1、无锡市普通高中 2021 年春学期高二期终教学质量抽测建议卷 数学 202106 命题单位：宜兴市教师发展中心制卷单位：江阴市教师发展中心 注意事项及说明：本卷考试时间为 120 分钟，全卷满分为 150 分 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1已知复数 z2i，在复平面内 z(1i)对应点的坐标为 A(3，1)B(3，1)C(3，1)D(3，1) 2一个小球从 5 米的高处自由下落，其运动方程为 2 ( )4.9y tt ，则 t1 秒时小球的瞬时 速度为 A9.8 米/秒
2、B4.9 米/秒C9.8 米/秒D4.9 米/秒 3随机变量 X 的分布列为 P(Xk) 15 k ，k1，2，3，4，5，则 P(X3) A 1 5 B 1 3 C 1 2 D 2 3 4九章算术商功：“斜解立方，得两塹堵，斜解塹堵，其一为阳马，一为鳖臑阳 马居二，鳖臑居一，不易之率也合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣”文中“阳 马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥在阳马 PABCD 中，侧棱 PA 底面 ABCD，且 PA1，ABAD2，则点 A 到平面 PBD 的距离为 A 2 3 B 6 3 C 6 2 D 3 3 5若 89 019 (1)(12 )xxaa xa x，x
3、R，则 29 129 222aaa的值为 A 9 2 B 9 21 C 9 3D 9 31 6甲、乙、丙、丁、戊共 5 名同学进行劳动技术比赛，决出第 1 名到第 5 名的名次，已知 甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第 5 名，则这 5 个人的名次排列情况共有 A72 种B54 种C36 种D27 种 7已知函数 ( )yf x 的导函数 ( )yfx 的图像如图所示，则下 列说法一定正确的是 Ax0，a时， ( )f x的值为常数 Bxa，c时， ( )f x单调递减 Cxd 时， ( )f x取得极小值 Dxc 时， ( )f x取得最小值 8现行排球比赛规则为五局三胜制，前四局每局先得
4、25 分者为胜，第五局先得 15 分者为 胜，并且每赢 1 球得 1 分，每次得分者发球；当出现 24 平或 14 平时，要继续比赛至领 先 2 分才能取胜在一局比赛中，甲队发球赢球的概率为 1 2 ，甲队接发球赢球的概率为 3 5，在比分为 24：24 平且甲队发球的情况下，甲队以 27：25 赢下比赛的概率为 A 1 8 B 3 20 C 3 10 D 7 20 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9下列复数 z 满足“kN，使得 n kn zz 对nN 都成立”的有 A
5、ziB 13 i 22 z Cz1iD 22 i 22 z 10甲盒中有 3 个红球，2 个白球；乙盒中有 2 个红球，3 个白球先从甲盒中随机取出一 球放入乙盒用事件 A 表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件 B 表示“从甲盒中取 出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件 C 表示“从乙盒中取出的是红球”， 则下列结论正确的是 A事件 B 与事件 C 是互斥事件B事件 A 与事件 C 是独立事件 CP(C) 13 30 DP(C|A) 1 2 11老杨每天 17：00 下班回家，通常步行 5 分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有 A， B 两条线路可以选择乘坐线路 A 所需时间（单位：分
6、钟）服从正态分布 N(44，4)， 下车后步行到家要 5 分钟；乘坐线路 B 所需时间（单位：分钟）服从正态分布 N(33， 16)，下车后步行到家要 12 分钟下列说法从统计角度认为合理的是 A若乘坐线路 B，18:00 前一定能到家 B乘坐线路 A 和乘坐线路 B 在 17:58 前到家的可能性一样 C乘坐线路 B 比乘坐线路 A 在 17:54 前到家的可能性更大 D若乘坐线路 A，则在 17:48 前到家的可能性不超过 1% 12已知曲线( )e (2) x fxxa在点(0，2)处的切线为 l，且 l 与曲线 2 ( )4g xxxb也相 切则 Aab B存在 l 的平行线与曲线 (
7、 )yf x 相切 C任意 x(2，)， ( )( )f xg x 恒成立 D存在实数 c，使得 ( )( )g xcf x 任意 x0，)恒成立 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13 26 () c x x 的展开式中常数项是 240，则实数 c 的值为 14有 A，B 两盒完全相同的卡片，每盒 3 张每次等可能的从 A，B 两个盒子中随机取出一 张，当 A 盒卡取完时，B 盒恰好剩 1 张的概率为 15函数 3 ( )(1)3ln(1)fxxx的单调减区间为 16一个班级有 30 名学生，其中 10 名女生，现从中任选 3
8、 名学生当班委，则女生小红当选 的概率为；令 X 表示 3 名班委中女生的人数，则 P(X2) 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17（本小题满分 10 分） 已知复数 2 1 (4)izmm， 2 2cos(3sin)iz(，mR) （1）当 m1 时， 1 z是关于 x 的方程 2x2pxq0 的一个根，求实数 p，q 的值； （2）若 12 zz ，求的取值范围 18（本小题满分 12 分） 某地区 2014 至 2020 年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）如下表： （1）求 y 关于 x 的线性回归方程
9、； （2）根据（1）中的回归方程，分析过去七年该地区生活垃圾无害化处理的变化情况， 并预测该地区 2022 年生活垃圾无害化处理量 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 19（本小题满分 12 分） 为了调查人民群众对物权法的了解程度， 某地民调机构举行了物权法知识竞答， 并在所 有答卷中随机选取了 100 份答卷进行调查，并根据成绩绘制了如图所示的频数分布表 （1） 将对物权法的了解程度分为 “比较了解” （得分不低于 60 分） 和“不太了解”（得 分低于 60 分）两类，完成 22 列联表，并判断是否有 95%的把握认为“群众对物权法的 了解程度”与性别有关？ （2）若用样
10、本频率代替概率，用简单随机抽样的方法从该地抽取 20 名群众进行调查， 其中有 r 名群众对物权法“比较了解”的概率为 P(Xr)(r0，1，2，20)，当 P(Xr) 最大时，求 r 的值 20（本小题满分 12 分） 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧棱 AA1的长 为 2，且A1ABA1AD60 （1）求异面直线 AD1与 A1B 所成角的余弦值； （2）求三棱锥 A1ABD 的体积 21（本小题满分 12 分） 某单位为了丰富职工业余生活，举办象棋比赛（每局比赛可能出现胜、负、平三种结 果）甲、乙两人共进行三局比赛，每局比赛甲赢的概率为
11、 2 3 ，甲输的概率为 q，且三局 比赛均没有出现平局的概率为 125 216 （1）求三场比赛乙至少赢两局的概率； （2）若该单位为每局比赛拿出 1 百元奖金，若分出胜负，奖金归胜方；若平局，两人 平分奖金设甲获得奖金总额与乙获得奖金总额之差为 X（单位：百元），求 X 的分布列 及其数学期望 22（本小题满分 12 分） 已知函数( )cose x fxxax，aR （1）若 ( )f x在(0，)上单调递减，求实数 a 的取值范围； （2）当 a0 时，求证 ( )1f x 在 x( 2 ， 2 )上恒成立 无锡市普通高中 2021 年春学期高二期终教学质量抽测建议卷 数学 20210
12、6 命题单位：宜兴市教师发展中心制卷单位：江阴市教师发展中心 注意事项及说明：本卷考试时间为 120 分钟，全卷满分为 150 分 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1已知复数 z2i，在复平面内 z(1i)对应点的坐标为 A(3，1)B(3，1)C(3，1)D(3，1) 【答案】C 【解析】z(1i)(2i)(1i)3i，故选 C 2一个小球从 5 米的高处自由下落，其运动方程为 2 ( )4.9y tt ，则 t1 秒时小球的瞬时 速度为 A9.8 米/秒B4.9 米/秒
13、C9.8 米/秒D4.9 米/秒 【答案】A 【解析】 ( )9.8y tt ， (1)9.8 y ，故选 A 3随机变量 X 的分布列为 P(Xk) 15 k ，k1，2，3，4，5，则 P(X3) A 1 5 B 1 3 C 1 2 D 2 3 【答案】A 【解析】P(X3)P(X1)P(X2) 1 5，故选 A 4九章算术商功：“斜解立方，得两塹堵，斜解塹堵，其一为阳马，一为鳖臑阳 马居二，鳖臑居一，不易之率也合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣”文中“阳 马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥在阳马 PABCD 中，侧棱 PA 底面 ABCD，且 PA1，ABAD2，则点 A
14、到平面 PBD 的距离为 A 2 3 B 6 3 C 6 2 D 3 3 【答案】B 【解析】设点 A 到平面 PBD 的距离为 h，则四棱锥的体积为： 则 6 3 h 选 B 5若 89 019 (1)(12 )xxaa xa x，xR，则 29 129 222aaa的值为 A 9 2 B 9 21 C 9 3D 9 31 【答案】D 【解析】令 x0，得 0 1x， 令 x2，得 929 129 31222aaa， 所以 29 129 222aaa 9 31 6甲、乙、丙、丁、戊共 5 名同学进行劳动技术比赛，决出第 1 名到第 5 名的名次，已知 甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第 5
15、名，则这 5 个人的名次排列情况共有 A72 种B54 种C36 种D27 种 【答案】B 【解析】 13223 33323 54C AC A A 7已知函数 ( )yf x 的导函数 ( )yfx 的图像如图所示，则下列说法一定正确的是 Ax0，a时， ( )f x的值为常数 Bxa，c时， ( )f x单调递减 Cxd 时， ( )f x取得极小值 Dxc 时， ( )f x取得最小值 【答案】C 【解析】x(c，d)时， ( )fx 0；x(d，e)时， ( )fx 0，所以 xd 时，( ) f x取得极小值 选 C 8现行排球比赛规则为五局三胜制，前四局每局先得 25 分者为胜，第五
16、局先得 15 分者为 胜，并且每赢 1 球得 1 分，每次得分者发球；当出现 24 平或 14 平时，要继续比赛至领 先 2 分才能取胜在一局比赛中，甲队发球赢球的概率为 1 2 ，甲队接发球赢球的概率为 3 5，在比分为 24：24 平且甲队发球的情况下，甲队以 27：25 赢下比赛的概率为 A 1 8 B 3 20 C 3 10 D 7 20 【答案】B 【解析】由比分可知甲需胜 3 局，输 1 局，且甲第四局胜，第 1 局或第 2 局输， 故 131111313 2522225220 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分在每小题给出的四个选项中， 至少有两个
17、是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9下列复数 z 满足“kN，使得 n kn zz 对nN 都成立”的有 AziB 13 i 22 z Cz1iD 22 i 22 z 【答案】ABD 【解析】即求2 1 k ，满足条件的是 ABD 10甲盒中有 3 个红球，2 个白球；乙盒中有 2 个红球，3 个白球先从甲盒中随机取出一 球放入乙盒用事件 A 表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件 B 表示“从甲盒中取 出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件 C 表示“从乙盒中取出的是红球”， 则下列结论正确的是 A事件 B 与事件 C 是互斥事件B事件 A 与事件 C 是独立事件 CP
18、(C) 13 30 DP(C|A) 1 2 【答案】CD 【解析】 1111 3322 1111 5656 13 ( ) 30 CCCC P C CCCC ， ()951 () ( )3032 P AC P C A P A 11老杨每天 17：00 下班回家，通常步行 5 分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有 A， B 两条线路可以选择乘坐线路 A 所需时间（单位：分钟）服从正态分布 N(44，4)， 下车后步行到家要 5 分钟；乘坐线路 B 所需时间（单位：分钟）服从正态分布 N(33， 16)，下车后步行到家要 12 分钟下列说法从统计角度认为合理的是 A若乘坐线路 B，18:00 前一定
19、能到家 B乘坐线路 A 和乘坐线路 B 在 17:58 前到家的可能性一样 C乘坐线路 B 比乘坐线路 A 在 17:54 前到家的可能性更大 D若乘坐线路 A，则在 17:48 前到家的可能性不超过 1% 【答案】BCD 【解析】对于 A，P(B45) 1(2545) 2 PZ 0.0013，故 A 错误； 对于 B，P(B41) 1(2541) 2 PZ (2541)PZ 0.9772， P(A48) 1(2541) 2 PZ (4048)PZ 0.9772，故 B 对； 对于 C，P(B37) 1(2937) 2 PZ (2937)PZ 0.8413，P(A44) 1 2 0.8413，
20、 故 C 对； 对于 D，P(A38) 1(3850) 2 PZ 0.00130.01，故 D 对 12已知曲线( )e (2) x fxxa在点(0，2)处的切线为 l，且 l 与曲线 2 ( )4g xxxb也相 切则 Aab B存在 l 的平行线与曲线 ( )yf x 相切 C任意 x(2，)， ( )( )f xg x 恒成立 D存在实数 c，使得 ( )( )g xcf x 任意 x0，)恒成立 【答案】AC 【解析】由于 ( )f x过(0，2)，将(0，2)代入，求得 a2；对( )f x求导，代入点(0，2)求出( )f x 的斜率为 4， 切线为 y4x2， 由于该切线 l
21、也与 ( )g x相切， 对( )g x求导， 得到( )24gxx ， 令 ( )gx 4，得 x0，则 ( )g x同时过(0，2)代入得到 b2，则 ab2，A 正确； 过一点，仅有一条直线与已知曲线相切，B 错误； ( )e (24) x fxx，( )f x在(2，)单调增， 2 2 ( 2)f e ， 2 ( )(2)2g xx，( )g x在( 2，)上单调增， ( 2)( 2)fg ；在(0，)上， (0)4(0)2fg ，且( )e (24) x fxx 随 x 增大变化较大，当 x 趋近于，则 f 变化的比 g 快，f 与 g 表示的函数 f 更大，因此， 不存在足够大的实
22、数 c，使得 ( )( )g xcf x ，D 错误故 AC 正确 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13 26 () c x x 的展开式中常数项是 240，则实数 c 的值为 【答案】 4 8 【解析】在该式展开的常数项中，由于二次项的项数分别为 2 x与 c x ，只有当 x 的系数为 0 时，该展开项才是常数项，只有 x2这一项为二次方， c x 为四次方时，x 的系数才为 0，此时 常数项为 44 6 240Cc，由于 c 为正实数，所以 c 4 8 14有 A，B 两盒完全相同的卡片，每盒 3 张每次等可能的从 A，
23、B 两个盒子中随机取出一 张，当 A 盒卡取完时，B 盒恰好剩 1 张的概率为 【答案】 3 10 【解析】 224 334 6 6 3 10 C C A A 15函数 3 ( )(1)3ln(1)fxxx的单调减区间为 【答案】(1，2) 【解析】对 ( )f x求导： 因此，极值点为 1 和 2，其中 x1 取不到，x2 可取，根据 ( )fx 的正负画出极值表，减 区间为(1，2) 16一个班级有 30 名学生，其中 10 名女生，现从中任选 3 名学生当班委，则女生小红当选 的概率为；令 X 表示 3 名班委中女生的人数，则 P(X2) 【答案】 1 10 ； 197 203 【解析】
24、（1）设小红当选班委为事件 A，则 P(A) 12 129 3 30 1 10 C C C ； （2）要求 P(X2)，只需要求出 P(X3)，用 1P(X3)求出 P(X2)， 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17（本小题满分 10 分） 已知复数 2 1 (4)izmm， 2 2cos(3sin)iz (，mR) （1）当 m1 时， 1 z是关于 x 的方程 2x2pxq0 的一个根，求实数 p，q 的值； （2）若 12 zz ，求的取值范围 【解析】解：（1）当 m1 时， 1 z13i，则 22 1
25、 ( 13i)86iz ， 由题意可知，2 2 1 zp 1 zq0， 即 2(86i)p(13i)q0， 整理得 qp16(3p12)i0，所以 qp160，3p120， 解得 p4，q20； （2）因为 12 zz ，所以 2 (4)i2 cos(3sin)imm， 所以 2 2cos 43sin m m ，消去 m，整理得4sin23sin， 又 sin1，1，所以7， 9 16 18（本小题满分 12 分） 某地区 2014 至 2020 年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）如下表： （1）求 y 关于 x 的线性回归方程； （2）根据（1）中的回归方程，分析过去七年该地区生活垃圾无害
26、化处理的变化情况， 并预测该地区 2022 年生活垃圾无害化处理量 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 【解析】解：（1）易知， 又，所以， 则， 所以回归方程为； （2）由回归方程可知，过去七年中，生活垃圾无害化处理量每年平均增长 0.5 万吨，当 x 9 时，y4.52.36.8，即 2022 年该地区生活垃圾无害化处理量约为 6.8 万吨 19（本小题满分 12 分） 为了调查人民群众对物权法的了解程度， 某地民调机构举行了物权法知识竞答， 并在所 有答卷中随机选取了 100 份答卷进行调查，并根据成绩绘制了如图所示的频数分布表 （1） 将对物权法的了解程度分为 “比较了
27、解” （得分不低于 60 分） 和“不太了解”（得 分低于 60 分）两类，完成 22 列联表，并判断是否有 95%的把握认为“群众对物权法的 了解程度”与性别有关？ （2）若用样本频率代替概率，用简单随机抽样的方法从该地抽取 20 名群众进行调查， 其中有 r 名群众对物权法“比较了解”的概率为 P(Xr)(r0，1，2，20)，当 P(Xr) 最大时，求 r 的值 【解析】解：（1）22 列联表如下： 不太了解比较了解合计 男性83745 女性223355 合计3070100 则 2 2 100(8 332237)1100 5.8203.841 307045 55189 K ， 所以有 9
28、5%的把握； （2）由（1）可知，随机取一名群众，对物权法比较了解的概率为 7 10 ， 则随机变量 X 满足 XB(20， 7 10 )，所以其期望值 E(X)20 7 10 14， 即 P(Xr)最大时，r14 20（本小题满分 12 分） 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧棱 AA1的长 为 2，且A1ABA1AD60 （1）求异面直线 AD1与 A1B 所成角的余弦值； （2）求三棱锥 A1ABD 的体积 【解析】解：（1）由题意知， 所以， 又，所以， 设 AD1与 A1B 所成角为，则； （2）易知，所以， 作 BD 中点 O，连接
29、 OA，OA1，则 OAOA12， 所以 OA2OA12AA12，即 OAOA1， 又 A1BA1D，所以 OA1BD， 因为 OA，BD平面 ABCD，OABDO，所以 OA1平面 ABCD， 因为，所以 V 21（本小题满分 12 分） 某单位为了丰富职工业余生活，举办象棋比赛（每局比赛可能出现胜、负、平三种结 果）甲、乙两人共进行三局比赛，每局比赛甲赢的概率为 2 3 ，甲输的概率为 q，且三局 比赛均没有出现平局的概率为 125 216 （1）求三场比赛乙至少赢两局的概率； （2）若该单位为每局比赛拿出 1 百元奖金，若分出胜负，奖金归胜方；若平局，两人 平分奖金设甲获得奖金总额与乙获
30、得奖金总额之差为 X（单位：百元），求 X 的分布列 及其数学期望 【解析】解：（1）由题意可知， 解得，即每局乙赢的概率为， 设乙至少赢两局为事件 A，则； （2）易知随机变量 X 的可能取值为 300,，200，100，0，100，200，300， 由（1）可知，每局比赛甲赢的概率为 2 3 ，乙贏的概率为 1 6 ，平局的概率为 1 6 ， 则， ， ， 则分布列如下表： 则数学期望 22（本小题满分 12 分） 已知函数( )cose x fxxax，aR （1）若 ( )f x在(0，)上单调递减，求实数 a 的取值范围； （2）当 a0 时，求证 ( )1f x 在 x( 2 ， 2 )上恒成立 【解析】解：（1）因为， 对恒成立， 所以， 故 所以； （2）由题意知，要证在 x( 2 ， 2 )上，cose1 x x ， 令，则( )sine x hxx ， 显然在 x( 2 ， 2 )上单调减， 所以 所以单调增，单调减， 所以，得证
