1、第二十八讲：正弦定理、余弦定理及其应用 【核心考点】 1、掌握正弦定理、余弦定理解任意三角形的方法； 2、能利用这两个定理解斜三角形及解决有关的实际问题。 【知识梳理】 1 1、基本概念、基本概念 解斜三角形：由三角形六个元素（三条边和三个角）中的三个元素（至少有一个 是边） ，求其余三个未知元素的过程，叫做解斜三角形。 2 2、三角形边角关系、三角形边角关系 （1）三角形三边的关系：三角形任何两边之和第三边； 三角形任何两边之差第三边。 （2）三角形的边角关系：三角形中，大边对；大角对 （3）三角形内角和定理：ABC 3 3、正弦定理与余弦定理（写出数学表达式）、正弦定理与余弦定理（写出数学
2、表达式） （1 1）正弦定理：）正弦定理： （2 2）余弦定理：）余弦定理： 2 a 2 b 2 c cos AcosB cosC 4 4、三角形面积公式、三角形面积公式 ABC S 5 5、常用变角、常用变角 AB； 2 AB ； sin()AB；cos()AB； sin 2 AB ；cos 2 AB ；_ 2 tan BA 【典题分析】 题型一题型一: : 求三角形中的相关元素求三角形中的相关元素 例 1、在ABC中，中，3,2 6,2abBA，求，求 （1）cos A的值（2）c 的值 【方法规律】【方法规律】正弦定理和余弦定理的应用。 【题组练习】【题组练习】 1 2,7,cos, 4
3、 ABCabcBb 1、在中，若则 2、设ABC的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c. 若()()abc abcab，则角 C=_ 3、在ABC中，若 1 3,5,sin, 3 abA则sin B的值是（） A、 1 5 B、 5 9 C、 5 3 D、1 4、在ABC中，若10a , c=7,30A ,则这样的三角形（） A、只有一个B、有两个C、不存在D、无法确定 题型二：判断三角形的形状题型二：判断三角形的形状 例 2、（2013 陕西）设ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 若， coscossinbCcBaA则ABC 的形状为（） A锐角三角形B
4、直角三角形C钝角三角形D不确定 【方法规律】【方法规律】边角互化，等价变形。 【题组练习】 1、在ABC中，若2sincossinABC，则ABC的形状是（） A、直角三角形B、等腰三角形C、等腰直角三角形D、正三角形 2、在ABC中，若 222 sinsinsin,ABC则ABC的形状是（） A、锐角三角形B、直角三角形 C、钝角三角形D、不能确定 题型三：三角形中的三角变换题型三：三角形中的三角变换 例 3 、 在ABC中 ， 内 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 是 a , b ,c. 已 知 2 2,2 ,cos, 4 acA 求： （1）sinC和 b，(2)cos(2
5、) 3 A 的值 【方法规律】【方法规律】利用（1）三角形内角和定理、正定、余定； （2）三角变换。 【题组练习】 （2020 天津 16）在ABC中，角 , ,A B C所对的边分别为, ,a b c已知 2 2,5,13abc （）求角C的大小； （）求sin A的值； （）求sin 2 4 A 的值 题型四：正弦定理、余弦定理的综合应用题型四：正弦定理、余弦定理的综合应用 ,2cos( coscos). (1) 3 3 (2)7,. 2 ABCA B CabcC aBbAc C ABCABC 例4：的内角的对边分别为 ， ， 且 求角的大小； 若c的面积为，求的周长 【方法规律】【方法规
6、律】综合正定、余定、面积公式、周长公式，通过方程解题。 【题组练习】 1、ABC的内角 A、B、C 的对边分别为 a ,b ,c,已知 b=2, 64 BC 则ABC 的面积为（ ）A、2 32B、3 1C、2 32D、3 1 2、两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A在观察站 C 的 北偏东20，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东40，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为（） A、a kmB、2a kmC、2a kmD、3a km 3、在ABC中，A ；B = 1 ：2，C的平分线 CD 把三角形面积分成 3 ：2 两 部分，则cos A为（） A、 1 3 B、 1 2 C、 3 4 D、0 4、（2020全国文18）ABC的内角 ,A B C的对边分别为,a b c 已知150B （1）若3 ,2 7ac b，求ABC的面积； （2）若 sinA+3sinC= 2 2 ，求C A B D C
