1、第一课时第一课时 (直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定) 一、知识回顾一、知识回顾 两条异面直线两条异面直线a a、b b，经过空间任一点，经过空间任一点O分别作直线分别作直线a/aa/a， b/bb/b，我们把直线，我们把直线aa与与bb所成的角所成的角叫做叫做异面直线异面直线a a与与b b所成的角所成的角 ( (或夹角或夹角) ). . 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条 异面直线互相垂直异面直线互相垂直. .直线直线a a与直线与直线b b垂直，记作垂直，记作abab. . 当两条直线当两条直线a a、b b相互平
2、行时，我们规定它们所成的角为相互平行时，我们规定它们所成的角为0 0 . . 所以所以空间两条直线所成角空间两条直线所成角的取值范围是的取值范围是0 0 9090 . . 这样，异面直线所成的角的范围为这样，异面直线所成的角的范围为(0, (0, 2 1.1.异面直线所成的角：异面直线所成的角： 异面直线所成的角是通过平移把异面直线转化为相交直线异面直线所成的角是通过平移把异面直线转化为相交直线. . 2.2.异面直线互相垂直：异面直线互相垂直： 3.3.求两条异面直线所成角的步骤：求两条异面直线所成角的步骤： 选点选点平移平移定角定角计算计算 选选点点常取在两条异面直线中的一条上常取在两条异
3、面直线中的一条上. . 平移平移常常利用三角形的中位线、平行四边形常常利用三角形的中位线、平行四边形. . 在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识. .比如比如 下图中，旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面下图中，旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面 的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象. . 二、二、探究新知探究新知 事实上，随着时间的变化，尽管影事实上，随着时间的变化，尽管影 子子BCBC的位置在不断地变化，但是旗杆的位置在不断地变化，但是旗杆ABAB 所在
4、直线始终与影子所在直线始终与影子BCBC所在直线垂直，所在直线垂直， 也就是说，旗杆也就是说，旗杆ABAB所在直线与地面上任所在直线与地面上任 意意-条过点条过点B B的直线垂直的直线垂直. .对于地面上不对于地面上不 过点过点B B的任意一条直线的任意一条直线BC,BC,总能在地面总能在地面 上找到过点上找到过点B B的一条直线与之平行的一条直线与之平行, ,根据根据 异面直线垂直的定义，可知旗杆异面直线垂直的定义，可知旗杆ABAB所在所在 直线与直线直线与直线BCBC也垂直也垂直. . 因此，旗杆因此，旗杆ABAB 所在直线与地面上任意一条直线都垂直所在直线与地面上任意一条直线都垂直. .
5、 A A B B C C B B C C 如右图如右图, ,在阳光下观察直立于地面的旗杆在阳光下观察直立于地面的旗杆ABAB及它在地面的影子及它在地面的影子 BC. BC. 随着时间的变化随着时间的变化, ,影子影子BCBC的位置在不断地变化，旗杆所在直线的位置在不断地变化，旗杆所在直线 ABAB与其影子与其影子BCBC所在直线是否保持垂直所在直线是否保持垂直? ? 二、二、探究新知探究新知 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. .将这将这 一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面
6、的直线有几条? ?为什么为什么? ? 三、三、直线与平面垂直的概念直线与平面垂直的概念 一般地一般地, ,如果直线如果直线l与平面与平面a a内的内的任意任意一条直线都垂直一条直线都垂直, ,我们就说我们就说 直线直线l与平面与平面互相垂直互相垂直, ,记作记作l, ,直线直线l叫做平面叫做平面的的垂线垂线，平面，平面 叫做直线叫做直线l的的垂面垂面. .直线与平面垂直时直线与平面垂直时, ,它们唯一的公共点叫做它们唯一的公共点叫做垂足垂足. . 画直线与平面垂直时画直线与平面垂直时, ,通常把直线画成与通常把直线画成与 表示平面的平行四边形的一边垂直表示平面的平行四边形的一边垂直( (如右图
7、如右图) ). . ( (线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直) ) 过一点垂直已知平面的直线有且只有一条过一点垂直已知平面的直线有且只有一条 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点过一点作垂直于已知平面的直线，则该点 与垂足间的线段，叫做这个与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线点到该平面的垂线 段段, ,垂线段的长度叫做这个垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离点到该平面的距离. . 在棱锥的体积在棱锥的体积 公式中，棱锥的高公式中，棱锥的高 就是棱锥的顶点到就是棱锥的顶点到 底面的距离底面的距离. . P P l 四、四、直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 下面我们来研究直线与平面垂直的
8、判定下面我们来研究直线与平面垂直的判定, ,即探究直线与平面垂即探究直线与平面垂 直的充分条件直的充分条件. . 根据定义可以进行判断根据定义可以进行判断, ,但无法验证一条直线与一个平面内的但无法验证一条直线与一个平面内的 所有直线都垂直所有直线都垂直. .那么，需要那么，需要验证这条直线与一个平面内的多少条验证这条直线与一个平面内的多少条 直线垂直才最好呢？直线垂直才最好呢？ (2)(2)若一条直线垂直于平面内的两条直线若一条直线垂直于平面内的两条直线, , 则这条直线垂直则这条直线垂直 于这个平面吗？于这个平面吗？ (1)(1)若一条直线垂直于平面内的一条直线，则这条直线垂直若一条直线垂
9、直于平面内的一条直线，则这条直线垂直 于这个平面吗？于这个平面吗？ 如右图如右图, ,一块三角形纸片一块三角形纸片ABC,ABC,过过ABCABC的的 顶点顶点A A翻折纸片翻折纸片. .得到折痕得到折痕ADAD，将翻折后的纸，将翻折后的纸 片竖起放置在桌面上片竖起放置在桌面上(BD(BD、DCDC与桌面接触与桌面接触).). (1)(1)折痕折痕ADAD与桌面垂直吗与桌面垂直吗? ? (2)(2)如何翻折才能使折痕如何翻折才能使折痕ADAD与桌面垂直与桌面垂直? ? A A B BC CD D 容易发现，容易发现，ADAD所在直线与桌面所在平面所在直线与桌面所在平面垂直垂直( (如下图如下图
10、) )的充要的充要 条件是折痕条件是折痕ADAD是是BCBC边上的高边上的高. .这时，由于翻折之后垂直关系不变，这时，由于翻折之后垂直关系不变， 所以直线所以直线ADAD与平面与平面内的两条相交直线内的两条相交直线BDBD、DCDC都垂直都垂直. . A A B BC CD D A A B BD D C C 事实上，由基本事实的推论事实上，由基本事实的推论2 2, ,平面平面可以看成是由两条相交直可以看成是由两条相交直 线线BDBD、DCDC所唯一确定的，所以当直线所唯一确定的，所以当直线ADAD垂直于这两条相交直线时，垂直于这两条相交直线时， 就能保证直线就能保证直线ADAD与与内所有直线
11、都垂直内所有直线都垂直. . 四、四、直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 定理体现了定理体现了“直直 线与平面垂直线与平面垂直”和和 “直线与直线垂直直线与直线垂直” 的互相转化的互相转化. . 直线与平面垂直的直线与平面垂直的判定判定定理：定理： 如果如果一条直线与一条直线与一个平面内的一个平面内的两条相交直线垂两条相交直线垂直直, ,那么该那么该直线直线 与此平面垂直与此平面垂直. . ( (线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直) ) lmm，lnn，mnmnP P，m m，n nl . . 两条相交直线可以确定一个平面两条相交直线可以确定一个平面, ,两条平行直线也可以确定一两条平行直
12、线也可以确定一 个平面个平面, ,那么定理中的那么定理中的“两条相交直线两条相交直线”可以改为可以改为“两条平行直线两条平行直线” 吗吗? ?你能从向量的角度解释原因吗你能从向量的角度解释原因吗? ?如果改为如果改为“无数条直线无数条直线”呢呢? ? 不可以不可以 m m n n P P l 四、四、直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 例例1 1 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面, ,那么那么 另一条直线也垂直于这个平面另一条直线也垂直于这个平面. . 五、五、典型例题典型例题 bm, bn. 已知：已知：如右图，如右图，a
13、/ba/b，aa . . 求证：求证：bb 证明：证明：在平面在平面 内取两条相交直线内取两条相交直线m m、n.n. a am, an b/a， m m n n P P ab 你能用直线与你能用直线与 平面垂直的定义证平面垂直的定义证 明这个结论吗明这个结论吗? ? b . 又又m m ，n n ，m m、n n是相交直线，是相交直线， 五、五、典型例题典型例题 例例2 2 如图，长方体如图，长方体ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1 1D D1 1的底面的底面ABCD ABCD 是正方形，点是正方形，点E E在棱在棱AAAA1 1上，上，BEECBEEC1 1 (1) (1)证明
14、：证明：BEBE平面平面EBEB1 1C C1 1； (2) (2)若若AE=AAE=A1 1E E, ,AB=3AB=3, ,求四棱锥求四棱锥E-BBE-BB1 1C C1 1C C的体积的体积. . 解：解：(1)(1) A AB B C C D D A A1 1 B B1 1 C C1 1D D1 1 E E 由已知得由已知得B B1 1C C1 1平面平面ABBABB1 1A A1 1， BEBBEB1 1C C1 1又又BE BE 平面平面ABBABB1 1A A1 1， 又又BEECBEEC1 1，ECEC1 1BB1 1C C1 1=C=C1 1， EC EC1 1 平面 平面E
15、BEB1 1C C1 1，B B1 1C C1 1 平面 平面EBEB1 1C C1 1 BEBE平面平面EBEB1 1C C1 1 (2)(2) 又由又由(1)(1)知知BEBBEB1 1=90=90 ， 由由长方体长方体ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中AE=AAE=A1 1E E得得 RtRtABERtABERtA A1 1B B1 1E E AEB=AEB=A A1 1EBEB1 1=45=45 AE=AB=3AE=AB=3， BBBB1 1=AA=AA1 1=6.=6. 作作EFBBEFBB1 1，垂足为，垂足为F F， 则则EFEF平面平面BBBB1
16、 1C C1 1C C且且EF=AB=3.EF=AB=3. 所以四棱锥所以四棱锥E-BBE-BB1 1C C1 1C C的体积的体积V=V= 3 3 1 1 3 36 63=3=1818 F F 六、课堂小结六、课堂小结 1.1.直线与平面垂直的概念直线与平面垂直的概念: : 如果直线如果直线l与平面与平面a a内的内的任意任意一条直线都垂直一条直线都垂直, ,我们就说我们就说直线直线l 与平面与平面互相垂直互相垂直, ,记作记作l, ,直线直线l叫做平面叫做平面的的垂线垂线，平面，平面叫做叫做 直线直线l的的垂面垂面. .直线与平面垂直时直线与平面垂直时, ,它们唯一的公共点叫做它们唯一的公
17、共点叫做垂足垂足. . 2.2.过一点垂直已知平面的直线有且只有一条过一点垂直已知平面的直线有且只有一条. . 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段， 叫做这个叫做这个点到该平面的垂线段点到该平面的垂线段, ,垂线段的长度叫做这个垂线段的长度叫做这个点到该平点到该平 面的距离面的距离. . 3.3.直线与平面垂直的直线与平面垂直的判定判定定理：定理： 如果如果一条直线与一条直线与一个平面内的一个平面内的两条相交直线垂两条相交直线垂直直, ,那么该那么该直直 线与此平面垂直线与此平面垂直. . ( (线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直) ) lmm，lnn，mnmnP P，m m，n nl . . m m n n P P l 七、巩固提升七、巩固提升 课堂练习课堂练习: : 第第152152页练习第页练习第2 2、3 3题题 课堂作业课堂作业: : 第第162162页页习题习题8.68.6第第1515、1616、1919题题
