1、第三课时第三课时 (直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质) 一、知识回顾一、知识回顾 过斜线上斜足以外的一点过斜线上斜足以外的一点P P向平面向平面 引垂线引垂线P PO, ,过垂足过垂足O和斜足和斜足A A的直线的直线A AO叫叫 做斜线在这个平面上的做斜线在这个平面上的射影射影，平面的一，平面的一 条斜线和它在平面上的射影所成的角，条斜线和它在平面上的射影所成的角， 叫做这条叫做这条直线和直线和这个这个平面所成的角平面所成的角. . 2.2.直线与平面所成角：直线与平面所成角： l A A P P O 1.1.直线与平面垂直的直线与平面垂直的判定判定定理：定理： 如果如果一条直线与一条
2、直线与一个平面内的一个平面内的两条相交直线垂两条相交直线垂直直, ,那么该那么该直直 线与此平面垂直线与此平面垂直. . 3.3.求直线与平面所成角的步骤：求直线与平面所成角的步骤： 求直线与平面所成角关键是找斜线的射影，其步骤如下：求直线与平面所成角关键是找斜线的射影，其步骤如下： 一作二证三计算一作二证三计算 二、二、探究新知探究新知 下面我们研究直线与平面垂直的性质，即探究在直线下面我们研究直线与平面垂直的性质，即探究在直线a a与平面与平面 垂直的条件下能推出哪些结论垂直的条件下能推出哪些结论. . 既然如此，那就只能探究既然如此，那就只能探究a a、与其他直线或平面的关系了与其他直线
3、或平面的关系了. . 我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. .在在 空间中是否有类似的性质呢空间中是否有类似的性质呢? ? (1)(1)如右上左图如右上左图, ,在长方体在长方体ABCD-ABCD- ABCDABCD中中, ,棱棱AAAA、BBBB、 CC CC、 DDDD所在直线都垂直于平面所在直线都垂直于平面ABCD,ABCD,它它 们之间具有什么位置关系们之间具有什么位置关系? ? (2) (2)如右下图，已知直线如右下图，已知直线a a、b b和和 平面平面. .如果如果aa, b, b，那么直线，那么直线a a、 b
4、b一定平行吗一定平行吗? ? a a b b D D B B C C A A DD CC BB AA 平行平行 一定平行一定平行 根据已有经验，可以探究直线根据已有经验，可以探究直线a a与平面内的直线的关系与平面内的直线的关系. . 那当那当aa时，直线时，直线a a与平面与平面内的直线有什么关系呢？内的直线有什么关系呢？ a a与与内的所有直线都垂直内的所有直线都垂直. . 二、二、探究新知探究新知 可以发现，这些直线相互平行，不失一般性，我们以可以发现，这些直线相互平行，不失一般性，我们以(2)(2)为例为例 加以证明加以证明. . 如下图，假设如下图，假设b b与与a a不平行，且不平
5、行，且bb= =O. .显然点显然点O不在直线不在直线a a上，上， 所以点所以点O与直线与直线a a可确定一个平面，在该平面内过点可确定一个平面，在该平面内过点O作直线作直线b/a,b/a, 则直线则直线b b与与bb是相交于点是相交于点O的两条不同直线的两条不同直线, ,所以直线所以直线b b与与bb可确定可确定 平面平面，设，设=c,=c,则则Oc.c.因为因为aa, b, b，所以，所以ac, bc.ac, bc. 又因为又因为b/a,b/a,所以所以bc.bc.这样在平面这样在平面内，经过直线内，经过直线c c上同一点上同一点O 就有两条直线就有两条直线b b、bb与与c c垂直，显
6、然不可能垂直，显然不可能. .因此因此b/a.b/a. 由于无法把两条直线由于无法把两条直线a a、 b b归入到一个平面内归入到一个平面内, ,所以在所以在 定理的证明中，无法应用平定理的证明中，无法应用平 行直线的判定知识，也无法行直线的判定知识，也无法 应用基本事实应用基本事实4.4.在这种情况在这种情况 下我们采用了下我们采用了“反证法反证法”. . a a c c bb b b O 三、三、直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质 直线与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的性质定理: : 垂直于同一个平面的两条直线平行垂直于同一个平面的两条直线平行. . 直线与平面垂直的性质定理告诉我
7、们直线与平面垂直的性质定理告诉我们, ,可以由两条直线与一个可以由两条直线与一个 平面垂直判定这两条直线互相平行平面垂直判定这两条直线互相平行. .直线与平面垂直的性质定理揭直线与平面垂直的性质定理揭 示了示了“平行平行”与与“垂直垂直”之间的内在联系之间的内在联系. . 在在aa的条件下，如果平面的条件下，如果平面外的直线外的直线b b与直线与直线a a垂直，你能得垂直，你能得 到什么结论到什么结论? ?如果平面如果平面与平面与平面平行，你又能得到什么结论平行，你又能得到什么结论? ? 你还能自己提出更多的问题，发现更多的结论吗你还能自己提出更多的问题，发现更多的结论吗? ? a a b b
8、 aa, b, bb/ab/a a ab b a a aa b ba a b b b b aa / aa 例例1 1 已知：已知：如右图，直线如右图，直线l平行于平面平行于平面 . . 求证：求证：直线直线l上各点到平面上各点到平面 的距离相等的距离相等. . 五、五、典型例题典型例题 证明：证明：过过l上任意两点上任意两点A A、B B作平面作平面 的垂的垂 线线AAAA1 1、BBBB1 1，垂足分别为，垂足分别为A A1 1、B B1 1. . l l AAAA1 1 ，BBBB1 1 ， AAAA1 1/BB/BB1 1. . 设直线设直线AAAA1 1、BBBB1 1确定的平面为确定
9、的平面为， =A=A1 1B B1 1. . 所以直线所以直线l上各点到平面上各点到平面 的距离相等的距离相等. . A A A A1 1 B B B B1 1 l/a/a，l/AAAA1 1，四边形四边形AAAA1 1B B1 1B B是矩形是矩形. . AAAA1 1= =BBBB1 1. . 一条直线与一个平面平行时，这条直一条直线与一个平面平行时，这条直 线上任意一点到这个平面的距离，叫做这线上任意一点到这个平面的距离，叫做这 条直线到这个平面的距离条直线到这个平面的距离. .由例由例5 5我们还可我们还可 以进一步得出，以进一步得出，如果两个平面平行，那么如果两个平面平行，那么 其中
10、一个平面内的任意一点到另一个平面其中一个平面内的任意一点到另一个平面 的距离都相等，我们把它叫做这两个平行的距离都相等，我们把它叫做这两个平行 平面间的距离平面间的距离. . 在棱柱、棱台的在棱柱、棱台的 体积公式中，它们的体积公式中，它们的 高就是它们的上、下高就是它们的上、下 底面间的距离底面间的距离. . 例例2 2 已知：已知：如图如图, ,正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中， M M是是ABAB上一点上一点,N,N是是A A1 1C C的中点，的中点， MN MN平面平面A A1 1DC.DC. A AB B C C D D A A1
11、 1 B B1 1 C C1 1 D D1 1 M M N N 证明：证明：在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中， 四边形四边形ADADD D1 1A A1 1是正方形，是正方形， CDCD平面平面ADDADD1 1A A1 1 所以所以ADAD1 1A A1 1D D，ADAD1 1DC.DC. 又又A A1 1D DDC=DDC=D，A A1 1D D、DCDC 平面平面A A1 1DCDC， 所以所以ADAD1 1平面平面A A1 1DC.DC. 又又MNMN平面平面A A1 1DCDC， 所以所以MNADMNAD1 1 求证：求证：M
12、NADMNAD1 1 五、五、典型例题典型例题 例例3 3 如图，在三棱锥如图，在三棱锥P-ABCP-ABC中，中，AB=BC=2 AB=BC=2 ， PA=PB=PC=AC=4 PA=PB=PC=AC=4，O为为ACAC的中点的中点. . (1) (1)证明：证明：P PO平面平面ABCABC； (2)(2)求点求点C C到平面到平面PABPAB的距离的距离. . 2 2 P P A A B B C C O 解：解：(1)(1)PA=PC=AC=4PA=PC=AC=4，O为为ACAC的中点，的中点， P POACAC，P PO=2 .=2 .3 3连接连接OB B AB=BCAB=BC，O为
13、为ACAC的中点，的中点，B BOAC.AC. 由勾股定理得由勾股定理得B BO=2.2. B BO2 2+P+PO2 2=PB=PB2 2，P POBBO. . PPO平面平面ABCABC (2)(2)S S PABPAB= = 2 22 2 ) )2 2( (4 42 22 2 2 2 1 1 ，7 72 2S S ABCABC= = 4. 4. 由由V VC-PAB C-PAB=V =VP-ABC P-ABC得 得设点设点C C到平面到平面PABPAB的距离为的距离为h h， ，3 32 24 4 3 3 1 1 h h7 72 2 3 3 1 1 解得解得h=h= . 7 7 2 21
14、 14 4 所以点所以点C C到平面到平面PABPAB的距离为的距离为 4 42 21 1 . . 7 7 五、五、典型例题典型例题 P P O O 如右图，延长棱台各侧棱交于点如右图，延长棱台各侧棱交于点P P，得到截得，得到截得 棱台的棱锥棱台的棱锥. . 过点过点P P作棱台的下底面的垂线，作棱台的下底面的垂线， 分别与棱台的上、下底面交于点分别与棱台的上、下底面交于点O 、O，则，则 P PO垂直于棱台的上底面垂直于棱台的上底面( (想一想，为什么想一想，为什么?)?)，从而，从而O O=h.=h. 五、五、典型例题典型例题 解：解： 例例4 4 推导棱台的体积公式推导棱台的体积公式
15、， 其中其中SS、S S是棱台上、下底面面积，是棱台上、下底面面积，h h是高是高. . V V棱台 棱台= = 1 1 ( (S S + +S S S S + + S S) )h h 3 3 设截得棱台的棱锥体积为设截得棱台的棱锥体积为V,V,去掉的棱锥体积为去掉的棱锥体积为VV、高为、高为h.h. V= S(h+h)V= S(h+h)， 3 3 1 1 所以所以V V棱台 棱台=V-V= =V-V= Sh= Sh= 3 3 1 1 S(h+h)- S(h+h)- 3 3 1 1 V= Sh.V= Sh. 3 3 1 1 Sh+(S-S)h Sh+(S-S)h 3 3 1 1 由棱台的上、下
16、底面平行，可得棱台上、下底面相似，所以由棱台的上、下底面平行，可得棱台上、下底面相似，所以 ， ) )h h( (h h h h S S S S 2 2 2 2 解得解得h=h=. S SS S h hS S = S= Sh+h+(S-(S-S) =S) = 3 3 1 1 S SS S h hS S 1 1 ( (S S + +S S S S + + S S) )h h 3 3 六、课堂小结六、课堂小结 1.1.直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质: : 2.2.一条直线与一个平面平行时一条直线与一个平面平行时, ,这条直线上任意一点到这个平面这条直线上任意一点到这个平面 的距离，叫做这
17、条直线到这个平面的距离的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. . 如果两个平面平行如果两个平面平行, ,那么其中一个平面内的任意一点到另一个那么其中一个平面内的任意一点到另一个 平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. . 3.3.求点到平面的距离的方法：求点到平面的距离的方法： 定义法定义法 等体积法等体积法 (1)(1)利用定义：利用定义： (2)(2)性质定理：性质定理： 一条直线垂直一个平面，则这条直线就垂直这个一条直线垂直一个平面，则这条直线就垂直这个 平面内的所有直线平面内的所有直线. . 垂直于同一个平面的两条直线平行垂直于同一个平面的两条直线平行. . 七、巩固提升七、巩固提升 课堂练习课堂练习: : 第第155155页练习第页练习第1 1、2 2、3 3、4 4题题 课堂作业课堂作业: : 第第162162页页习题习题8.68.6第第5 5、1414、2020题题
