1、复数的四则运算复数的四则运算 讲课人：邢启强 2 已知两复数已知两复数z z1 1=a+bi=a+bi，z z2 2=c+di=c+di ( (a a，b b，c c，dRdR) ) ( (a+bia+bi) )( (c+dic+di) ) =_. =_. 对任意对任意z z1 1，z z2 2，z z3 3CC z z1 1+z+z2 2=z=z2 2+z+z1 1, , ( (z z1 1+z+z2 2) )+z+z3 3=z=z1 1+ +( (z z2 2+z+z3 3) ) 交换律：交换律： 结合律：结合律： ( (a ac c) )+ +( (b bd d) )i i 即即: :两
2、个复数相加两个复数相加( (减减) )就是就是 实部与实部实部与实部, ,虚部与虚部分别相加虚部与虚部分别相加( (减减).). 复习回顾复习回顾 讲课人：邢启强 3 已知两复数已知两复数z z1 1=a+bi=a+bi，z z2 2=c+di=c+di ( (a a，b b，c c，dRdR) ) 设设OZOZ1 1， OZOZ2 2分别与复数分别与复数z z1 1=a+bi=a+bi，z z2 2=c+di=c+di对应对应. . x x o o y y Z Z1 1( (a a，b b) ) Z Z2 2( (c c，d d) ) Z Z 向量向量OZOZ1 1+OZ+OZ2 2z z1
3、 1+z+z2 2 o o x x y y Z Z2 2( (c c，d d) ) Z Z1 1( (a a，b b) ) 向量向量OZOZ1 1-OZ-OZ2 2 z z1 1-z-z2 2 复习回顾复习回顾 讲课人：邢启强 4 已知两复数已知两复数z z1 1=a+bi=a+bi，z z2 2=c+di=c+di ( (a a，b b，c c，dRdR) ) Z Z1 1( (a a，b b) ) o o x x y y Z Z2 2( (c c，d d) ) |z|z1 1-z-z2 2| |表示：表示： _ _ . . 复平面中点复平面中点 Z Z1 1与点与点Z Z2 2间的距离间的
4、距离. . 特别地，特别地，|z|z|表示：表示： _ _ . . 复平面中点复平面中点Z Z与原点间与原点间 的距离的距离. . 如：如：|z+|z+( (1+2i1+2i) )| |表示：表示： _ _._. 点点( (- -1 1，-2-2) )的距离的距离. . 点点Z Z( (对应复数对应复数z z) )到到 复习回顾复习回顾 讲课人：邢启强 5 1.1.复数的乘法法则：复数的乘法法则： 2 acadibcibdi )()acbdbcad i（ (2) (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在，只是在 运算过程中把运算过程中把 换成换成1 1，然
5、后实、虚部分别合并，然后实、虚部分别合并. . 说明说明:(1):(1)两个复数的积仍然是一个复数；两个复数的积仍然是一个复数； i 2 (3)(3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律 即对于任何即对于任何z1 , z2 ,z3 C,有有 ,()(), (). 1221123123 1231213 zzzzzzzzzz z zzz zz z ()()abi cdi 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 6 例例1.计算计算(2i )(32i)(1+3i) 复数的乘法与多项式的复数的乘法与多项式的 乘法是类似的乘法是类似的. . 我们知道多项式的乘法
6、用我们知道多项式的乘法用 乘法公式可迅速展开乘法公式可迅速展开, , 运算运算, , 类似地类似地, ,复数的乘法也可大胆复数的乘法也可大胆 运用乘法公式来展开运算运用乘法公式来展开运算. . 一步到位一步到位! ! 例例2.计算计算(a+bi)(a- -bi) 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 7 注意注意 a+bi 与与 a- -bi 两复数的特点两复数的特点. 思考：设思考：设z= =a+ +bi ( (a, ,bR R ) ), ,那么那么 定义定义:实部相等实部相等, ,虚部互为相反数虚部互为相反数的两个的两个 复数叫做互为复数叫做互为共轭复数共轭复数. . 复数复数 z= =a+
7、+bi 的共轭复数记作的共轭复数记作 ?zz?zz 说明说明： 二、共轭复数：二、共轭复数： | |ZZZZ1 12121212 2ZZZZZZZZ , zzabi即即 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 8 口答：口答：说出下列复数的共轭复数说出下列复数的共轭复数 z z=2+3i=2+3i z z= = 3 3 z z= -6i= -6i z =2-3=2-3i i z =6=6i i z=3=3 注意：注意： 当虚部不为当虚部不为0 0时的共轭复数称为时的共轭复数称为共轭虚数共轭虚数 实数实数的共轭复数是它本身的共轭复数是它本身 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 9 解：解：作图作图 得出
8、结论：得出结论：在复平面内，在复平面内， 共轭复数共轭复数z z1 1 ,z ,z2 2所对应的点所对应的点 关于关于实轴实轴对称。对称。 若若z z1 1,z,z2 2是共轭复数，是共轭复数， 那么那么在复平面内，它们所对应的在复平面内，它们所对应的点点有怎有怎 的位置关系？的位置关系？ z z1 1z z2 2是一个怎样的数？是一个怎样的数？ 令令z1=a+bi,则则z2=a-bi 则则z1z2=(a+bi)(a-bi) =a2-abi+abi-bi2 =a2+b2=|z|2 结论：结论：任意两个互为共轭任意两个互为共轭 复数的乘积是一个复数的乘积是一个实数实数. . y x (a,b)
9、(a,-b) z1=a+bi o y x (a,o) z1=a o x y z1=bi (0,b) (0,-b) o 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 10 定义定义: 把满足把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di0) 的的 复复 数数 x+yi 叫做复数叫做复数 a+bi 除以复数除以复数 c+di 的的商商, 其中其中a,b,c, ,d,x,y都是实数都是实数, 记为记为()(). abi abicdi cdi 或或 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 11 7.7.复数的除法法则复数的除法法则 探究：我们规定复数的除法是乘法的逆运算，试探探究：我们规定复数的除法是乘法的逆运
10、算，试探 究复数除法的法则究复数除法的法则. . ()()(0) . () () cdi xyiabi cdixyi abicdi abi abicdi cdi 满足的复数 叫做复数除以复数的商 记作：或 ()() () () c di xyia bi cx dydx cy ia bi 2 2 cx dyac x cdyac dx cyb d x cdybd 22 22 acbd x cd bcad y cd 2222 () ()(0) ac bd bc ad a bic dii c di cdcd 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 12 222222 ()() ()() ()() () ab
11、i cdi cdi cdi abi abicdi cdi acbdbcad iacbdbcad i cdcdcd 由刚才的求商过程可以形式上写成由刚才的求商过程可以形式上写成( (体会其中的过程体会其中的过程):): 分母实数化分母实数化 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 13 先写成分式形式先写成分式形式 化简成代数形式化简成代数形式 就得结果就得结果. 然后然后分母实数化分母实数化 即可运算即可运算.(一般分子一般分子 分母同时乘以分母的分母同时乘以分母的 共轭复数共轭复数) 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 14 例例4.4.设设 ， 求证：求证：( (1） ；（；（2） i 2 3 2
12、 1 01 2 . 1 3 证明：证明： （1） 22 ) 2 3 2 1 () 2 3 2 1 (11ii ; 0 4 3 2 3 4 1 2 3 2 1 ii 22 ) 2 3 ( 2 3 2 1 2) 2 1 ( 2 3 2 1 iii （2） 33 ) 2 3 2 1 (i ) 2 3 2 1 () 2 3 2 1 ( 2 ii ) 2 3 2 1 )( 2 3 2 1 (ii 22 ) 2 3 () 2 1 (i 1 4 3 4 1 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 15 1212 5 (1) (2) (3) (4) ZZZZ ZZ 例 、下列命题中正确的是 如果是实数，则 、互为共
13、轭复数 纯虚数 的共轭复数是。 两个纯虚数的差还是纯虚数 两个虚数的差还是虚数。 (2)(2) 1212 1212 1212 1212 6 ( )0, ( )0, ()0, ()0, AZZZZ BZZZZ CZZZZ DZZZZ 例 、下列命题中的真命题为： 若则与互为共轭复数。 若则与互为共轭复数。 若则与互为共轭复数。 若则与互为共轭复数。 D D 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 16 整体整体代入妙代入妙! ! 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 17 (1)(1)复数乘法的运算法则、运算规律复数乘法的运算法则、运算规律. . (2)(2)共轭复数概念共轭复数概念. . (3)(3)复数除法运算法则复数除法运算法则 课堂小结课堂小结
