1、10.2事件的相互事件的相互 独立性独立性 讲课人：邢启强 2 什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？ 两个互斥事件两个互斥事件A A、B B有一个发生的概率公有一个发生的概率公 式是什么？式是什么？ 若若A与与为对立事件，则为对立事件，则P(A)与与P()关系关系 如何？如何？ 不可能同时发生的两个事件不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；叫做互斥事件； 如果两个互斥事件有一个如果两个互斥事件有一个不不发生时另一个必发生时另一个必 发生，发生，这样的两个互斥事件叫对立事件这样的两个互斥事件叫对立事件. P(A+B)=P(A)+(B) P(A)+P()=1 复习
2、引入复习引入 讲课人：邢启强 3 复习引入复习引入 由性质5可得,对于任意事件A,因为 A 所以 0 P(A) 1. 讲课人：邢启强 4 复习引入复习引入古典概型古典概型 (1) 试验中所有可能出现的样本点只有有限个；试验中所有可能出现的样本点只有有限个； (2) 每个样本点出现的可能性相等每个样本点出现的可能性相等 我们将具有这两个特点的概率模型称为古我们将具有这两个特点的概率模型称为古 典概率模型，简称古典概型典概率模型，简称古典概型 一般地，设试验E是古典概型，样本空间包含n个 样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件 A的概率 其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含
3、的样本点个数. ( ) ( ) () kn A P A nn 讲课人：邢启强 5 新课引入新课引入 思考1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面 朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”. 事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？ 分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？ 用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”， 则样本空间为=(1,1),(1,0),(0,1),(0,0),包含4个等可能的 样本点.而A=(1,1),(1,0),B=(1,0),(0,0),所以AB=(1,0). 因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二 枚硬币的抛掷结果互相不
4、受影响，所以事件A发生与否 不影响事件B发生的概率 由古典概型概率计算公式，得P(A)=P(B)=0.5, P(AB)=0.25. 于是P(AB)=P(A)P(B). 积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积. 讲课人：邢启强 6 新课引入新课引入 思考2:一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没 有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第 一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”. 事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？ 分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？ 对于试验2,因为是有放回摸球，第
5、一次摸球的结果与第二次 摸球的结果互相不受景响，所以事件A发生与否也不影响事 件B发生的概率. 样本空间=(m,n)|m,n1,2,3,4包含16个等可能的样本点. 而A=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4), B=(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2), AB=(1,1),(1,2),(2,1),(2,2), 11 ( )( ), () 24 P AP BP AB所以 于是也有P(AB)=P(A)P(B). 积事件AB的概率P(AB)也等于P(A),P(B)的乘积. 讲课人：邢启
6、强 7 相互独立事件的定义相互独立事件的定义: : 设设A,B两个事件两个事件,如果事件如果事件A是否发生对事件是否发生对事件B发生发生 的概率没有影响的概率没有影响(即即P(AB)=P(A)P(B), 则称事件则称事件A与与 事件事件B相互独立相互独立.简称简称独立独立. 显然显然: (1)必然事件必然事件 及不可能事件及不可能事件与任何事件与任何事件A相互独立相互独立. ；与与 BA A B与与 ； .BA 与与 (2)若事件若事件A与与B相互独立相互独立, 则以下三对事件也相互独立则以下三对事件也相互独立: 例如证例如证 BAABBBAAA )( )()()(BAPABPAP ()( )
7、()( )( ) ( ) ( ) 1( )( ) ( ) P ABP AP ABP AP A P B P AP BP A P B 学习新知学习新知 ABAB而且与互斥,所以 讲课人：邢启强 8 注：注：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念互斥事件和相互独立事件是两个不同概念: 两个事件互斥两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生是指这两个事件不可能同时发生; 两个事件相互独立两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对是指一个事件的发生与否对 另一个事件发生的概率没有影响。另一个事件发生的概率没有影响。 相互独立事件的判断方法相互独立事件的判断方法 2.直接法：由事件本身的性质直接判断直接法：由事
8、件本身的性质直接判断 两个事件的发生是否相互影响。两个事件的发生是否相互影响。 1.定义法：定义法：P(AB)=P(A)P(B) 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 9 例1.一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球， 除标号外没有其他差异，采用不放回方式从中 任意摸球两次，设事件A=“第一次摸出球的标号 小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”， 那么事件A与事件B是否相互独立？ 解：因为样本空间=(m,n)|m,n1,2,3,4,且mn, 共有12个样本点 A=(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4), B=(1,2),(2,1),(3,1),(3,2
9、),(4,1),(4,2), AB=(1,2),(2,1) 所以 典型例题典型例题 此时P(AB)P(A)P(B),因此，事件A与事件B不独立. 611 ( )( ), () 1226 P AP BP AB 讲课人：邢启强 10 练习练习1.1.判断下列事件是否为相互独立事件判断下列事件是否为相互独立事件. . 篮球比赛的篮球比赛的“罚球两次罚球两次”中，中， 事件事件A A：第一次罚球，球进了：第一次罚球，球进了. . 事件事件B B：第二次罚球，球进了：第二次罚球，球进了. . 袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球. . 事件事件A A：第一
10、次从中任取一个球是白球：第一次从中任取一个球是白球. . 事件事件B B：第二次从中任取一个球是白球：第二次从中任取一个球是白球. . 袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球. . 事件事件A A：第一次从中任取一个球是白球：第一次从中任取一个球是白球. . 事件事件B B：第二次从中任取一个球是白球：第二次从中任取一个球是白球. . 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 11 巩固练习巩固练习 A 讲课人：邢启强 12 典型例题典型例题 例2甲、乙两名射击运动员进行射击比赛， 甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,求 下列事件的概率： (1)两
11、人都中靶； (2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶. 分析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，从要求的 概率可知，需要先分别求A,B的对立事件A,B的概 率，并利用A,B,A,B构建相应的事件。 讲课人：邢启强 13 典型例题典型例题 (1)AB=“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得 P(AB)=P(A)P(B)=0.80.9=0.72 解：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则 =“甲脱靶”， =“乙脱 靶”，由于两个人射击的结果互不影响，所以A与B相互独立，A 与 , 与B, 与 都相互独立 由已知可得， P(A)=0.8,P(B)=0.9,P( )=0.2,P(
12、 )=0.1 A B A A B B AB 方法2.由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都 脱靶”，根据对立事件的性质，得事件“至少有一人中把” 的概率为1-P( )=1-0.02=0.98.BA (3)事件“两人都脱靶”= ,所以P( )=P( )P( )=0.20.1=0.02 AB AB AB (2)“恰好有一人中靶”=A B,且A 与 B互斥,根据概率的加法公式 和事件独立性定义，得P(A B)=P(A )+P( B) =P(A)P( )+P( )P(B)=0.80.1+0.20.9=0.26 AA A A BB B BBA (4)方法1:事件“至少有一人中靶”=ABA B,且
13、AB,A 与 B两 两互斥，所以P(ABA B)=P(AB)+P(A )+P( B)=0.98. BBAA ABAB 讲课人：邢启强 14 典型例题典型例题 例3 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲， 乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为0.75，乙每轮猜对的 概率为2/3.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果 也互不影响,求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率 分析：两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜 对2个”、事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生， 解：设A1,A2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B1,B2分 别表示乙两轮猜对1个
14、，2个成语的事件，根据独立性假定，得 2 12 31339 ()2, ()( ) 448416 P AP A 2 12 21424 ()2, ()( ) 33939 P BP B 设A=“两轮活动星队猜对3个成语”，则A=A1B2A2B1,且A1B2 与A2B1互斥，A1与B2,A2与B1分别相互独立，所以 P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1) 34945 8916912 因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是 5 12 讲课人：邢启强 15 例例4.甲甲, 乙两人同时向敌人炮击乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中已知甲击中 敌机的概率为敌机
15、的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为乙击中敌机的概率为0.5, 求敌机被击中的概率求敌机被击中的概率. 解解设设 A= 甲击中敌机甲击中敌机 ,B= 乙击中敌机 乙击中敌机 ,C=敌机被击中 敌机被击中 .BAC 则则依题设依题设, 5 . 0)(, 6 . 0)( BPAP 由于由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中 敌机的可能性，所以敌机的可能性，所以 A与与B独立独立, ,进而进而.独独立立与与 BA BAC BA )(1)(CPCP )()(1BPAP )(1)(11BPAP )5 . 01)(6 . 01(1 = 0.8 典型例题典型例
16、题 讲课人：邢启强 16 注注1 1：用数学符号语言表示下列关系：用数学符号语言表示下列关系： 若若A A、B B、C C为相互独立事件，则为相互独立事件，则 A A、B B、C C同时发生；同时发生； A A、B B、C C都不发生；都不发生； A A、B B、C C中恰有一个发生；中恰有一个发生； A A、B B、C C中至少有一个发生的概率中至少有一个发生的概率； A A、B B、C C中至多有一个发生中至多有一个发生. . 注注: :(1)(1)若事件若事件 A1 1，A2 2 ， ， ，A An 中任意两个事件相互中任意两个事件相互 独立，独立， 则称事件则称事件 A1 1，A2 2
17、 ， ， ，An 两两相互独立两两相互独立. . (2)设设 A1，A2 ， ，An为为n 个事件个事件，若对于任意若对于任意k(1kn), 及及 1i 1 i 2 i kn 1212 ()() ()() kk iiiiii P A AAP A P AP A 有有 则称事件则称事件 A1 1，A2 2 ， ， ，An 相互独立相互独立. . ABC 学习新知学习新知 1()P A B C A B C A B CA B CA B C A B CA B CA B CA B C 讲课人：邢启强 17 n AAA, 21 则则“ 至少有一个发生至少有一个发生”的概率为的概率为 P(A1 An) =1-
18、 (1-p1 ) (1-pn ) )()()(1 21n APAPAP , 1n pp n AAA, 21 注注2.2.若设若设n个独立事件个独立事件发生的概率发生的概率 分别为分别为 类似可以得出：类似可以得出： n AAA, 21 至少有一个不发生至少有一个不发生”的概率为的概率为“ )( n AAAP 21 =1- - p1 pn 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 18 练习练习1、若甲以若甲以10发发8中，乙以中，乙以10发发7中的命中率打靶，中的命中率打靶， 两人各射击一次，则他们都中靶的概率是两人各射击一次，则他们都中靶的概率是( ) (A)(B) (D)(C) 5 5 3 3 4
19、 4 3 3 2 25 5 1 12 2 2 25 5 1 14 4 练习练习2.某产品的制作需三道工序，设这三道工序出某产品的制作需三道工序，设这三道工序出 现次品的概率分别是现次品的概率分别是P1,P2,P3。假设三道工序互不影。假设三道工序互不影 响，则制作出来的产品是正品的概率响，则制作出来的产品是正品的概率 是是 。 D (1P1) (1P2) (1P3) 练习练习3.甲、乙两人独立地解同一问题甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个甲解决这个 问题的概率是问题的概率是P1, ，乙解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是P2， 那么其中至少有那么其中至少有1人解决这个问题的概率是多
20、少？人解决这个问题的概率是多少？ P1 (1P2) +(1P1)P2+P1P2=P1 + P2 P1P2 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 19 已知诸葛亮解出问题的概率为已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,0.8,臭皮匠老大臭皮匠老大 解出问题的概率为解出问题的概率为0.5,0.5,老二为老二为0.45,0.45,老三为老三为0.4,0.4, 且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少 有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较， 谁大？谁大？ 1()10.5 0.55 0.60.835P A B C 0.8()P D
21、略解略解: : 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为 所以所以，合三个臭皮匠之力就解出的概率大过，合三个臭皮匠之力就解出的概率大过诸葛亮诸葛亮. . 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 20 例例5 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品 可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分 别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖 活动的中奖概率都是活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概，求两次抽奖中以下事件
22、的概 率：率： (1)(1)都抽到某一指定号码都抽到某一指定号码; ; 解解: （1）记）记“第一次抽奖抽到某一指定号码第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件为事件A， “第二次抽奖抽到某一指定号码第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件为事件B，则，则“两次两次 抽奖都抽到某一指定号码抽奖都抽到某一指定号码”就是事件就是事件AB.由于两次抽奖由于两次抽奖 结果互不影响，因此结果互不影响，因此A与与B相互独立相互独立.于是由独立性可得，于是由独立性可得， 两次抽奖都抽到某一指定号码的概率两次抽奖都抽到某一指定号码的概率 )( )()(BPAPABP0025. 005. 005. 0 典型例题典型例题 讲
23、课人：邢启强 21 例例5 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品 可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分 别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖 活动的中奖概率都是活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概，求两次抽奖中以下事件的概 率：率： (2)(2)恰有一次抽到某一指定号码恰有一次抽到某一指定号码; ; 的定义，所求的概率为 式和相互独立事件互斥，根据概率加法公 与表示。由于事件可以用 抽到某一指定号码”）“两次抽奖恰有
24、一次（ BABABABA)()( 2 )()()( )()()(BPAPBPAPBAPBAP 095. 005. 0)05. 01 ()05. 01 (05. 0 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 22 例例5 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商 品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以 分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑 奖活动的中奖概率都是奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的，求两次抽奖中以下事件的 概率：概率： (
25、3)(3)至少有一次抽到某一指定号码至少有一次抽到某一指定号码; ; 的概率为独立事件的定义，所求 法公式和相互两量互斥，根据概率加和 表示。由于事件可以用 ”一次抽到某一指定号码）“两次抽奖恰至少有（ BABA ABBABAAB,)()()( 2 )()()(BAPBAPABP0975. 0095. 00025. 0 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 23 J C J B J A 思考思考3.3. 如图如图, ,在一段线路中并联着在一段线路中并联着3 3个自动控制的常开个自动控制的常开 开关，只要其中有开关，只要其中有1 1个开关能够闭合，线路就能正常工个开关能够闭合，线路就能正常工 作作.
26、 .假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.70.7， 计算在这段时间内线路正常工作的概率计算在这段时间内线路正常工作的概率. . 解：解：分别记这段时间内开关分别记这段时间内开关J JA A,J,JB B,J,JC C能够能够 闭合为事件闭合为事件A A，B B，C.C.由题意，这段时间内由题意，这段时间内 3 3个开关是否能够闭合相互之间没有影响个开关是否能够闭合相互之间没有影响, , 根据相互独立事件的概率乘法公式，这段根据相互独立事件的概率乘法公式，这段 时间内时间内3 3个开关都不能闭合的概率是个开关都不能闭合的概率是 ()( )( )
27、( ) 1( )( )( ) (10.7) (10.7) (10.7)0.027 11 A B CABC ABC PPPP PPP 这段时间内至少有这段时间内至少有1 1个开关能够闭合，从而使线路能个开关能够闭合，从而使线路能 正常工作的概率是正常工作的概率是 1()1 0.0270.973PP A B C 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 24 互斥事件互斥事件相互独立事件相互独立事件 定义定义 概率公式概率公式 (1)列表比较列表比较 不可能同时发不可能同时发 生的两个事件生的两个事件 事件事件A是否发生对事件是否发生对事件B 发生的概率没有影响发生的概率没有影响 P(A+B)=P(A)+P(B) ()()()P A BP AP B (2)(2)解决概率问题的一个关键：分解复杂解决概率问题的一个关键：分解复杂 问题为基本的互斥事件与相互独立事件问题为基本的互斥事件与相互独立事件. . 课堂小结课堂小结
