1、第二课时第二课时 (直线与平面所成角直线与平面所成角) 一、知识回顾一、知识回顾 1.1.直线与平面垂直的概念直线与平面垂直的概念: : 如果直线如果直线l与平面与平面a a内的内的任意任意一条直线都垂直一条直线都垂直, ,我们就说我们就说直线直线l 与平面与平面互相垂直互相垂直, ,记作记作l, ,直线直线l叫做平面叫做平面的的垂线垂线，平面，平面叫做叫做 直线直线l的的垂面垂面. .直线与平面垂直时直线与平面垂直时, ,它们唯一的公共点叫做它们唯一的公共点叫做垂足垂足. . 2.2.过一点垂直已知平面的直线有且只有一条过一点垂直已知平面的直线有且只有一条. . 过一点作垂直于已知平面的直线
2、，则该点与垂足间的线段，过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段， 叫做这个叫做这个点到该平面的垂线段点到该平面的垂线段, ,垂线段的长度叫做这个垂线段的长度叫做这个点到该平点到该平 面的距离面的距离. . 3.3.直线与平面垂直的直线与平面垂直的判定判定定理：定理： 如果如果一条直线与一条直线与一个平面内的一个平面内的两条相交直线垂两条相交直线垂直直, ,那么该那么该直直 线与此平面垂直线与此平面垂直. . ( (线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直) ) lmm，lnn，mnmnP P，m m，n nl . . m m n n P P l 二、二、直线与平面所成角直线与平面所成角 过
3、斜线上斜足以外的一点过斜线上斜足以外的一点P P向平面向平面 引垂线引垂线P PO, ,过垂足过垂足O和斜足和斜足A A的直线的直线A AO叫叫 做斜线在这个平面上的做斜线在这个平面上的射影射影，平面的一，平面的一 条斜线和它在平面上的射影所成的角，条斜线和它在平面上的射影所成的角， 叫做这条叫做这条直线和直线和这个这个平面所成的角平面所成的角. . 如果如果ABAB是平面是平面 内的任意一条不与直内的任意一条不与直 线线A AO重合的直线重合的直线, ,那那 么直线么直线PAPA与直线与直线ABAB所所 成的角和直线成的角和直线PAPA与这与这 个平面所成的角的大个平面所成的角的大 小关系是
4、什么小关系是什么? ? 一条直线一条直线l与一个平面与一个平面 相交相交, ,但不与但不与 这个平面垂直这个平面垂直, ,这条直线叫做这个平面的这条直线叫做这个平面的 斜线斜线，斜线和平面的交点，斜线和平面的交点A A叫做叫做斜足斜足. . 1.1.平面的斜线平面的斜线 2.2.直线与平面所成角直线与平面所成角 3.3.直线与平面所成角的范围直线与平面所成角的范围 一条直线垂直于平面，称它们一条直线垂直于平面，称它们 所成的角是所成的角是9090 ；一条直线和平面平行；一条直线和平面平行, , 或在平面内，称它们所成的角是或在平面内，称它们所成的角是0 0 . . 直线与平面所成角直线与平面所
5、成角取值范围是取值范围是 l A A 0 0 9090 . . P P O 例例1 1 如右图，在正方体如右图，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中， 求直线求直线A A1 1B B和平面和平面A A1 1DCBDCB1 1所成的角所成的角. . 三、三、典型例题典型例题 又又BCBC1 1B B1 1C C， 解：解：连接连接BCBC1 1交交B B1 1C C于于O，连接，连接A A1 1O. . A A1 1B B1 1平面平面BCCBCC1 1B B1 1. . BCBC1 1A A1 1B B1 1. . BCBC1 1平面平面A A1 1
6、DCBDCB1 1. . 又又BCBC1 1 平面平面BCCBCC1 1B B1 1， O D D B B C C A A D D1 1C C1 1 B B1 1 A A1 1 正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,由棱柱的概念知由棱柱的概念知 A A1 1B B1 1B B1 1C=C=B B1 1， AA1 1O为斜线为斜线A A1 1B B在平面在平面A A1 1DCBDCB1 1上的射影，上的射影， 则则BABAO为为直线直线A A1 1B B和平面和平面A A1 1DCBDCB1 1所成的角所成的角. . 设正方体的棱长为设正方体的棱
7、长为a a， ，则 则A A1 1B B= a= a，B BO= a.= a.2 2 2 2 2 2 所以在所以在RtRtA A1 1B BO中中A A1 1B B=2=2B BO，则则BABA1 1O=30=30 ， 于是直线于是直线A A1 1B B和平面和平面A A1 1DCBDCB1 1所成的角为所成的角为3030 . . 三、三、典型例题典型例题 例例2 2 如图如图, ,四棱锥四棱锥P-ABCDP-ABCD中中,AD,AD平面平面PDC,ADPDC,AD BC,PDPB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2 BC,PDPB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2. . (1) (
8、1)求异面直线求异面直线APAP与与BCBC所成角的余弦值；所成角的余弦值； (2) (2)求证：求证：PDPD平面平面PBCPBC； (3) (3)求直线求直线ABAB与平面与平面PBCPBC所成角的正弦值所成角的正弦值. . 解：解：(1)(1) A A B BC C D D P P 由由AD/BCAD/BC得得DAPDAP或其补角为异面直线或其补角为异面直线APAP与与BCBC所成的角所成的角. . 因为因为ADAD平面平面PDCPDC，所以所以ADPD.ADPD. 在在RtRtPDAPDA中，中，AP=AP=. .5 5 coscosDAP=DAP= ， 5 5 5 5 异面直线异面直
9、线APAP与与BCBC所成角的余弦值为所成角的余弦值为 . . 5 5 5 5 (2)(2)在在(1)(1)中有中有ADPDADPD，又又AD/BCAD/BC，所以所以PDBC.PDBC. 又又PDPBPDPB，PBBC=BPBBC=B，PBPB、BC BC 平面平面PBCPBC， PDPD平面平面PBC.PBC. (3)(3)过过D D作作DFABDFAB交交BCBC于于F F，连接，连接PF.PF. F F 在在(2)(2)中有中有PDPD平面平面PBCPBC PFDPFD是是直线直线ABAB与平面与平面PBCPBC所成所成的的角角. . ADBCADBC，DFABDFAB，BF=AD=1
10、.BF=AD=1. CF=BC-BF=2.CF=BC-BF=2. ADAD平面平面PDCPDC，ADBCADBC，CFCDCFCD，DF=2DF=2. .5 5 sinsinDAP=DAP= ， 5 5 5 5 直线直线ABAB与平面与平面PBCPBC所成角的正弦值为所成角的正弦值为 . . 5 5 5 5 四、课堂小结四、课堂小结 过斜线上斜足以外的一点过斜线上斜足以外的一点P P向平面向平面 引垂线引垂线P PO, ,过垂足过垂足O和斜足和斜足A A的直线的直线A AO叫叫 做斜线在这个平面上的做斜线在这个平面上的射影射影，平面的一，平面的一 条斜线和它在平面上的射影所成的角，条斜线和它在
11、平面上的射影所成的角， 叫做这条叫做这条直线和直线和这个这个平面所成的角平面所成的角. . 1.1.直线与平面所成角：直线与平面所成角： 2.2.直线与平面所成角的范围：直线与平面所成角的范围： 一条直线垂直于平面，称它们所成的角是一条直线垂直于平面，称它们所成的角是9090 ；一条直；一条直 线和平面平行线和平面平行, ,或在平面内，称它们所成的角是或在平面内，称它们所成的角是0 0 . . 直线与平面所成的角直线与平面所成的角0 0的取值范围是的取值范围是 l A A 0 0 9090 . . P P O 3.3.求直线与平面所成角的步骤：求直线与平面所成角的步骤： 求直线与平面所成角关键是找斜线的射影，其步骤如下：求直线与平面所成角关键是找斜线的射影，其步骤如下： 一作二证三计算一作二证三计算 五、巩固提升五、巩固提升 课堂练习课堂练习: : 第第138138页练习第页练习第1 1、4 4题题 课堂作业课堂作业: : 第第162162页页习题习题8.68.6第第1 1、2 2、1313题题
