一、因为 an+12ann2+2n+2， 所以 an+1（n+1）2+12（ann2+1），又 a112+11， 所以ann2+1是首项为 1，公比为 2 的等比数
20、列； 证法二、因为 a11，所以 a112+11， 因为 an+12ann2+2n+2， 所以 2， 所以ann2+1是首项为 1，公比为 2 的等比数列； （2）由（1）可得 ann2+12n 1， 则 ann22n 11， 所以 Sn1+2+2n 1n n2nn1 19 如图， 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 是菱形， BAD60， ACPB， PBAB PD （1）证明：PD平面 ABCD； （2）若四棱锥 PABCD 的体积为 12，求点 D 到平面 PBC 的距离 【解答】（1）证明：因为底面 ABCD 是菱形，所以 ACBD， 因为 ACPB，且 BDPBB，所以 AC
21、平面 PBD， 因为 PD平面 PBD，所以 ACPD， 因为 ABAD，且BAD60，所以 BDAB， 因为 PB，所以 PD2+BD2PB2，则 PDBD， 因为 AC 与 BD 是平面 ABCD 内的相交直线， 所以 PD平面 ABCD； （2）由（1）可知，PD平面 ABCD，BDCD，则 PBPCPD， 设 ABm，则四棱锥 PABCD 的体积为，解得 m2， 在PBC 中，则PBC 的面积为， 设点 D 到平面 PBC 的距离为 h， 因为三棱锥 PBCD 的体积为， 所以三棱锥 DPBC 的体积为，解得 h， 故点 D 到平面 PBC 的距离为 20已知抛物线 C1的顶点为坐标原
22、点 O，焦点为圆 C2：x2+y24 与圆 C3：x2+（y3）21 的公共点 （1）求 C1的方程； （2）直线 l：yx+3 与 C1交于 A，B 两点，点 P 在 C1上，且 P 在 AOB 这一段曲线上 运动（P 异于端点 A 与 B），求PAB 面积的取值范围 解：（1）联立解得：x0，y2， 所以可得抛物线的焦点在 y 轴上，且由题意可得焦点为：（0，2）， 设抛物线的方程：x22py，所以2， 所以 p4， 所以 C1的方程为：x28y； （2）联立，解得：或， 设 A（6，），B（1，2）， 则|AB|， 设 P（x0，y0），则4x06， 则 P 到直线 l 的距离 d， 由
23、 x0的范围，设 y（x01）22525，0， 所以可得 d（0， 所以 SPAB|AB|dd（0， 所以PAB 面积的取值范围为（0， 21已知函数 f（x）a（lnx+x）xex （1）若曲线 yf（x）在 x1 处的切线与 y 轴垂直，求 f（x）的单调区间； （2）若对任意 x0，不等式 f（x）+10 恒成立，求 a 的取值集合 解：（1）因为 f（x）a（+1）（x+1）ex， 所以 f（1）2（ea）0， 解得 ae，故 f（x）（x+1）（ex）， 因为 f（x）的定义域为（0，+），所以（x+1）0， 且函数（x）ex在（0，+）上为增函数，（1）0， 当 0 x1 时，（x
24、）0；当 x1 时，（x）0， 故 f（x）的单调递减区间为（1，+），单调递增区间为（0，1） （2）f（x）（x+1）（ex）， 当 a0 时，f（x）0，此时 f（x）在（0，+）上单调递减， 当 x0 时，f（x）+1+，不符合题意， 当 a0 时，f（）+110，不合题意， 当 a0 时，令 f（x）0 得 ex0，即 xexa， 令 g（x）xex，则 g（x）ex（x+1）0， 所以 g（x）在（0，+）上单调递增， 则存在 x0（0，+），使得 x0ea， 两边同时取对数可得 x0+lnx0lna， 当 0 xx0时，xexa，f（x）0， 当 xx0时，xexa，f（x）0，
25、 所以 f（x）maxa（lnx0+x0）x0ealnaa， 令 h（a）alnaa+1（a0），则 h（a）lna， 由 h（a）0，得 a1；由 h（a）0，得 0a1， 从而 h（a）minh（1）0， 所以 h（a）0， 又因为 h（a）alnaa+10， 所以 h（a）alnaa+10，所以 a1， 故 a 的取值集合为1 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线
26、C 的参数方程为（为参数），直线 l：x+y 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）写出曲线 C 的普通方程及直线 l 的极坐标方程； （2）直线 m：0（0（0，）与曲线 C 和直线 l 分别交于 A，B（A，B 均异于 点 O）两点，求|OA|OB|的取值范围 解：（1）曲线 C 的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为（x 1）2+y21 直线 l：x+y，根据，转换为极坐标方程为 （2）由于圆的直角坐标方程为（x1）2+y21 根据转换为极坐标方程 为2cos 所以|OA|OB|， 由于0（0，）， 所以|OA|OB|的取值范围为 选修选修 4-5：不等式选讲：
27、不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x2|+|x+1| （1）求不等式 f（x）5 的解集； （2）记 f（x）的最小值为 M，若关于 x 的不等式|xm|+|x2|M 有解，求 m 的取值范 围 解：（1）|2x2|+|x+1|5 等价为或或， 解得x1 或1x1 或 1x2， 综上可得，原不等式的解集为，2； （2）f（x）|2x2|+|x+1|x1|+|x+1|+|x1|x1x1|+|11|2， 当 x1 时，上式取得等号， 则 M2，即|xm|+|x2|2 有解， 由|xm|+|x2|xmx+2|m2|，当（xm）（x2）0 时，取得等号， 所以|m2|2，解得 0m4， 所以 m 的取值范围是0，4
