1、6.4.36.4.3正弦定理正弦定理 讲课人：邢启强 2 余弦定理：余弦定理： 三角形中任何一边的平方，等于其他两三角形中任何一边的平方，等于其他两 边的平方和，减去这两边与其夹角的余边的平方和，减去这两边与其夹角的余 弦的积的两倍弦的积的两倍. . 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 3 余弦定理的推论：余弦定理的推论：学习新知学习新知 讲课人：邢启强 4 回忆一下直角三角形的边角关系回忆一下直角三角形的边角关系?（C为直角）为直角） sin,sin,sin1 abc ABC ccc C c B b A a sinsinsin = 222 cba 90BA sin a A c cos b A
2、c tan a A b . 探究探究3 3：这个关系式对任：这个关系式对任 意三角形均成立吗？意三角形均成立吗？ CB A a b c sin b B c sin1 c C c cos0C cos a B c 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 5 sin AD B c sin AD C b BcCbsinsin A B C c b a D C c B b sinsin B b A a sinsin C c B b A a sinsinsin 同理：同理： 证法一：不妨设证法一：不妨设C C为最大角，为最大角， 若若C C为直角，已证得结论成立；为直角，已证得结论成立； 若若C C为锐角，过为锐
3、角，过A A点作点作ADAD垂直于垂直于BCBC于于D D sinADbCsinADcB 2能否推广到斜三角形？能否推广到斜三角形？ 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 6 若若C为钝角，过为钝角，过A点作点作AD垂直于垂直于BC交交 BC的延长线于的延长线于D，此时也有：，此时也有： sinADbC即 sinsincBbC 同样可得：同样可得： C c B b A a sinsinsin 0 sin(180) AD C b sin AD B c sinADcB即 A C B b c aD 作高法作高法 AbcBacCabS ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 学习新知学习新
4、知 讲课人：邢启强 7 在在RtRtABCABC中，中，CC9090，BCBCa a， ACACb b，ABABc c，则，则sinAsinA，sinBsinB，sinCsinC 分别等于什么？分别等于什么？ C C A A B B a a b b c c 2 si nsi nsi n abc cR ABC = 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 8 在斜三角形中是否成立？ C C A A B B a a b b c D D 2 si nsi nsi n abc R ABC = 2 sinsin cc ADR CD 学习新知学习新知 D D C C A A B B a bc E E R E a
5、A a A a 2 sin)sin(sin 讲课人：邢启强 9 在一个三角形中，各边和它所在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦之比相等对角的正弦之比相等. . 2 si nsi nsi n abc R ABC = 在任意三角形中均有： 正弦定理正弦定理 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 10 , sinsinsinsinsinsin abaccb ABACCB 每个等式中有几个量？每个等式中有几个量？ （1）已知两角及任一边，求其他两边和一角）已知两角及任一边，求其他两边和一角 （2 2）已知两边和其中一边对角，求另一边的）已知两边和其中一边对角，求另一边的 对角（从而进一步求出其他的边和角
6、）对角（从而进一步求出其他的边和角） 探究探究1：正弦定理结构的最大特点是什么？正弦定理结构的最大特点是什么？ 探究探究2：正弦定理里面包含了几个等式？正弦定理里面包含了几个等式？ 探究探究3 3：它可以解决三角形中那些类型的问题？它可以解决三角形中那些类型的问题？ 正弦定理：正弦定理： 2 sinsinsin abc R ABC 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 11 例例1、 在在ABC中，已知中，已知A=45， B=60，a=42cm，解三角形，解三角形. 题型一已知两角一边，求其它元素. 步骤：1、求第三角 2、求另两边 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 12 sin sin cB b
7、 C 在在ABC中，已知中，已知10cA=45 C=30 ,求求b 00000 105)3045(180)(180CAB解解: sinsin bc BC 由正弦定理由正弦定理 得得: 0 0 10sin105 sin30 562 562b 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 13 例例2、 在在ABC中，已知中，已知a=2cm， c= cm，A=45，解三角形，解三角形. 6 题型二已知两边及其中一边的对角,求其它元素. 步骤：1、求另一边对角2、求第三角3、求第三边 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 14 在在ABC中中, ,已知a=16, b= ， A=30，求角B,C和边c. 解：由正弦定
8、理 B b A a sinsin 得 2 3 16 30sin316sin sin a Ab B 所以60, 或120 当 时60C=90.32c C=30 .16 sin sin A Ca c 316 当120时 B 16 300 A B C 16 316 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 15 例例3、 在在ABC中中,已知已知b= cm， c=1cm，B=60，解三角形，解三角形. 3 典型例题典型例题 题型二已知两边及其中一边的对角,求其它元素. 讲课人：邢启强 16 已知两边和其中一边对角已知两边和其中一边对角( (已知已知a,ba,b和角和角A)A) 解斜三角形有两解或一解（见图示
9、）或无解解斜三角形有两解或一解（见图示）或无解 C C C C ABAAABB b a b b b a aaa 1 B 2 B a=bsinA 一解 bsinAab 一解 a=b 一解 absinA 无解 ba C AB 知识小结知识小结 讲课人：邢启强 17 知识小结知识小结 讲课人：邢启强 18 . . . . . 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 19 13,30 ,6 23,30 ,12 33,60 ,3 42 3,30 ,6 o o o o bBc bBc bBc bBc 、，解此三角形 、，解此三角形 、，解此三角形 、，解此三角形 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 20 例题讲解
10、例题讲解 例例4 在在ABC中，中， ， 求求ABC的面积的面积S )13(2,60,45 aCB BacCabsin 2 1 sin 2 1 Abcsin 2 1 h A BC aABC ahS 2 1 三角形面积公式三角形面积公式 解：解： 75)(180CBA 由正弦定理得由正弦定理得 4 4 26 ) 2 2 )(13(2 sin sin A Ba b 326) 2 3 (4)13(2 2 1 sin 2 1 CabS ABC 讲课人：邢启强 21 例例5.5.在任一在任一ABCABC中，求证：中，求证： 0)sin(sin)sin(sin)sin(sin BAcACbCBa 证明：由
11、于正弦定理：令证明：由于正弦定理：令 2sin,2sin,2sinaRA BRB cRC 代入左边得：代入左边得： 等式成立等式成立 左边左边 )sinsinsinsinsinsinBCACAB 2 (sinsinsinsinsinsinRABACBC =右边右边0 例题讲解例题讲解 讲课人：邢启强 22 练习练习 C 2在在ABC中中,若若a18,b24,A45,则此三角形有则此三角形有( ) A.无解无解 B.两解两解 C.一解一解 D.解的个数不确定解的个数不确定 B B 讲课人：邢启强 23 例题讲解例题讲解 讲课人：邢启强 24 例题讲解例题讲解 分析:由2B=A+C 可得B=60.
12、 讲课人：邢启强 25 练习练习 讲课人：邢启强 26 2.2.正弦定理的外在形式是公式，正弦定理的外在形式是公式， 它由三个等式组成即它由三个等式组成即 ， ， 每个等式都表示三角形的两个角每个等式都表示三角形的两个角 和它们的对边的关系和它们的对边的关系. . si nsi n ab AB = sinsin bc BC = sinsin ac AC = 1.1.三角形的三个内角及其对边叫做三角形的三个内角及其对边叫做 三角形的元素，已知三角形的几个三角形的元素，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角元素求其他元素的过程叫做解三角 形形. . 课堂小结课堂小结 讲课人：邢启强 27
13、 3.3.利用正弦定理可以解决两类解三利用正弦定理可以解决两类解三 角形的问题：一类是已知两角和一角形的问题：一类是已知两角和一 边解三角形；另一类是已知两边和边解三角形；另一类是已知两边和 其中一边的对角解三角形其中一边的对角解三角形. .对于第对于第 二类问题，要注意确定解的个数二类问题，要注意确定解的个数. . 课堂小结 讲课人：邢启强 28 回顾小结回顾小结 (2)(2)作高法证明正弦定理作高法证明正弦定理. . 一个定理一个定理 sinsinsin abc ABC 两类应用两类应用 （1）已知两角及任一边，求其他两边和一角）已知两角及任一边，求其他两边和一角 （2 2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角 三种方法三种方法(1)(1)从特殊到一般的方法从特殊到一般的方法 这种方法是人们认识客观世界的一种重要的这种方法是人们认识客观世界的一种重要的 方法，也是数学发现的重要方法之一，我们方法，也是数学发现的重要方法之一，我们 要逐步学会并善于运用这种方法去探索数学要逐步学会并善于运用这种方法去探索数学 问题，提高我们的创造能力问题，提高我们的创造能力. . (3)(3)外接圆证明正弦定理外接圆证明正弦定理 正弦定理正弦定理 （从而进一步求出其他的边和角）（从而进一步求出其他的边和角）
