1、立体几何习题课1 讲课人：邢启强 2 简单几何体 旋转体多面体 球圆 柱 圆 锥 圆 台 棱 柱 棱 锥 棱 台 由简单几何体组合而成的几何体叫简单 组合体。 讲课人：邢启强 3 1.直观图的还原与计算 斜二测画法画平面图形的直观图的步骤： 、画轴 、定点 、连线： 讲课人：邢启强 4 讲课人：邢启强 5 讲课人：邢启强 6 例2(1)右图是水平放置的某个三角形的直观图,D是ABC中 BC边的中点,且ADy轴,AB,AD,AC三条线段对应原图形中的 线段AB,AD,AC,那么() A.最长的是AB,最短的是AC B.最长的是AC,最短的是AB C.最长的是AB,最短的是AD D.最长的是AD,
2、最短的是AC (2)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所 示的一个正方形,则原来的图形是() 讲课人：邢启强 7 2、空间几何体的表面积和体积 讲课人：邢启强 8 圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台 侧面侧面 展开展开 图图 侧面侧面 积公积公 式式 S圆柱侧 圆柱侧 _ S圆锥侧 圆锥侧 _ S圆台侧 圆台侧 _ 2rlrl (rr)l 名称棱柱棱锥棱台 侧面展 开图 矩形 讲课人：邢启强 9 名称名称 几何体几何体 表面积表面积体积体积 柱柱体体 (棱柱和圆柱棱柱和圆柱) S表面积 表面积 S侧 侧 2S底 底 V_ 锥锥体体 (棱锥和圆锥棱锥和圆锥) S表面积 表面积 S侧 侧 S
3、底 底 V_ 台台体体 (棱台和圆台棱台和圆台) S表面积 表面积 S侧 侧 S上 上 S下 下 球球S_V_ Sh 4R2 讲课人：邢启强 10 讲课人：邢启强 11 讲课人：邢启强 12 讲课人：邢启强 13 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， PA平面ABCD，APAB，BPBC2，E，F分 别是PB，PC的中点 (1)证明：EF平面PAD； (2)求三棱锥E-ABC的体积V. 讲课人：邢启强 14 讲课人：邢启强 15 讲课人：邢启强 16 审题视点 用分割的方法或等积变换 均可以求解 讲课人：邢启强 17 讲课人：邢启强 18 例3 有一根木料，形状为直三棱柱形，高为
4、6 cm， 横截面三角形的三边长分别为3 cm、4 cm、5 cm， 将其削成一个圆柱形积木，求该木料被削去部分 体积的最小值 解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直 三棱柱的底面三角形的内切圆时， 圆柱的体积最大，削去部分体积才能最小， 设此时圆柱的底面半径为R， 圆柱的高即为直三棱柱的高 讲课人：邢启强 19 a+b-c=2R 讲课人：邢启强 20 讲课人：邢启强 21 例5 如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕 AB旋转一周所形成的几何体的体积 讲课人：邢启强 22 思考求旋转体的体积的关键是什么? 讲课人：邢启强 23 正方体的内切、外接、棱切球；正方体的内切、外接、棱切球； 长方体
5、外接球； 正四面体的外接球、内切球； 四棱锥的外接球； 直三棱柱的外接球、内切球； 正三棱柱的内切球正三棱柱的内切球 球与多面体的切、接问题(高频考点) 讲课人：邢启强 24 正方体的内切球直径a 正方体的外接球直径 与正方体所有棱相切的球直径 a3 a2 若长方体的长、宽、高分别为为a，b,c， 则长方体的外接球直径 讲课人：邢启强 25 直三棱柱的外接球 2 2 12 1 2 OO RO B 正三棱柱的底面边长为a，侧棱长为b 则该正三棱柱的外接球半径 2 2 2 1 3 3 baR 讲课人：邢启强 26 若正四面体的棱长为a， 则该正四面体的内切球半径 则该正四面体的外接球半径 正四面体
6、的外接球与内切球的半径之比为3 1 aR 12 6 aR 4 6 讲课人：邢启强 27 讲课人：邢启强 28 讲课人：邢启强 29 讲课人：邢启强 30 讲课人：邢启强 31 讲课人：邢启强 32 讲课人：邢启强 33 C 讲课人：邢启强 34 对点训练对点训练3(1)已知A,B是球O的球面上两点,AOB=90,C为该球 面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为 () A.36B.64C.144D.256 (2)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若 ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是() (3)(2016江西九江一模)已知
7、矩形ABCD的顶点都在半径为2的球 O的球面上,且AB=3,BC= ,过点D作DE垂直于平面ABCD,交球O 于E,则棱锥E-ABCD的体积为. 3 讲课人：邢启强 35 讲课人：邢启强 36 3、空间角 讲课人：邢启强 37 定义 前提两条异面直线a，b 作法经过空间任一点O作直线aa，bb 结论 我们把a与b所成的 叫做异面直线a与b 所成的角(或夹角) 范围记异面直线a与b所成的角为，则_ 特殊情况当_时，a与b互相垂直，记作_ 锐角(或直角) 090 90ab 1、异面直线所成的角、异面直线所成的角 讲课人：邢启强 38 求异面直线所成的角的步骤：求异面直线所成的角的步骤： 作图：作出
8、异面直线所成的角（平移异面直线中的一条或两条）； 证明：证明作出的角就是所求异面直线所成的角或其补角； 计算：求该角的值，常利用解三角形； 取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 2 0 ， 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”： 1、利用图中已有的平行线平移； 2、利用特殊点(线段的端点或中点) 作平行线平移；（常用） 3、补形平移 讲课人：邢启强 39 正方体ABCD- A1B1C1D1中,体对角线与和它不 共点的面对角线所成的角度是： A1 B1 C1 D1 AB C D O 900 正 方 体 A B C D - A1B1C1D1中,AC、BD交 于O,则OB1与A1C1所成 的角的度
9、数为900 讲课人：邢启强 40 C 讲课人：邢启强 41 例1已知空间四边形ABCD对角线AC=BD=14，M、N分 别为AB、CD中点，且MN= ，求异面直线AC、BD 所成的角. 7 3 B C D N o A M 解解：取取ADAD中中点点为为O O，连连接接MOMO、NONO， 由由中中位位线线定定理理知知，MO BDMO BD，NO AC,NO AC, 则MON(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的 角. 在MON中, MO=NO=7,MN= 7 3 由余弦定理得 cos 2 222222 MO +NO -MNMO +NO -MN MON=MON= MO NOMO NO 120
10、则则MON=MON=， 即异面直线AC与BD所成的角为60. 1 2 讲课人：邢启强 42 例2 如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA底面ABCD，OA2， M为OA的中点 (1)求四棱锥的体积； (2)求异面直线OC与MD所成 角的正切值的大小 3(6) 讲课人：邢启强 43 例2 如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA底面ABCD，OA2， M为OA的中点 (1)求四棱锥的体积； (2)求异面直线OC与MD所成 角的正切值的大小 3(6) 讲课人：邢启强 44 讲课人：邢启强 45 有关概念对应图形 斜线与平面 ，但不和平面 ，图中
11、_ 斜足斜线和平面的 ，图中_ 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引 ，过_ _和 的直线叫做斜线在这个平面上的射 影，图中斜线PA在平面上的射影为_ 相交垂直直线PA 垂线 斜足 垂 足 直线AO 交点点A 2 2、直线与平面所成的角、直线与平面所成的角 直线与平面 所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角， 图中_ 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ；一条 直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是_ 取值范围设直线与平面所成的角为，_ PAO 90 0 090 讲课人：邢启强 46 求线面角的常用方法：求线面角的常用方法： (1)直接法(一作(或找)二证(或说)
12、三计算). (2)转移法(找过点与面平行的线或面). (3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法). 一作：找出射影，做出角；一作：找出射影，做出角； 二证：证明作出的角即为所求角；二证：证明作出的角即为所求角； 三计算；在（直角）三角形中求角三计算；在（直角）三角形中求角. 讲课人：邢启强 47 例3 讲课人：邢启强 48 讲课人：邢启强 49 例4 讲课人：邢启强 50 讲课人：邢启强 51 训练题 讲课人：邢启强 52 讲课人：邢启强 53 (1)定义：从一条直线出发的 所组成的图形. (2)相关概念：这条直线叫做二面角的 ，两个半平面叫做二面角 的 . (3)画法： 两个半平面 棱 面
13、3 3、二面角、二面角 (4)记法：二面角 或 或 或PABQ. (5)二面角的平面角：若有O l；OA ，OB ；OA l， OB l，则二面角l的平面角是 . lABPlQ AOB （6）范围： 1800 讲课人：邢启强 54 求二面角大小的步骤 简称为“一作二证三计算”. 讲课人：邢启强 55 热身训练题 讲课人：邢启强 56 例5 讲课人：邢启强 57 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，侧 面 是正三角形，侧面 底面 ， 是 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求侧面 与底面 所成二面角的余弦值. ABCDP ABCD PADPADABCDMPD AMPCD PBCABCD 例6
14、 P A B C D M 讲课人：邢启强 58 P A B C DE F 解：取 中点分别为 ，连接 则 ADEFCDEF,/ 又 为正三角形PAD 则ADPE 又EPEEF AD平面PEFPFAD 又 为正方形,则 ABCDBCAD/ BCPF 又BCEF PFE 是侧面 与底面 所成二面角的平面角PBCABCD EF平面PAD又 平面 PEPAD PEEF 则 aPFaPEaEF7,3,2 7 72 cos PF EF PFE 即侧面 与底面 所成二面角的余弦值为PBCABCD 7 72 PFPEEF,BCAD,FE, PAD CDEF /由（1）知 平面 又CD 设正方形 的边长 ，ABCDaAD2 7 72
