1、2020 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 高三数学2021.4 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分分，第，第 1-6 题题每题每题 4 分，分，第第 7-12 题题每题每题 5 分）分） 考生考生应应在答题纸在答题纸的的相应相应位置位置直接填写结果直接填写结果 1集合，则= 2已知函数 3 4 log2f x x ，则方程 1 4fx 的解x= _ 3等比数列 n a（*Nn）中，若 16 1 2 a， 2 1 5 a，则 8 a . 4若方程 2 230 xx的两个根为和，则| 5函数( )sin()(0,0,|) 2 f xAxA 的 部分图像
2、如右图所示，则( )f x 6双曲线1 94 22 yx 的焦点到渐近线的距离等于 7. 在二项式 7 (1)ax)(Ra的展开式中，x的系数为 7 3 ，则 23 lim() n n aaaa 的值是 _. 8已知正四棱柱 1111 DCBAABCD的八个顶点都在同一球面上，若1AB， 2 1 AA,则A、C两点间的球面距离是. 9 在ABC中，已知1AB ，2BC ，若 cossin sincos CC y CC ，则y的最小值是. 10已知三行三列的方阵 111213 212223 313233 aaa aaa aaa 中有 9 个数(12 312 3) ij a ij， ， ；， ，从
3、中任取三个数， 则有且仅有两个数位于同行或同列（注意：不能同时出现既有两数同行、又有两数同列的情况）的 概率是. (结果用分数表示) 11在ABC中， 1 2 AMAB ， 1 3 ANAC ，BN与CM交于点E，ABa ， ACb ，则AE =（用a 、b 表示）. 12 已知实数ab、使得不等式 2 |axbxax对任意1,2x都成立， 在平面直角坐标系xOy中， 点( , )a b形成的区域记为. 若圆 222 xyr上的任一点都在中，则r的最大值为. 二二、选择题选择题（本大题共有本大题共有 4 题题，满分满分 20 分分，每题分每题分）每题有且只有一个正确每题有且只有一个正确选项选项
4、。考生考生应应在答题在答题 纸的相应纸的相应位置位置，将代表，将代表正确选项正确选项的小方格涂黑的小方格涂黑 13设:1x且2y ，:3xy，则是成立的-（ ） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 14 设 1 z、 2 z为复数，下列命题一定成立的是-（） A. 如果0 2 2 2 1 zz，那么0 21 zz B. 如果 21 zz ，那么 21 zz C. 如果az 1 ，a是正实数，那么aza 1 D. 如果az 1 ，a是正实数，那么 2 11 azz 15若是R上的奇函数，且( )f x在0,)上单调递增，则下列结论：|( )|yf
5、x是 偶函数；对任意的Rx都有() |( )| 0fxf x；( ) ()yf x fx在(,0上单调递增； 反函数 1 yfx 存在且在(,0上单调递增其中正确结论的个数为-（） A1B2C3D4 16 已 知 n a是 公 差 为(0)d d的 等 差 数 列 ， 若 存 在 实 数 1239 ,x xxx满 足 方 程 组 1239 11223399 sinsinsinsin0, sinsinsinsin25, xxxx axaxaxax 则d的最小值为-（） A. 9 8 B. 8 9 C. 5 4 D. 4 5 三三、解答题解答题（本大题共有本大题共有 5 题题，满分满分 76 分分
6、）解答下列各题必须在答题纸解答下列各题必须在答题纸的的相应相应位置位置写出必要的步骤写出必要的步骤. 17 （本题满分（本题满分 1414 分，第（分，第（1 1）小题）小题 6 6 分，第（分，第（2 2）小题 ）小题 8 8 分）分） 如图，在直三棱柱 111 CBAABC 中，BCBA， 2 1 BBBCBA. （1）求异面直线 1 AB与 11 AC所成角的大小； （2）若M是棱BC的中点.求点M到平面CBA 11 的距离. 1818 （本题满分（本题满分 1414 分，第（分，第（1 1）小题）小题 6 6 分，第（分，第（2 2）小题）小题 8 8 分）分） 已知函数 2 ( )1
7、f xxax. （1）若2a ，求函数 f x的零点； （2）针对实数a的不同取值，讨论函数 f x的奇偶性. 19. （本题满分（本题满分 1414 分，第（分，第（1 1）小题）小题 6 6 分，第（分，第（2 2）小题）小题 8 8 分）分） 元宵节是中国的传统节日之一. 要将一个上底为正方形ABCD的长方体状花灯挂起，将两根等长(长 度大于AC、两点距离)的绳子两头分别拴住AC、；BD、，再用一根绳子OP与上述两根绳子连结 并吊在天花板上，使花灯呈水平状态，如图. 花灯上底面到天花板的距离设计为1米，上底面边长为 0.8米，设PAC=，所有绳子总长为y米. (打结处的绳长忽略不计) (
8、1)将y表示成的函数，并指出定义域； (2)要使绳子总长最短，请你设计出这三根绳子的长. (精确到0.01米) 20.20. （本题满分（本题满分 1616 分，第（分，第（1 1）小题）小题 4 4 分，第（分，第（2 2）小题）小题 6 6 分，第（分，第（3 3）小题）小题 6 6 分）分） 已知椭圆 22 1 63 xy 上有两点2,1P 及2, 1Q，直线: l ykxb与椭圆交于A、B两点， 与线段PQ交于点C（异于P、Q）. (1)当1k 且 1 2 PCCQ 时，求直线l的方程； (2)当2k 时，求四边形PAQB面积的取值范围； (3)记直线PA、PB、QA、QB的斜率依次为
9、 1 k、 2 k、 3 k、 4 k. 当0b 且线段AB的中点M在 直线yx 上时，计算 12 k k的值，并证明： 22 1234 2kkk k. 21. （本题满分（本题满分 1818 分，第（分，第（1 1）小题）小题 4 4 分，第（分，第（2 2）小题）小题 6 6 分，第（分，第（3 3）小题）小题 8 8 分）分） 若数集M至少含有 3 个数，且对于其中的任意 3 个不同数, ,a b c(abc)，, ,a b c都不能成为等 差数列，则称M为“集”. (1)判断集合1,2,4,8,2 n ( * N ,3nn)是否是集？说明理由； (2)已知 * N ,3kk. 集合A是
10、集合1,2,3, k的一个子集，设集合21BxkxA， 求证：若A是集，则AB也是集； (3)设集合 341 2222 2,3 341 nn CnN n n n ，判断集合C是否是集，证明你的结论. 2020 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 数学学科参考答案及评分标准2021.4 一 填空题填空题： （本大题共有（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分分，第，第 1-6 题题每题每题 4 分，分，第第 7-12 题题每题每题 5 分分 11,2213442 352sin 4 x 6 3 7 1 2 8 2 9 1 2 10 3 7 11 21 55 ab 12 2 29 29 二选择题
11、二选择题： （本大题共有（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分分，每题分，每题分） 13A14D15B16C 三三解答题解答题： （本大题共（本大题共 5 5 题，满分题，满分 7474分）分） 17 （本题满分（本题满分 1414 分，第（分，第（1 1）小题）小题 6 6 分，第（分，第（2 2）小题）小题 8 8 分）分） 【解】由于 11/ / ACAC，所以 1 CAB（或其补角）即为异面直线 1 AB与 11 AC所成角，2 分 连接 1 CB，在 1 ABC中，由于 11 2 2ABBCAC，所以 1 ABC是等边三角形，所以 1 3 CAB ，所以异面直线 1 AB与 1
12、1 AC所成角的大小为 3 .-6 分 （2）如图所示，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为2 ,0,0C、0,2,0B1、0,2,2A1、 M 0,0,1.-8 分 设平面CBA 的法向量为, ,nu v w ，则 11B A,BnCn . 2,2,0B1C，0,0,2BA 11 ， 且0BA,0B 111 nCn， 002 022 u vw u wv ， 取1v 得平面CBA 的一个法向量为1 , 1 ,0n， -11 分 且2n，又 1 MB0,2, 1 ，于是点M到平面CBA 的距离 1 MB 0 0 1 2 112 222 n d n 所以，点M到平面CBA 11 的距离等于 2
13、2 .-14 分 解法二：过点解法二：过点M作作 1 MNCB交交 1 CB于于N，由，由 1 11 1111 MNCB MNAB CBABB MN平面 11 ABC. 在Rt CMN中，由 4 MCN ，1CM ，得 2 2 MN ， 所以，点M到平面CBA 11 的距离等于 2 2 .（解法三：利用等体积法，略.） 18(本题满分本题满分 14 分分，第第 1 小题小题满分满分 6 分，第分，第 2 小题 小题满分满分 8 分分) 【解】 （1）函数 f x的定义域为1,1， 由由2a ，得 2 210 xx， 化简得 2 22 210 xx ，即 2 2 210 2 xx 1,1 ， 所
14、以，函数 f x的零点为 2 2 x .-6 分 （注意：不求定义域扣 1 分） （2）函数 f x的定义域为1,1，若函数 f x为奇函数，则必有 110ff 代入得110aa 于是 1 1 a a 无解，所以函数 f x不能为奇函数-9 分 若函数 f x为偶函数，由 11ff得11aa 解得0a ；-12 分 又当0a 时， 2 ( )1f xxx，则 2 2 ()11fxxxxxf x 对任意1,1x 都成立.-13 分 综上，当0a 时，函数 f x为偶函数，当0a 时，函数 f x为非奇非偶函数.-14 分 19(本题满分本题满分 14 分分，第第 1 小题小题满分满分 6 分，第
15、分，第 2 小题 小题满分满分 8 分分) 【解】(1)设上底中心为 M，则|AM|=0.42，|PM|=0.42tan，|PA|= 0.4 2 cos ，故 y=4|PA|+|OP|=4|PA|+|OM|-|PM|= 1.6 2 1 0.4 2 tan cos = 0.4 2(4sin ) 1 cos ,-5 分 5 2 0,arctan 4 .-6 分 (2)记 A= 4sin cos ，则sin4+Acos ，即 2 1sin(A+ )=4 ， 由sin(+ )1 ,得15A ，等号成立时arctan 15 2 = 5 2 0,arctan 4 ，-10 分 从而 ymin=0.430+
16、13.19(米)，-11 分 此时这三根绳子长分别约为 1.17 米，1.17 米，0.85 米.-14 分 20(本题满分本题满分 16 分分，第第 1 小题小题满分满分 4 分，第分，第 2 小题小题满分满分 6 分，第分，第 3 小题小题满分满分 6 分分) 【解】(1)设 C(a,b)，则2,1),(2, 1)PCabCQab （，由 1 2 PCCQ ，得 1 2(2), 2 1 1( 1), 2 aa bb 解得 2 , 3 1 . 3 a b 所以，直线l的方程为 12 () 33 yx ，即10 xy .-4 分 (2)直线l的方程为2yxb，代入椭圆方程，整理得 22 982
17、60 xbxb(*)-5 分 则|AB|= 222 2 (8 )36(26)2 5(542) 12 99 bbb ,-6 分 由l与线段 PQ 相交，有 4 14 1 0 55 bb ，得55b ，-7 分 由 1 2 PQ k ，2 l k 知1 PQl kk ，所以ABPQ且2 5PQ ， 故四边形 PAQB 的面积 S= 1 |5| 2 ABPQAB= 2 10 542 9 b，-9 分 其取值范围为 20 10 6 , 93 .-10 分 (3)将直线l的方程: l ykxb，代入椭圆方程，整理得(1+2k 2)x2+4kbx+2b2-6=0 (*)11 分 设 A(x1,y1),B(
18、x2,y2)，则 AB 中点坐标为 1212 , 22 xxyy ， 且 x1,x2为方程(*)的两根，则 x1+x2= 2 4 1 2 kb k . 由条件，有 1212 0 22 xxyy ，即 x1+x2+y1+y2=0，-12 分 又 y1=kx1+b，y2=kx2+b，故有(1+k)(x1+x2)+2b=0， 即 2 4 (1)()20 1 2 kb kb k ，解得 b=0（舍）或 k= 1 2 .-13 分 当 k= 1 2 时，x1+x2= 4 3 b ，x1x2= 2 412 3 b ，则 1 2 k k= 12 12 1212 11 (1)(1) 11 22 22(2)(2
19、) xbxb yy xxxx 2 1212 1212 11 ()(1) 1 42 2()42 b x xxxb x xxx ，-14 分 又由于 34 k k= 2 121212 12 12121212 111+1 (+1)(+1)()( +1) +1+11 2242 -2-2(-2)(-2)-2()42 b xbxbx xxxb yy xxxxx xxx ， 由 12 kk，利用基本不等式有 22 1234 2kkk k成立. -16 分 21(本题满分本题满分 18 分分，第第 1 小题小题满分满分 4 分，第分，第 2 小题小题满分满分 6 分，第分，第 3 小题小题满分满分 8 分分)
20、 【解】(1)任取三个不同元素 2 i2j2k(其中 0ij2k2j+1=22j，因此这三个数不能成等差数列. 所以，集合1,2,4,8,2 n ( * N ,3nn)是“集”.-4 分 (2)反证法. 假设AB不是“集” ，即AB中存在三个不同元素 xyz， 使 x,y,z 成等差数列，则 x+z=2y.-5 分 因为A是“集” ，所以，x,y,z 不能全在 A 中；-6 分 如果 x,y,z 全在 B 中，则x-(2k-1)+z-(2k-1)=2y-(2k-1)依然成立， 且 x-(2k-1)，y-(2k-1)，z-(2k-1)都在 A 中，这说明 A 中存在三个数构成等差数列， 即 A
21、不是“集” ，与条件矛盾，因此，x,y,z 也不能全在 B 中.-7 分 由于 B 中最小可能元素（为 2k）大于 A 中最大可能元素（为 k） ， 所以必有 xA，zB.-8 分 从而，y= 1 2 (x+z) 1 2 k+k+(2k-1)=2k- 1 2 k，故 yA. 这与 yAB矛盾，故AB也是“集”.-10 分 (3) 集合C是“集” ，证明如下： 记 1 2 1 k k akN k ，则 21 1 1 22 20 211 (2) kk k kk k aa kkkk ， 故 1234n aaaaa.-12 分 任取, ijk a a aC(其中 1iji1,故 j2) ，即2 ikj
22、 aaa；-14 分 当 k=j+1 时，若, ijk a a a成等差数列，则2 ikj aaa，即 +1 2 ijj aaa，化简得 1 1 ( +2 =1 2 j i jji ）(*)-15 分 从而1 ( +2jj）是 1 2 j i 的正整数倍，由于1j与2j互质(为两个连续正整数)， 因此1j是 1 2 j i 的正整数倍或2j是 1 2 j i 的正整数倍，-16 分 若1j是 1 2 j i 的正整数倍，则1j 1 2 j i ，而211jji ，则(*)式不成立； 若2j是 1 2 j i 的正整数倍，则2j 1 2 j i ，而11ji ，(*)仍不成立. 综上可知，, ijk a a a不能成等差数列，即证明了集合C是“集”.-18 分
